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7. 在$3×3$的方格图中，点$A,B,C,D,E,F$分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1）从$A、D、E、F$四点中任意取一点，以所取的这一点及$B、C$为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的概率是________；
（2）从$A、D、E、F$四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及$B、C$为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用画树状图法或列表法求解）.
（1）从$A、D、E、F$四点中任意取一点，以所取的这一点及$B、C$为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的概率是________；
（2）从$A、D、E、F$四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及$B、C$为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用画树状图法或列表法求解）.
答案
7. 解:(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示：
∵以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴$P$(所画的四边形是平行四边形)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
（1）第一问属于一步概率问题，试验为从A、D、E、F四个点中任取1个点，共有4种等可能结果。接下来结合等腰三角形“两边相等”的判定规则，逐一判断取每个点时和B、C组成的三角形是否为等腰三角形，统计符合条件的结果数，再代入概率公式计算即可。
（2）第二问属于两步不放回的概率问题，首先通过树状图或列表法列举出所有等可能的取点结果，再结合平行四边形“一组对边平行且相等”的判定规则，找出能和B、C组成平行四边形的结果数，最后代入概率公式求解。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，从A、D、E、F四点中任取一点，共4种等可能的结果。逐一判断：取A点时△ABC三边不等，不是等腰三角形；取D点时△DBC有两边长度相等，是等腰三角形；取E点时△EBC三边不等，不是等腰三角形；取F点时△FBC三边不等，不是等腰三角形。符合条件的结果共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的取点结果。根据平行四边形的判定，以A、E、B、C为顶点和以D、F、B、C为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的结果有(A,E)、(E,A)、(D,F)、(F,D)，共4种。
因此$P$(所画的四边形是平行四边形)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示：
∵以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴$P$(所画的四边形是平行四边形)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形判定、平行四边形判定、概率计算
【点评】
本题将几何图形性质与概率计算结合考查，需要学生熟练掌握特殊图形的判定方法，同时能准确用树状图或列表法列举所有等可能结果，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问属于一步概率问题，试验为从A、D、E、F四个点中任取1个点，共有4种等可能结果。接下来结合等腰三角形“两边相等”的判定规则，逐一判断取每个点时和B、C组成的三角形是否为等腰三角形，统计符合条件的结果数，再代入概率公式计算即可。
（2）第二问属于两步不放回的概率问题，首先通过树状图或列表法列举出所有等可能的取点结果，再结合平行四边形“一组对边平行且相等”的判定规则，找出能和B、C组成平行四边形的结果数，最后代入概率公式求解。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，从A、D、E、F四点中任取一点，共4种等可能的结果。逐一判断：取A点时△ABC三边不等，不是等腰三角形；取D点时△DBC有两边长度相等，是等腰三角形；取E点时△EBC三边不等，不是等腰三角形；取F点时△FBC三边不等，不是等腰三角形。符合条件的结果共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的取点结果。根据平行四边形的判定，以A、E、B、C为顶点和以D、F、B、C为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的结果有(A,E)、(E,A)、(D,F)、(F,D)，共4种。
因此$P$(所画的四边形是平行四边形)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示：
∵以点A、E、B、C为顶点及以点D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴$P$(所画的四边形是平行四边形)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形判定、平行四边形判定、概率计算
【点评】
本题将几何图形性质与概率计算结合考查，需要学生熟练掌握特殊图形的判定方法，同时能准确用树状图或列表法列举所有等可能结果，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，让图中的两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率为 （
A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{13}{16}$
C
）A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{13}{16}$
答案
8. C
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：第一步确定所有等可能的结果总数，两个转盘均被均分为4个区域，自由转动一次的总等可能结果数为4×4=16种；第二步统计符合“两个数的和是2的倍数或是3的倍数”的结果数，可以用列举法逐一列出所有组合的和，再筛选符合条件的情况；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：两个转盘均被等分为4个区域，转动两个转盘各一次，共有$4 × 4 = 16$种等可能的结果。
逐一计算两个数的和，筛选出和是2的倍数或3的倍数的情况：
(1,1)和为2（符合）、(1,2)和为3（符合）、(1,3)和为4（符合）、
(2,1)和为3（符合）、(2,2)和为4（符合）、(2,4)和为6（符合）、
(3,1)和为4（符合）、(3,3)和为6（符合）、
(4,2)和为6（符合）、(4,4)和为8（符合）
共10种符合条件的结果。
因此所求概率为$\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、列举法求概率、概率计算
【点评】
本题是概率的基础常考题，核心考查学生对古典概型的理解和列举法的运用，解题时要注意准确计数，避免漏算或重复计算符合条件的情况，也可通过计算对立事件（和既不是2的倍数也不是3的倍数）的概率来简化计算。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：第一步确定所有等可能的结果总数，两个转盘均被均分为4个区域，自由转动一次的总等可能结果数为4×4=16种；第二步统计符合“两个数的和是2的倍数或是3的倍数”的结果数，可以用列举法逐一列出所有组合的和，再筛选符合条件的情况；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：两个转盘均被等分为4个区域，转动两个转盘各一次，共有$4 × 4 = 16$种等可能的结果。
逐一计算两个数的和，筛选出和是2的倍数或3的倍数的情况：
(1,1)和为2（符合）、(1,2)和为3（符合）、(1,3)和为4（符合）、
(2,1)和为3（符合）、(2,2)和为4（符合）、(2,4)和为6（符合）、
(3,1)和为4（符合）、(3,3)和为6（符合）、
(4,2)和为6（符合）、(4,4)和为8（符合）
共10种符合条件的结果。
因此所求概率为$\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、列举法求概率、概率计算
【点评】
本题是概率的基础常考题，核心考查学生对古典概型的理解和列举法的运用，解题时要注意准确计数，避免漏算或重复计算符合条件的情况，也可通过计算对立事件（和既不是2的倍数也不是3的倍数）的概率来简化计算。
【难度系数】
0.7
9. 若从1,2,3,4四个数中选取一个数,记为a,再从这四个数中选取一个数,记为c,则关于x的一元二次方程$ax^2 +4x +c=0$没有实数根的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
9. C
解析
【分析】
这是一道结合一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步先确定a、c选取的所有等可能结果总数；第二步根据一元二次方程无实数根的条件，推导得出a和c需要满足的数量关系；第三步枚举符合条件的(a,c)组合数，再用概率公式计算最终概率。
【解析】
1. 计算总事件数：从1,2,3,4中选a有4种选法，选c也有4种选法，所以共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 推导方程无实根的条件：对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，无实数根需满足判别式$\Delta＜0$且二次项系数$a≠0$。
本题中a选自1~4，$a≠0$恒成立，代入判别式公式得：
$\Delta = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac ＜ 0$
化简得：$ac ＞ 4$
3. 枚举满足$ac＞4$的组合：
当$a=1$时，$c＞4$，无符合条件的c，共0种；
当$a=2$时，$c＞2$，c可取3、4，共2种；
当$a=3$时，$c＞\frac{4}{3}$，c可取2、3、4，共3种；
当$a=4$时，$c＞1$，c可取2、3、4，共3种；
符合条件的组合共$0+2+3+3=8$种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{方程无实根})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，枚举符合条件的情况时要做到不重不漏，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
这是一道结合一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步先确定a、c选取的所有等可能结果总数；第二步根据一元二次方程无实数根的条件，推导得出a和c需要满足的数量关系；第三步枚举符合条件的(a,c)组合数，再用概率公式计算最终概率。
【解析】
1. 计算总事件数：从1,2,3,4中选a有4种选法，选c也有4种选法，所以共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 推导方程无实根的条件：对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，无实数根需满足判别式$\Delta＜0$且二次项系数$a≠0$。
本题中a选自1~4，$a≠0$恒成立，代入判别式公式得：
$\Delta = 4^2 - 4ac = 16 - 4ac ＜ 0$
化简得：$ac ＞ 4$
3. 枚举满足$ac＞4$的组合：
当$a=1$时，$c＞4$，无符合条件的c，共0种；
当$a=2$时，$c＞2$，c可取3、4，共2种；
当$a=3$时，$c＞\frac{4}{3}$，c可取2、3、4，共3种；
当$a=4$时，$c＞1$，c可取2、3、4，共3种；
符合条件的组合共$0+2+3+3=8$种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{方程无实根})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，枚举符合条件的情况时要做到不重不漏，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,从①$AC=BD$,②$AC⊥ BD$,③$AB=BC$这三个条件中任意选取两个,能使$□ ABCD$是正方形的概率为 (
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A
)A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先明确本题是概率与特殊平行四边形判定的综合题，解题思路分为三步：第一步先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步结合正方形的判定条件（平行四边形需同时满足是矩形、菱形才可判定为正方形），逐一判断每种选取组合能否使平行四边形成为正方形；第三步用符合条件的情况数除以总情况数得到对应概率。
【解析】
首先计算总共有多少种等可能的选取结果：从3个条件中任选2个，共有3种组合，分别是①②、①③、②③。
接下来逐一判断：
1. 选取①②：已知四边形ABCD是平行四边形，若$AC=BD$，则平行四边形ABCD是矩形；若同时$AC⊥BD$，则矩形ABCD是正方形，该组合符合要求。
2. 选取①③：已知四边形ABCD是平行四边形，若$AC=BD$，则平行四边形ABCD是矩形；若同时$AB=BC$，则矩形ABCD是正方形，该组合符合要求。
3. 选取②③：已知四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$或$AB=BC$都只能判定平行四边形ABCD是菱形，无法判定其为矩形，因此不能得到正方形，该组合不符合要求。
综上，符合条件的情况有2种，总情况有3种，因此概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，列举法求概率，特殊平行四边形判定
【点评】
本题将概率计算和特殊平行四边形的判定相结合，既考查了对古典概型概率计算方法的掌握，也要求同学们熟练区分矩形、菱形、正方形的判定条件，理清各类特殊平行四边形之间的包含关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确本题是概率与特殊平行四边形判定的综合题，解题思路分为三步：第一步先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步结合正方形的判定条件（平行四边形需同时满足是矩形、菱形才可判定为正方形），逐一判断每种选取组合能否使平行四边形成为正方形；第三步用符合条件的情况数除以总情况数得到对应概率。
【解析】
首先计算总共有多少种等可能的选取结果：从3个条件中任选2个，共有3种组合，分别是①②、①③、②③。
接下来逐一判断：
1. 选取①②：已知四边形ABCD是平行四边形，若$AC=BD$，则平行四边形ABCD是矩形；若同时$AC⊥BD$，则矩形ABCD是正方形，该组合符合要求。
2. 选取①③：已知四边形ABCD是平行四边形，若$AC=BD$，则平行四边形ABCD是矩形；若同时$AB=BC$，则矩形ABCD是正方形，该组合符合要求。
3. 选取②③：已知四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$或$AB=BC$都只能判定平行四边形ABCD是菱形，无法判定其为矩形，因此不能得到正方形，该组合不符合要求。
综上，符合条件的情况有2种，总情况有3种，因此概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，列举法求概率，特殊平行四边形判定
【点评】
本题将概率计算和特殊平行四边形的判定相结合，既考查了对古典概型概率计算方法的掌握，也要求同学们熟练区分矩形、菱形、正方形的判定条件，理清各类特殊平行四边形之间的包含关系，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
11. 一天晚上，小张帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小张只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
11. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道基础的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的杯盖茶杯搭配情况，再统计出颜色搭配正确的情况数，最后根据概率的基本计算公式“概率=符合要求的情况数÷总等可能情况数”求解即可。我们可以通过给茶杯和对应杯盖做标记的方式，更清晰地列举出所有搭配结果，避免漏数或多数情况。
【解析】
解：设两个不同颜色的茶杯分别为茶杯A、茶杯B，对应的匹配杯盖分别为盖A、盖B。
随机搭配时，所有等可能的结果共有2种：
1. 茶杯A配盖A，茶杯B配盖B（颜色搭配全部正确）；
2. 茶杯A配盖B，茶杯B配盖A（颜色搭配全部错误）。
其中颜色搭配正确的情况只有1种，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{颜色搭配正确})=\frac{\mathrm{颜色搭配正确的情况数}}{\mathrm{总等可能搭配情况数}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题关键是准确列举所有等可能的搭配情况，掌握概率的基本计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
这是一道基础的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的杯盖茶杯搭配情况，再统计出颜色搭配正确的情况数，最后根据概率的基本计算公式“概率=符合要求的情况数÷总等可能情况数”求解即可。我们可以通过给茶杯和对应杯盖做标记的方式，更清晰地列举出所有搭配结果，避免漏数或多数情况。
【解析】
解：设两个不同颜色的茶杯分别为茶杯A、茶杯B，对应的匹配杯盖分别为盖A、盖B。
随机搭配时，所有等可能的结果共有2种：
1. 茶杯A配盖A，茶杯B配盖B（颜色搭配全部正确）；
2. 茶杯A配盖B，茶杯B配盖A（颜色搭配全部错误）。
其中颜色搭配正确的情况只有1种，代入概率公式可得：
$P(\mathrm{颜色搭配正确})=\frac{\mathrm{颜色搭配正确的情况数}}{\mathrm{总等可能搭配情况数}}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题关键是准确列举所有等可能的搭配情况，掌握概率的基本计算方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
12. 实验操作前需要通过抽签决定比赛课题，小李和其他19名选手参加比赛，他们都要从A，B，C，D，E五个课题中随机抽取一个，则小李抽到课题E的概率是
$\frac{1}{5}$
。答案
12. $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题时首先要甄别无关干扰信息：题目中“其他19名选手”不影响小李抽取课题的概率，因为A、B、C、D、E五个课题对小李来说被抽到的可能性完全相等。我们只需要找到所有等可能的结果总数，以及抽到课题E的结果数，代入概率公式即可求解。
【解析】
解：小李从A、B、C、D、E五个课题中随机抽取一个，所有等可能的结果共有5种，其中抽到课题E的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得小李抽到课题E的概率为：$P=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题，易错点是被题干中“其他19名选手”的无关信息误导，错误用1除以总人数计算概率。解题时需明确核心：单个主体在多个等可能选项中抽取某一选项的概率，仅和选项总数有关，和其他抽取主体的数量无关。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题时首先要甄别无关干扰信息：题目中“其他19名选手”不影响小李抽取课题的概率，因为A、B、C、D、E五个课题对小李来说被抽到的可能性完全相等。我们只需要找到所有等可能的结果总数，以及抽到课题E的结果数，代入概率公式即可求解。
【解析】
解：小李从A、B、C、D、E五个课题中随机抽取一个，所有等可能的结果共有5种，其中抽到课题E的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得小李抽到课题E的概率为：$P=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题，易错点是被题干中“其他19名选手”的无关信息误导，错误用1除以总人数计算概率。解题时需明确核心：单个主体在多个等可能选项中抽取某一选项的概率，仅和选项总数有关，和其他抽取主体的数量无关。
【难度系数】
0.7
13. 在一个不透明的布袋里装有 3 个白球、2 个红球和 a 个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别.若从该布袋里任意摸出一个球，该球是黄球的概率为$\frac{1}{2}$，则$a=$
5
.答案
13. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数。本题中已知摸出黄球的概率，我们可以先表示出黄球的个数和球的总个数，代入概率公式列出关于a的方程，解方程后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
布袋内球的总个数为白球、红球、黄球的数量和，即$3+2+a=5+a$个。
根据摸出黄球的概率为$\frac{1}{2}$，结合概率公式列等式：
$\frac{a}{5+a}=\frac{1}{2}$
交叉相乘去分母得：$2a=5+a$
移项计算得：$a=5$
检验：当$a=5$时，总球数为$5+5=10$，摸出黄球的概率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，符合题意，且球的个数为正整数，结果有效。
【答案】
5
【知识点】
简单事件概率计算，一元一次方程求解
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是准确对应概率公式中的所求情况数和总情况数，建立方程求解即可，只要掌握概率的基本计算公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数。本题中已知摸出黄球的概率，我们可以先表示出黄球的个数和球的总个数，代入概率公式列出关于a的方程，解方程后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
布袋内球的总个数为白球、红球、黄球的数量和，即$3+2+a=5+a$个。
根据摸出黄球的概率为$\frac{1}{2}$，结合概率公式列等式：
$\frac{a}{5+a}=\frac{1}{2}$
交叉相乘去分母得：$2a=5+a$
移项计算得：$a=5$
检验：当$a=5$时，总球数为$5+5=10$，摸出黄球的概率为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，符合题意，且球的个数为正整数，结果有效。
【答案】
5
【知识点】
简单事件概率计算，一元一次方程求解
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是准确对应概率公式中的所求情况数和总情况数，建立方程求解即可，只要掌握概率的基本计算公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
14. 箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球.4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
14. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是不放回摸球的概率计算问题，可通过分类讨论结合分步概率求解，也可利用古典概型计算：思路一：按第一个人摸到球的颜色分为两类，分别计算每类下第二人摸红球、第三人摸白球的概率，再相加得到总概率；思路二：先算出4人依次摸球的所有等可能结果数，再算出满足“第二人摸红球、第三人摸白球”的结果数，二者比值即为所求概率。
【解析】
解法一（分类分步计算）：
分两种情况讨论：
① 第一个人摸到白球：
第一个人摸白球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时剩余3个球（1白2红），第二人摸红球的概率为$\frac{2}{3}$，此时剩余2个球（1白1红），第三人摸白球的概率为$\frac{1}{2}$，该情况概率为$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。
② 第一个人摸到红球：
第一个人摸红球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时剩余3个球（2白1红），第二人摸红球的概率为$\frac{1}{3}$，此时剩余2个球（2白），第三人摸白球的概率为1，该情况概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} × 1 = \frac{1}{6}$。
总概率为两类情况概率之和：$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。
解法二（古典概型）：
4人依次不放回摸球，所有等可能的排列结果共$4 × 3 × 2 × 1 = 24$种；
满足条件的结果：第二个位置选红球有2种选法，第三个位置选白球有2种选法，剩余两个位置排列剩下2个球有$2 × 1 = 2$种，共$2 × 2 × 2 = 8$种；
故所求概率为$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
不放回概率计算，古典概型，分类分步计数
【点评】
本题是概率基础应用题，两种解法都贴合课内知识，分类讨论时要做到不重不漏，用古典概型求解时要保证所有结果等可能，是概率部分的常见题型。
【难度系数】
0.6
本题是不放回摸球的概率计算问题，可通过分类讨论结合分步概率求解，也可利用古典概型计算：思路一：按第一个人摸到球的颜色分为两类，分别计算每类下第二人摸红球、第三人摸白球的概率，再相加得到总概率；思路二：先算出4人依次摸球的所有等可能结果数，再算出满足“第二人摸红球、第三人摸白球”的结果数，二者比值即为所求概率。
【解析】
解法一（分类分步计算）：
分两种情况讨论：
① 第一个人摸到白球：
第一个人摸白球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时剩余3个球（1白2红），第二人摸红球的概率为$\frac{2}{3}$，此时剩余2个球（1白1红），第三人摸白球的概率为$\frac{1}{2}$，该情况概率为$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。
② 第一个人摸到红球：
第一个人摸红球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，此时剩余3个球（2白1红），第二人摸红球的概率为$\frac{1}{3}$，此时剩余2个球（2白），第三人摸白球的概率为1，该情况概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} × 1 = \frac{1}{6}$。
总概率为两类情况概率之和：$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。
解法二（古典概型）：
4人依次不放回摸球，所有等可能的排列结果共$4 × 3 × 2 × 1 = 24$种；
满足条件的结果：第二个位置选红球有2种选法，第三个位置选白球有2种选法，剩余两个位置排列剩下2个球有$2 × 1 = 2$种，共$2 × 2 × 2 = 8$种；
故所求概率为$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
不放回概率计算，古典概型，分类分步计数
【点评】
本题是概率基础应用题，两种解法都贴合课内知识，分类讨论时要做到不重不漏，用古典概型求解时要保证所有结果等可能，是概率部分的常见题型。
【难度系数】
0.6
