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9. 如图,以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心,按顺时针旋转,使得新正六边形A'B'CD'E'F'的顶点E'落在直线BC上,则正六边形ABCDEF至少旋转的度数为
90
°。答案
9. 90
解析
【分析】
解题时首先明确：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，本题要求最小顺时针旋转角，即求线段CE顺时针旋转到落在直线BC上的最小夹角。首先利用多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再结合正六边形各边相等的性质，求出等腰△CDE的底角∠DCE的度数，最后结合平角的性质计算出最小旋转角即可。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形$n=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$，故$∠ BCD=∠ CDE=120°$。
2. 求∠DCE的度数：
正六边形各边长度相等，因此$CD=DE$，$△ CDE$为等腰三角形。根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DCE=\frac{180°-∠ CDE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 计算最小旋转角：
直线BC为平角，大小为$180°$，因此CD与BC的延长线的夹角为$180°-∠ BCD=180°-120°=60°$。
顺时针旋转时，CE旋转到与BC延长线重合时，E'落在直线BC上，此时旋转角最小，大小为$60°+30°=90°$。
【答案】
$90$
【知识点】
正多边形内角计算、旋转的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题将正多边形的性质和旋转的知识结合考查，解题的核心是准确理解旋转角的定义，结合正六边形的内角特征和等腰三角形的性质计算角度，需要注意求最小旋转角时要选择顺时针旋转的最小夹角。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，本题要求最小顺时针旋转角，即求线段CE顺时针旋转到落在直线BC上的最小夹角。首先利用多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再结合正六边形各边相等的性质，求出等腰△CDE的底角∠DCE的度数，最后结合平角的性质计算出最小旋转角即可。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正六边形$n=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$，故$∠ BCD=∠ CDE=120°$。
2. 求∠DCE的度数：
正六边形各边长度相等，因此$CD=DE$，$△ CDE$为等腰三角形。根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ DCE=\frac{180°-∠ CDE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 计算最小旋转角：
直线BC为平角，大小为$180°$，因此CD与BC的延长线的夹角为$180°-∠ BCD=180°-120°=60°$。
顺时针旋转时，CE旋转到与BC延长线重合时，E'落在直线BC上，此时旋转角最小，大小为$60°+30°=90°$。
【答案】
$90$
【知识点】
正多边形内角计算、旋转的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题将正多边形的性质和旋转的知识结合考查，解题的核心是准确理解旋转角的定义，结合正六边形的内角特征和等腰三角形的性质计算角度，需要注意求最小旋转角时要选择顺时针旋转的最小夹角。
【难度系数】
0.7
10. 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为
$24\sqrt{3}$
。答案
10. $24\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先，正六边形的6条边长相等，已知周长可先求出单条边长；其次，正六边形的中心角为360°÷6=60°，且正六边形的外接圆半径等于边长，因此正六边形可分割为6个边长与正六边形边长相等的等边三角形，只需计算出1个等边三角形的面积再乘以6，即可得到正六边形的总面积。
【解析】
解：已知正六边形的周长为24，
∵正六边形的6条边长度相等，
∴正六边形的边长$ a = 24÷6 = 4 $。
正六边形的中心角为$ 360°÷6 = 60° $，且正六边形的外接圆半径等于边长，因此正六边形的中心与任意两个相邻顶点的连线构成的三角形是边长为4的等边三角形。
单个等边三角形的面积为：$ S_{\mathrm{等边}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}×4^2 = 4\sqrt{3} $
正六边形由6个这样的等边三角形组成，因此总面积为：$ S_{\mathrm{正六边形}} = 6×4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} $
【答案】
$ 24\sqrt{3} $
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形中心角
【点评】
本题是正多边形面积计算的基础题型，解题的核心是利用正六边形的特殊性，将其转化为若干个等边三角形求解，掌握正多边形与圆的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先，正六边形的6条边长相等，已知周长可先求出单条边长；其次，正六边形的中心角为360°÷6=60°，且正六边形的外接圆半径等于边长，因此正六边形可分割为6个边长与正六边形边长相等的等边三角形，只需计算出1个等边三角形的面积再乘以6，即可得到正六边形的总面积。
【解析】
解：已知正六边形的周长为24，
∵正六边形的6条边长度相等，
∴正六边形的边长$ a = 24÷6 = 4 $。
正六边形的中心角为$ 360°÷6 = 60° $，且正六边形的外接圆半径等于边长，因此正六边形的中心与任意两个相邻顶点的连线构成的三角形是边长为4的等边三角形。
单个等边三角形的面积为：$ S_{\mathrm{等边}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}×4^2 = 4\sqrt{3} $
正六边形由6个这样的等边三角形组成，因此总面积为：$ S_{\mathrm{正六边形}} = 6×4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} $
【答案】
$ 24\sqrt{3} $
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形中心角
【点评】
本题是正多边形面积计算的基础题型，解题的核心是利用正六边形的特殊性，将其转化为若干个等边三角形求解，掌握正多边形与圆的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 如图，正方形剪去四个角后成为一个正八边形.
（1）若正八边形的边长为 2，则剪去的四个角的面积和为
（2）若正方形的边长为 2，求正八边形的边长.
（1）若正八边形的边长为 2，则剪去的四个角的面积和为
4
；（2）若正方形的边长为 2，求正八边形的边长.
答案
11. 解:(1) 4
(2) 设正八边形的边长为 $y$,则剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} y. \because$ 正方形的边长为 $2, \therefore \frac{\sqrt{2}}{2} y+y+\frac{\sqrt{2}}{2} y=2$,解得 $y=2\sqrt{2}-2. \therefore$ 正八边形的边长为 $2\sqrt{2}-2.$
(2) 设正八边形的边长为 $y$,则剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} y. \because$ 正方形的边长为 $2, \therefore \frac{\sqrt{2}}{2} y+y+\frac{\sqrt{2}}{2} y=2$,解得 $y=2\sqrt{2}-2. \therefore$ 正八边形的边长为 $2\sqrt{2}-2.$
解析
【分析】
解决本题的关键是明确正方形剪去四个角得到正八边形时，剪去的四个三角形是全等的等腰直角三角形，且三角形的斜边长等于正八边形的边长。（1）已知正八边形边长，可先求出单个等腰直角三角形的面积，再计算四个的面积和；（2）设正八边形边长为未知数，用其表示出等腰直角三角形的直角边，结合正方形边长的构成列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意可知，剪去的四个角是全等的等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长，即斜边长为2。
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，根据勾股定理得：
$a^2+a^2=2^2$，解得$a^2=2$。
单个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，则四个角的面积和为：
$4×\frac{1}{2}a^2=2a^2=2×2=4$。
（2）设正八边形的边长为$y$，则剪掉的等腰直角三角形的斜边长为$y$，可得其直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}y$。
观察图形可知，正方形的边长等于2个等腰直角三角形的直角边长加正八边形的边长，已知正方形边长为2，因此列方程：
$\frac{\sqrt{2}}{2}y + y + \frac{\sqrt{2}}{2}y = 2$
整理得：$y(\sqrt{2}+1)=2$
解得：$y=\frac{2}{\sqrt{2}+1}=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{2\sqrt{2}-2}$
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将正方形、等腰直角三角形与正八边形结合，核心是抓住剪去的三角形为全等等腰直角三角形这一隐含条件，找到正方形边长与正八边形边长的数量关系，既考查了几何图形的性质，也考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的关键是明确正方形剪去四个角得到正八边形时，剪去的四个三角形是全等的等腰直角三角形，且三角形的斜边长等于正八边形的边长。（1）已知正八边形边长，可先求出单个等腰直角三角形的面积，再计算四个的面积和；（2）设正八边形边长为未知数，用其表示出等腰直角三角形的直角边，结合正方形边长的构成列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意可知，剪去的四个角是全等的等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长，即斜边长为2。
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，根据勾股定理得：
$a^2+a^2=2^2$，解得$a^2=2$。
单个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，则四个角的面积和为：
$4×\frac{1}{2}a^2=2a^2=2×2=4$。
（2）设正八边形的边长为$y$，则剪掉的等腰直角三角形的斜边长为$y$，可得其直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}y$。
观察图形可知，正方形的边长等于2个等腰直角三角形的直角边长加正八边形的边长，已知正方形边长为2，因此列方程：
$\frac{\sqrt{2}}{2}y + y + \frac{\sqrt{2}}{2}y = 2$
整理得：$y(\sqrt{2}+1)=2$
解得：$y=\frac{2}{\sqrt{2}+1}=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
（1）$\boxed{4}$；（2）$\boxed{2\sqrt{2}-2}$
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将正方形、等腰直角三角形与正八边形结合，核心是抓住剪去的三角形为全等等腰直角三角形这一隐含条件，找到正方形边长与正八边形边长的数量关系，既考查了几何图形的性质，也考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图，等边三角形ABC内接于$\odot O$，BD为$\odot O$的内接正十二边形的一边，$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径$R$.
答案
12. 解:连接 $OB,OC,OD. \because$ 等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$, $BD$ 为 $\odot O$ 的内接正十二边形的一边, $\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3} × 360°=120°, ∠ BOD=\frac{1}{12} × 360°=30°. \therefore ∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=90°. \because OC=OD, \therefore △ OCD$ 是等腰直角三角形. $\therefore OC=\frac{\sqrt{2}}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$,即 $\odot O$ 的半径 $R=5\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
要求⊙O的半径，可通过连接圆心与各相关顶点构造三角形，利用特殊三角形的边长关系求解。解题思路如下：第一步，正多边形内接于圆时，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此先连接OB、OC、OD，得到三条半径；第二步，分别计算等边三角形ABC对应的中心角∠BOC，以及正十二边形的边BD对应的中心角∠BOD，作差得到∠COD的度数，判断△OCD的形状；第三步，结合已知CD的长度，利用该特殊三角形的边长关系求出半径长度。
【解析】
连接 $OB,OC,OD$。
$\because$ 等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$，
$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3} × 360°=120°$。
$\because BD$ 为 $\odot O$ 的内接正十二边形的一边，
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{12} × 360°=30°$。
$\therefore ∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
又$\because OC=OD=R$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OCD$ 是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的边长关系，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，
代入$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，得$OC=\frac{\sqrt{2}}{2} × 5\sqrt{2}=5\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径$R=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径$R$为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆心角计算
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形和圆相关的常规计算题，解题核心是通过连接半径构造特殊三角形，结合正多边形中心角的计算方法判断三角形形状，再利用特殊三角形的边长关系求解，掌握正多边形中心角的计算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，可通过连接圆心与各相关顶点构造三角形，利用特殊三角形的边长关系求解。解题思路如下：第一步，正多边形内接于圆时，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此先连接OB、OC、OD，得到三条半径；第二步，分别计算等边三角形ABC对应的中心角∠BOC，以及正十二边形的边BD对应的中心角∠BOD，作差得到∠COD的度数，判断△OCD的形状；第三步，结合已知CD的长度，利用该特殊三角形的边长关系求出半径长度。
【解析】
连接 $OB,OC,OD$。
$\because$ 等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$，
$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3} × 360°=120°$。
$\because BD$ 为 $\odot O$ 的内接正十二边形的一边，
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{12} × 360°=30°$。
$\therefore ∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
又$\because OC=OD=R$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OCD$ 是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的边长关系，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}CD$，
代入$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，得$OC=\frac{\sqrt{2}}{2} × 5\sqrt{2}=5\ \mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径$R=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径$R$为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆心角计算
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形和圆相关的常规计算题，解题核心是通过连接半径构造特殊三角形，结合正多边形中心角的计算方法判断三角形形状，再利用特殊三角形的边长关系求解，掌握正多边形中心角的计算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 如图，图①和图②分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.
（1）求图①中重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图②中重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）；
（3）根据前面的探索和图③，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.
（1）求图①中重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图②中重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）；
（3）根据前面的探索和图③，你能否将本题推广到一般的正n边形情况（n为大于2的偶数）？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.
答案
13. 解:(1) 连接 $OA,OB$,过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$,垂足为 $M. \because$ 点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 外接圆的圆心, $\therefore OM=\frac{1}{2}AB. \therefore S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{4}AB^2=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}. \because ∠ AOB=90°, \therefore ∠ OAF=∠ OBE=45°.$ 又 $\because ∠ A'OC'=90°, \therefore ∠ AOF+∠ A'OB=∠ A'OB+∠ BOE=90°. \therefore ∠ AOF=∠ BOE. \therefore △ AOF ≌ △ BOE. \therefore S_{△ AOF}=S_{△ BOE}. \therefore$ 重叠部分面积 $=S_{△ BOF}+S_{△ BOE}=S_{△ BOF}+S_{△ AOF}=S_{△ ABO}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}. \therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}. \therefore$ 重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $1:3$；
(2) $1:2$
(3) 不能. 理由:正 $n$ 边形的每一个内角的度数为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}$,阴影部分对应的中心角的度数为 $360°-\frac{(n-2)× 180°}{n}=\frac{180° ×(n+2)}{n}.$ 两个相同正 $n$ 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}:\frac{(n+2)× 180°}{n}=(n-2):(n+2).$ 但当边数超过6以后,正多边形的边长小于半径,因而结论不适合推广.
(2) $1:2$
(3) 不能. 理由:正 $n$ 边形的每一个内角的度数为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}$,阴影部分对应的中心角的度数为 $360°-\frac{(n-2)× 180°}{n}=\frac{180° ×(n+2)}{n}.$ 两个相同正 $n$ 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}:\frac{(n+2)× 180°}{n}=(n-2):(n+2).$ 但当边数超过6以后,正多边形的边长小于半径,因而结论不适合推广.
解析
【分析】
（1）求解图①的面积比时，可利用正多边形外接圆圆心的性质，连接圆心O与正方形相邻顶点A、B，通过角度等量代换证明△AOF和△BOE全等，将重叠部分面积转化为△AOB的面积，△AOB面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$，即可求出重叠部分和阴影部分的面积比。
（2）图②的正六边形问题可类比正方形的解题思路，直接推导得到面积比。
（3）推广到一般正n边形时，先从角度关系推导理论面积比，再结合正n边形边长与外接圆半径的大小关系，判断结论是否具有普适性。
【解析】
(1) 连接 $OA,OB$，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$，垂足为 $M$。
$\because$ 点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 外接圆的圆心，$\therefore OM=\frac{1}{2}AB$。
$\therefore S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{4}AB^2=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ OAF=∠ OBE=45°$。
又 $\because ∠ A'OC'=90°$，$\therefore ∠ AOF+∠ A'OB=∠ A'OB+∠ BOE=90°$，
$\therefore ∠ AOF=∠ BOE$。
$\therefore △ AOF ≌ △ BOE$，
$\therefore S_{△ AOF}=S_{△ BOE}$。
$\therefore$ 重叠部分面积 $=S_{△ BOF}+S_{△ BOE}=S_{△ BOF}+S_{△ AOF}=S_{△ ABO}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore$ 重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $1:3$。
(2) 类比正方形的推导逻辑，正六边形中重叠部分面积为正六边形面积的$\frac{1}{3}$，阴影部分面积为正六边形面积的$\frac{2}{3}$，故比值为$1:2$。
(3) 不能。理由：正 $n$ 边形的每一个内角的度数为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}$，阴影部分对应的中心角的度数为 $360°-\frac{(n-2)× 180°}{n}=\frac{180° ×(n+2)}{n}$，两个相同正 $n$ 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}:\frac{(n+2)× 180°}{n}=(n-2):(n+2)$。但当边数超过6以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广。
【答案】
(1) $1:3$；(2) $1:2$；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，面积比例计算
【点评】
本题考查从特殊到一般的探究思维，解题核心是通过全等转化重叠部分的面积，既考查了正多边形、全等三角形的基础知识点，也对归纳推理能力有一定要求，需要注意推广结论时要验证适用条件。
【难度系数】
0.6
（1）求解图①的面积比时，可利用正多边形外接圆圆心的性质，连接圆心O与正方形相邻顶点A、B，通过角度等量代换证明△AOF和△BOE全等，将重叠部分面积转化为△AOB的面积，△AOB面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$，即可求出重叠部分和阴影部分的面积比。
（2）图②的正六边形问题可类比正方形的解题思路，直接推导得到面积比。
（3）推广到一般正n边形时，先从角度关系推导理论面积比，再结合正n边形边长与外接圆半径的大小关系，判断结论是否具有普适性。
【解析】
(1) 连接 $OA,OB$，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$，垂足为 $M$。
$\because$ 点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 外接圆的圆心，$\therefore OM=\frac{1}{2}AB$。
$\therefore S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB · OM=\frac{1}{4}AB^2=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ OAF=∠ OBE=45°$。
又 $\because ∠ A'OC'=90°$，$\therefore ∠ AOF+∠ A'OB=∠ A'OB+∠ BOE=90°$，
$\therefore ∠ AOF=∠ BOE$。
$\therefore △ AOF ≌ △ BOE$，
$\therefore S_{△ AOF}=S_{△ BOE}$。
$\therefore$ 重叠部分面积 $=S_{△ BOF}+S_{△ BOE}=S_{△ BOF}+S_{△ AOF}=S_{△ ABO}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore$ 重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $1:3$。
(2) 类比正方形的推导逻辑，正六边形中重叠部分面积为正六边形面积的$\frac{1}{3}$，阴影部分面积为正六边形面积的$\frac{2}{3}$，故比值为$1:2$。
(3) 不能。理由：正 $n$ 边形的每一个内角的度数为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}$，阴影部分对应的中心角的度数为 $360°-\frac{(n-2)× 180°}{n}=\frac{180° ×(n+2)}{n}$，两个相同正 $n$ 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比为 $\frac{(n-2)× 180°}{n}:\frac{(n+2)× 180°}{n}=(n-2):(n+2)$。但当边数超过6以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广。
【答案】
(1) $1:3$；(2) $1:2$；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，面积比例计算
【点评】
本题考查从特殊到一般的探究思维，解题核心是通过全等转化重叠部分的面积，既考查了正多边形、全等三角形的基础知识点，也对归纳推理能力有一定要求，需要注意推广结论时要验证适用条件。
【难度系数】
0.6
