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1. 若$\odot O$所在平面内一点$P$到$\odot O$上的点的最大距离为$a$，最小距离为$b(a＞b)$，则此圆的半径为（
A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{a-b}{2}$
C.$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
D.$a+b$或$a-b$
C
）A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{a-b}{2}$
C.$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
D.$a+b$或$a-b$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确点P与⊙O的位置关系未明确给出，需分类讨论：首先排除点P在圆上的情况（若点在圆上，最小距离为0，可归为点在圆内的特殊情况），分别讨论点P在圆内、点P在圆外两种场景，结合点到圆上点的最大、最小距离均过圆心的特点，推导距离和、差与直径的对应关系，进而求出半径。
【解析】
需分两种情况讨论：
1. 当点P在圆内时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之和为圆的直径，即直径$d=a+b$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a+b}{2}$。
2. 当点P在圆外时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之差为圆的直径，即直径$d=a-b$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a-b}{2}$。
综上，此圆的半径为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的半径计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题的易错点是忽略点在圆内的情况，仅考虑点在圆外的场景导致漏解，遇到位置关系不明确的问题时要主动考虑分类讨论，避免思维定式造成的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确点P与⊙O的位置关系未明确给出，需分类讨论：首先排除点P在圆上的情况（若点在圆上，最小距离为0，可归为点在圆内的特殊情况），分别讨论点P在圆内、点P在圆外两种场景，结合点到圆上点的最大、最小距离均过圆心的特点，推导距离和、差与直径的对应关系，进而求出半径。
【解析】
需分两种情况讨论：
1. 当点P在圆内时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之和为圆的直径，即直径$d=a+b$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a+b}{2}$。
2. 当点P在圆外时：
点P到圆上点的最大距离与最小距离之差为圆的直径，即直径$d=a-b$，因此圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{a-b}{2}$。
综上，此圆的半径为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的半径计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题的易错点是忽略点在圆内的情况，仅考虑点在圆外的场景导致漏解，遇到位置关系不明确的问题时要主动考虑分类讨论，避免思维定式造成的错误。
【难度系数】
0.7
2. 已知P是$\odot O$外一点，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，C是$\odot O$上异于点A，B的一点，过点C作$\odot O$的切线，分别交直线PA，PB于点D，E，$∠ APB=50°$，则$∠ DOE$的度数为
65°或115°
。答案
2. $65°$或$115°$
解析
【分析】
遇到切线相关问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系；再结合切线长定理可知，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，因此要求∠DOE，需先求出∠AOB的度数。由于点C是圆上异于A、B的任意一点，需分点C在劣弧AB上和点C在优弧AB上两种情况讨论，分别计算∠DOE的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵PA、PB、DE均为$\odot O$的切线，A、B、C为切点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OC⊥DE$，$DA=DC$，$EB=EC$，
∴OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，即$∠ AOD=∠ COD$，$∠ BOE=∠ COE$。
在四边形OAPB中，$∠ OAP=∠ OBP=90°$，$∠ APB=50°$，
∴$∠ AOB=360°-90°-90°-50°=130°$。
分两种情况讨论：
①当点C在劣弧AB上时：
$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$；
②当点C在优弧AB上时：
$∠ AOC+∠ BOC=360°-∠ AOB=360°-130°=230°$，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×230°=115°$。
综上，$∠ DOE$的度数为$65°$或$115°$。
【答案】
$65°$或$115°$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，易错点是忽略点C的位置有两种可能，导致漏解，解题时要结合题意全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
遇到切线相关问题，首先考虑连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系；再结合切线长定理可知，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，因此要求∠DOE，需先求出∠AOB的度数。由于点C是圆上异于A、B的任意一点，需分点C在劣弧AB上和点C在优弧AB上两种情况讨论，分别计算∠DOE的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵PA、PB、DE均为$\odot O$的切线，A、B、C为切点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OC⊥DE$，$DA=DC$，$EB=EC$，
∴OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，即$∠ AOD=∠ COD$，$∠ BOE=∠ COE$。
在四边形OAPB中，$∠ OAP=∠ OBP=90°$，$∠ APB=50°$，
∴$∠ AOB=360°-90°-90°-50°=130°$。
分两种情况讨论：
①当点C在劣弧AB上时：
$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC + \frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$；
②当点C在优弧AB上时：
$∠ AOC+∠ BOC=360°-∠ AOB=360°-130°=230°$，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×230°=115°$。
综上，$∠ DOE$的度数为$65°$或$115°$。
【答案】
$65°$或$115°$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，易错点是忽略点C的位置有两种可能，导致漏解，解题时要结合题意全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$\odot O$的半径为1，P为$\odot O$外的一点，PA切$\odot O$于点A，PA＝1.若AB是$\odot O$的弦，且$AB=\sqrt{2}$，则PB的长为 （
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.5
D.1或$\sqrt{5}$
D
）A.1
B.$\sqrt{3}$
C.5
D.1或$\sqrt{5}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题是圆的多解问题，解题思路如下：1. 遇到切线先连接过切点的半径，可得OA⊥PA，结合已知OA=PA=1，可得到相关线段和角度关系；2. 由OA、OB均为半径（长度为1），AB=√2，可判断△OAB是等腰直角三角形，得到∠AOB=90°；3. 弦AB在圆中存在两种不同的位置（与点P在OA同侧、异侧），需分两种情况分别计算PB的长度，避免漏解，可通过坐标法简化计算过程。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA（切线的性质）。
∵OA=1，PA=1，
∴△OAP是等腰直角三角形。
又
∵OA=OB=1，AB=√2，
∴$OA^2+OB^2=1^2+1^2=2=AB^2$，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°。
用坐标法求解：设点A为坐标原点(0,0)，AP在x轴上，则P(1,0)，
∵OA⊥PA，OA=1，
∴O(0,1)，⊙O的方程为$x^2+(y-1)^2=1$。
设B(x,y)，
∵AB=√2，
∴$x^2+y^2=(\sqrt{2})^2=2$，
联立方程：$\begin{cases}x^2+(y-1)^2=1\\x^2+y^2=2\end{cases}$，
将第二个方程代入第一个，得$2-2y+1=1$，解得$y=1$，
代入$x^2+y^2=2$得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$，
∴B点坐标为(1,1)或(-1,1)。
①当B为(1,1)时，$PB=\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2}=1$；
②当B为(-1,1)时，$PB=\sqrt{(-1-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$。
综上，PB的长为1或√5。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，勾股定理，圆的多解问题
【点评】
本题是圆中典型的多解类题目，易错点是忽略弦AB存在两种不同的位置导致漏解，解题时先通过连接辅助线，结合切线性质和勾股定理判断三角形的形状，再分情况计算即可得到完整结果。
【难度系数】
0.6
本题是圆的多解问题，解题思路如下：1. 遇到切线先连接过切点的半径，可得OA⊥PA，结合已知OA=PA=1，可得到相关线段和角度关系；2. 由OA、OB均为半径（长度为1），AB=√2，可判断△OAB是等腰直角三角形，得到∠AOB=90°；3. 弦AB在圆中存在两种不同的位置（与点P在OA同侧、异侧），需分两种情况分别计算PB的长度，避免漏解，可通过坐标法简化计算过程。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA（切线的性质）。
∵OA=1，PA=1，
∴△OAP是等腰直角三角形。
又
∵OA=OB=1，AB=√2，
∴$OA^2+OB^2=1^2+1^2=2=AB^2$，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°。
用坐标法求解：设点A为坐标原点(0,0)，AP在x轴上，则P(1,0)，
∵OA⊥PA，OA=1，
∴O(0,1)，⊙O的方程为$x^2+(y-1)^2=1$。
设B(x,y)，
∵AB=√2，
∴$x^2+y^2=(\sqrt{2})^2=2$，
联立方程：$\begin{cases}x^2+(y-1)^2=1\\x^2+y^2=2\end{cases}$，
将第二个方程代入第一个，得$2-2y+1=1$，解得$y=1$，
代入$x^2+y^2=2$得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$，
∴B点坐标为(1,1)或(-1,1)。
①当B为(1,1)时，$PB=\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2}=1$；
②当B为(-1,1)时，$PB=\sqrt{(-1-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$。
综上，PB的长为1或√5。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，勾股定理，圆的多解问题
【点评】
本题是圆中典型的多解类题目，易错点是忽略弦AB存在两种不同的位置导致漏解，解题时先通过连接辅助线，结合切线性质和勾股定理判断三角形的形状，再分情况计算即可得到完整结果。
【难度系数】
0.6
4. 在$\odot O$中，弦$AB$所对的圆心角的度数为$80°$，则弦$AB$所对的圆周角的度数为（
A.$40°$
B.$160°$
C.$80°$或$160°$
D.$40°$或$140°$
D
）A.$40°$
B.$160°$
C.$80°$或$160°$
D.$40°$或$140°$
答案
4. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确：圆中任意一条非直径的弦都对应两条弧，即劣弧和优弧，因此弦所对的圆周角也对应两种情况，顶点分别在优弧、劣弧上，再结合圆周角定理分别计算两种情况的角度即可。
【解析】
已知弦AB所对的圆心角为80°，因此劣弧AB的度数为80°，优弧AB的度数为$360°-80°=280°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，分两种情况讨论：
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，该圆周角对应劣弧AB，度数为$80°÷2=40°$；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应优弧AB，度数为$280°÷2=140°$。
因此弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，弦与弧的对应关系，分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，易错点是只考虑圆周角顶点在优弧上的情况，忽略劣弧上的圆周角，解题时要注意全面分析，分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确：圆中任意一条非直径的弦都对应两条弧，即劣弧和优弧，因此弦所对的圆周角也对应两种情况，顶点分别在优弧、劣弧上，再结合圆周角定理分别计算两种情况的角度即可。
【解析】
已知弦AB所对的圆心角为80°，因此劣弧AB的度数为80°，优弧AB的度数为$360°-80°=280°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，分两种情况讨论：
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，该圆周角对应劣弧AB，度数为$80°÷2=40°$；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应优弧AB，度数为$280°÷2=140°$。
因此弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，弦与弧的对应关系，分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，易错点是只考虑圆周角顶点在优弧上的情况，忽略劣弧上的圆周角，解题时要注意全面分析，分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5. 已知$\odot O$的半径为10 cm，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB// CD$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，则弦AB与CD之间的距离是
2 cm或14 cm
.答案
5. 2 cm或14 cm
解析
【分析】
本题是圆中平行弦距离的多解问题，解题思路如下：1. 首先明确两条平行弦与圆心的位置关系有两种：在圆心同侧、在圆心异侧，需分类讨论避免漏解；2. 过圆心作两条平行弦的垂线，结合垂径定理可得到半弦长，再在半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理分别求出两条弦的弦心距；3. 根据两条弦的位置，同侧时弦间距为弦心距的差，异侧时为弦心距的和，即可算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理：
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm}$，$CF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAE中，$OA=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OCF中，$OC=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD之间的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\ \mathrm{cm}$；
② 当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD之间的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm。
【答案】
2 cm或14 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略平行弦相对于圆心的两种位置关系，导致漏解。解题时要结合圆的对称性全面考虑位置情况，熟练运用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合勾股定理计算弦心距是解题的核心。
【难度系数】
0.6
本题是圆中平行弦距离的多解问题，解题思路如下：1. 首先明确两条平行弦与圆心的位置关系有两种：在圆心同侧、在圆心异侧，需分类讨论避免漏解；2. 过圆心作两条平行弦的垂线，结合垂径定理可得到半弦长，再在半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理分别求出两条弦的弦心距；3. 根据两条弦的位置，同侧时弦间距为弦心距的差，异侧时为弦心距的和，即可算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理：
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm}$，$CF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAE中，$OA=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OCF中，$OC=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD之间的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\ \mathrm{cm}$；
② 当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD之间的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm。
【答案】
2 cm或14 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略平行弦相对于圆心的两种位置关系，导致漏解。解题时要结合圆的对称性全面考虑位置情况，熟练运用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合勾股定理计算弦心距是解题的核心。
【难度系数】
0.6
6. 已知$\odot O$的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$，弦$CD⊥ AB$于点$M$. 若$OM:OA=3:5$，则弦$AC$的长为多少？
答案
6. 解：
如图①，$\because AB=10\ \mathrm{cm}$，弦$CD⊥ AB$于点M，$OM:OA=3:5$，
$\therefore OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OM=3\ \mathrm{cm}$，$AM=8\ \mathrm{cm}$. $\therefore CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=4\ \mathrm{cm}$. $\therefore AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$. 如图②，$\because AB=10\ \mathrm{cm}$，弦$CD⊥ AB$于点M，$OM:OA=3:5$，
$\therefore OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OM=3\ \mathrm{cm}$，$AM=2\ \mathrm{cm}$. $\therefore CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=4\ \mathrm{cm}$. $\therefore AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$. 综上所述，弦AC的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题是圆中线段计算类问题，解题思路如下：①首先根据直径长度求出圆的半径，结合OM与OA的比例关系求出OM的长度；②注意垂足M的位置存在两种情况，分别为M靠近点B、M靠近点A，需分类讨论避免漏解；③利用垂径定理可得CD与AB垂直，因此△OMC、△AMC均为直角三角形，先通过勾股定理求出CM的长度，再结合对应情况下AM的长度，再次用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 如图①所示：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$
∵$OM:OA=3:5$，
∴$OM=3\ \mathrm{cm}$，此时$AM=OA+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$
∵$CD⊥ AB$，
∴△OMC为直角三角形
由勾股定理得：$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$
在Rt△AMC中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
2. 如图②所示：
同理可得$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OM=3\ \mathrm{cm}$，此时M在A、O之间，$AM=OA-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$
∵$CD⊥ AB$，
∴$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=4\ \mathrm{cm}$
在Rt△AMC中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
综上，弦AC的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
弦AC的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，易错点是忽略垂足M的两种位置，只计算其中一种情况导致漏解。解题时需结合图形分类讨论，熟练运用垂径定理和勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.6
本题是圆中线段计算类问题，解题思路如下：①首先根据直径长度求出圆的半径，结合OM与OA的比例关系求出OM的长度；②注意垂足M的位置存在两种情况，分别为M靠近点B、M靠近点A，需分类讨论避免漏解；③利用垂径定理可得CD与AB垂直，因此△OMC、△AMC均为直角三角形，先通过勾股定理求出CM的长度，再结合对应情况下AM的长度，再次用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 如图①所示：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$
∵$OM:OA=3:5$，
∴$OM=3\ \mathrm{cm}$，此时$AM=OA+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$
∵$CD⊥ AB$，
∴△OMC为直角三角形
由勾股定理得：$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$
在Rt△AMC中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
2. 如图②所示：
同理可得$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OM=3\ \mathrm{cm}$，此时M在A、O之间，$AM=OA-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$
∵$CD⊥ AB$，
∴$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=4\ \mathrm{cm}$
在Rt△AMC中，$AC=\sqrt{CM^2+AM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
综上，弦AC的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
弦AC的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，易错点是忽略垂足M的两种位置，只计算其中一种情况导致漏解。解题时需结合图形分类讨论，熟练运用垂径定理和勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.6
7. 已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$OD⊥ BC$于点$D$，且$∠ BOD=48°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$48°$
B.$132°$
C.$48°$或$132°$
D.$24°$或$156°$
C
）A.$48°$
B.$132°$
C.$48°$或$132°$
D.$24°$或$156°$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的相关定理：1. 由OD⊥BC，结合垂径定理可得OD平分弧BC，同时平分圆心角∠BOC，可先求出∠BOC的度数；2. 由于△ABC的顶点A既可能在BC所对的优弧上，也可能在BC所对的劣弧上，需分两种情况结合圆周角定理计算∠BAC的度数，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
连接OC，
∵ OB=OC，OD⊥BC，
∴ 根据等腰三角形三线合一（或垂径定理），可得∠BOC=2∠BOD=2×48°=96°。
分两种情况讨论：
① 当点A在BC所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×96°=48°；
② 当点A在BC所对的劣弧上时，此时∠BAC所对的弧为优弧BC，优弧BC的度数为360°-96°=264°，根据圆周角定理可得∠BAC=$\frac{1}{2}$×264°=132°。
综上，∠BAC的度数为48°或132°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题核心是注意点A在圆上的位置有两种可能，避免因考虑不全漏解，同时需熟练掌握垂径定理和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆的相关定理：1. 由OD⊥BC，结合垂径定理可得OD平分弧BC，同时平分圆心角∠BOC，可先求出∠BOC的度数；2. 由于△ABC的顶点A既可能在BC所对的优弧上，也可能在BC所对的劣弧上，需分两种情况结合圆周角定理计算∠BAC的度数，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
连接OC，
∵ OB=OC，OD⊥BC，
∴ 根据等腰三角形三线合一（或垂径定理），可得∠BOC=2∠BOD=2×48°=96°。
分两种情况讨论：
① 当点A在BC所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×96°=48°；
② 当点A在BC所对的劣弧上时，此时∠BAC所对的弧为优弧BC，优弧BC的度数为360°-96°=264°，根据圆周角定理可得∠BAC=$\frac{1}{2}$×264°=132°。
综上，∠BAC的度数为48°或132°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、分类讨论思想
【点评】
本题是圆中典型的多解问题，解题核心是注意点A在圆上的位置有两种可能，避免因考虑不全漏解，同时需熟练掌握垂径定理和圆周角定理的应用。
【难度系数】
0.6
8. 已知点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心.若∠BOC=100°,则∠BIC的度数为
115°或155°
.答案
8. $115°$或$155°$
解析
【分析】
解题时首先回忆外心、内心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BOC=100°时，顶点A的位置有两种情况（在优弧BC或劣弧BC上），需分情况求∠A的度数；再根据内心是三角形角平分线的交点，推导∠BIC与∠A的固定关系，代入两种情况的∠A计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，外心O在三角形内部：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
∵I是△ABC的内心，
∴IB、IC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×130°=65°$，
∴$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-65°=115°$。
2. 当△ABC为钝角三角形时，外心O在三角形外部：
此时∠A对应优弧BC的圆周角，优弧BC对应的圆心角为$360°-100°=260°$，
∴$∠ A=\frac{1}{2}×260°=130°$。
同理可得$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$，
∴$∠ BIC=180°-25°=155°$。
【答案】
$115°$或$155°$
【知识点】
圆周角定理，外心的性质，内心的性质
【点评】
本题属于圆中典型的多解问题，解题的易错点是忽略外心在三角形外部的情况导致漏解，需熟练掌握内心、外心的角度推导规律，遇到无图的几何题时主动考虑多种情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆外心、内心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BOC=100°时，顶点A的位置有两种情况（在优弧BC或劣弧BC上），需分情况求∠A的度数；再根据内心是三角形角平分线的交点，推导∠BIC与∠A的固定关系，代入两种情况的∠A计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，外心O在三角形内部：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
∵I是△ABC的内心，
∴IB、IC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×130°=65°$，
∴$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-65°=115°$。
2. 当△ABC为钝角三角形时，外心O在三角形外部：
此时∠A对应优弧BC的圆周角，优弧BC对应的圆心角为$360°-100°=260°$，
∴$∠ A=\frac{1}{2}×260°=130°$。
同理可得$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$，
∴$∠ BIC=180°-25°=155°$。
【答案】
$115°$或$155°$
【知识点】
圆周角定理，外心的性质，内心的性质
【点评】
本题属于圆中典型的多解问题，解题的易错点是忽略外心在三角形外部的情况导致漏解，需熟练掌握内心、外心的角度推导规律，遇到无图的几何题时主动考虑多种情况。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,以点$A(\sqrt{2},0)$为圆心,1为半径画圆.将$\odot A$绕点$O$逆时针旋转$α(0°＜α＜180°)$得到$\odot A'$,使得$\odot A'$与$y$轴相切,则$α$的度数是
45°或135°
. 答案
9. $45°$或$135°$
解析
【分析】
解题时先明确两个核心性质：一是圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径；二是旋转前后对应点到旋转中心的距离相等。首先计算出OA的长度，再根据⊙A'与y轴相切得出旋转后圆心A'的横坐标绝对值为1，结合OA'的长度求出A'的坐标，最后根据A'的位置计算旋转角α，注意要考虑A'在第一象限和第二象限两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(\sqrt{2},0)$，
∴$OA=\sqrt{2}$。
∵$\odot A$绕点$O$逆时针旋转得到$\odot A'$，
∴$OA'=OA=\sqrt{2}$，$\odot A'$的半径$r=1$。
∵$\odot A'$与$y$轴相切，
∴点$A'$到$y$轴的距离等于半径，即$|x_{A'}|=1$，因此$x_{A'}=1$或$x_{A'}=-1$。
① 当$x_{A'}=1$时：
设$A'(1,y)$，由$OA'=\sqrt{2}$可得$1^2+y^2=(\sqrt{2})^2$，解得$y=\pm1$。
∵$0°＜α＜180°$，逆时针旋转后$A'$纵坐标为正，
∴$y=1$，即$A'(1,1)$。
此时$OA'$与$x$轴正方向的夹角为$45°$，即$α=45°$。
② 当$x_{A'}=-1$时：
设$A'(-1,y)$，由$OA'=\sqrt{2}$可得$(-1)^2+y^2=(\sqrt{2})^2$，解得$y=1$（$y=-1$不符合旋转角范围，舍去），即$A'(-1,1)$。
此时$OA'$与$x$轴正方向的夹角为$135°$，即$α=135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
切线的性质，旋转的性质，点的坐标特征
【点评】
本题是典型的圆相关的多解问题，解题的关键是牢记相切的条件和旋转的不变性，需要全面考虑圆心可能存在的位置，避免因忽略第二象限的情况而漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先明确两个核心性质：一是圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径；二是旋转前后对应点到旋转中心的距离相等。首先计算出OA的长度，再根据⊙A'与y轴相切得出旋转后圆心A'的横坐标绝对值为1，结合OA'的长度求出A'的坐标，最后根据A'的位置计算旋转角α，注意要考虑A'在第一象限和第二象限两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(\sqrt{2},0)$，
∴$OA=\sqrt{2}$。
∵$\odot A$绕点$O$逆时针旋转得到$\odot A'$，
∴$OA'=OA=\sqrt{2}$，$\odot A'$的半径$r=1$。
∵$\odot A'$与$y$轴相切，
∴点$A'$到$y$轴的距离等于半径，即$|x_{A'}|=1$，因此$x_{A'}=1$或$x_{A'}=-1$。
① 当$x_{A'}=1$时：
设$A'(1,y)$，由$OA'=\sqrt{2}$可得$1^2+y^2=(\sqrt{2})^2$，解得$y=\pm1$。
∵$0°＜α＜180°$，逆时针旋转后$A'$纵坐标为正，
∴$y=1$，即$A'(1,1)$。
此时$OA'$与$x$轴正方向的夹角为$45°$，即$α=45°$。
② 当$x_{A'}=-1$时：
设$A'(-1,y)$，由$OA'=\sqrt{2}$可得$(-1)^2+y^2=(\sqrt{2})^2$，解得$y=1$（$y=-1$不符合旋转角范围，舍去），即$A'(-1,1)$。
此时$OA'$与$x$轴正方向的夹角为$135°$，即$α=135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
切线的性质，旋转的性质，点的坐标特征
【点评】
本题是典型的圆相关的多解问题，解题的关键是牢记相切的条件和旋转的不变性，需要全面考虑圆心可能存在的位置，避免因忽略第二象限的情况而漏解。
【难度系数】
0.6
10. 如图，正方形ABCD的边长为2，以AB边上的动点O为圆心，OB为半径作圆，将△AOD沿OD翻折至△A'OD，若⊙O过△A'OD一边上的中点，求⊙O的半径。
答案
10. 解：如图①，当以OB为半径的$\odot O$过$△ A'OD$的边$OA'$的中点E时，由折叠可知$OA=OA'$，而$OA'=2OB$，$\therefore AB=3OB$，$\therefore OB=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}$；如图②，当以OB为半径的$\odot O$过$△ A'OD$的边OD的中点E时，则$OD=2OB$，设$OB=x$，则$OD=2x$，$OA=2-x$. 在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2+AD^2=OD^2$，即$(2-x)^2+2^2=(2x)^2$，解得$x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$或$x=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}＜0$(舍去)，即半径$OB=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$；如图③，当以OB为半径的$\odot O$过$△ A'OD$的边$A'D$的中点E时，则$A'E=\frac{1}{2}AD=1$，设$OB=y$，则$OE=y$，$OA'=OA=2-y$. 在$\mathrm{Rt}△ A'OE$中，由勾股定理得$OA'^2+A'E^2=OE^2$，即$(2-y)^2+1^2=y^2$，解得$y=\frac{5}{4}$，即半径$OB=\frac{5}{4}$. 综上所述，半径OB的长为$\frac{2}{3}$或$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$或$\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
本题是圆结合折叠的多解问题，解题时首先根据“⊙O过△A'OD一边上的中点”确定分类讨论的依据：分⊙O经过OA'的中点、OD的中点、A'D的中点三种情况。每种情况结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、圆的半径相等的性质，找到直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，最后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 如图①，当⊙O过△A'OD的边$OA'$的中点E时：
由折叠的性质可知$OA=OA'$，
∵E是$OA'$的中点，⊙O的半径为$OB$，
∴$OA'=2OE=2OB$，
又
∵$AB=OA+OB=2$，
∴$2OB+OB=2$，即$3OB=2$，解得$OB=\frac{2}{3}$。
2. 如图②，当⊙O过△A'OD的边$OD$的中点E时：
∵E是$OD$的中点，⊙O的半径为$OB$，
∴$OD=2OE=2OB$，
设$OB=x$，则$OD=2x$，$OA=AB-OB=2-x$，
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，$AD=2$，由勾股定理得$OA^2+AD^2=OD^2$，
代入得$(2-x)^2+2^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2+4x-8=0$，
解得$x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$或$x=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}$（边长为正，舍去），即$OB=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$。
3. 如图③，当⊙O过△A'OD的边$A'D$的中点E时：
由折叠的性质可知$A'D=AD=2$，$∠ OA'D=∠ A=90°$，
∵E是$A'D$的中点，
∴$A'E=\frac{1}{2}A'D=1$，
设$OB=y$，则$OE=y$（⊙O的半径），$OA'=OA=2-y$，
在$\mathrm{Rt}△A'OE$中，由勾股定理得$OA'^2+A'E^2=OE^2$，
代入得$(2-y)^2+1^2=y^2$，
整理得$5-4y=0$，解得$y=\frac{5}{4}$，即$OB=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\frac{2}{3}$或$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$或$\frac{5}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题考查圆与折叠结合的多解问题，解题的关键是根据“过一边中点”明确分类讨论的三种情况，结合几何性质找到等量关系列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
本题是圆结合折叠的多解问题，解题时首先根据“⊙O过△A'OD一边上的中点”确定分类讨论的依据：分⊙O经过OA'的中点、OD的中点、A'D的中点三种情况。每种情况结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、圆的半径相等的性质，找到直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，最后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 如图①，当⊙O过△A'OD的边$OA'$的中点E时：
由折叠的性质可知$OA=OA'$，
∵E是$OA'$的中点，⊙O的半径为$OB$，
∴$OA'=2OE=2OB$，
又
∵$AB=OA+OB=2$，
∴$2OB+OB=2$，即$3OB=2$，解得$OB=\frac{2}{3}$。
2. 如图②，当⊙O过△A'OD的边$OD$的中点E时：
∵E是$OD$的中点，⊙O的半径为$OB$，
∴$OD=2OE=2OB$，
设$OB=x$，则$OD=2x$，$OA=AB-OB=2-x$，
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，$AD=2$，由勾股定理得$OA^2+AD^2=OD^2$，
代入得$(2-x)^2+2^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2+4x-8=0$，
解得$x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$或$x=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}$（边长为正，舍去），即$OB=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$。
3. 如图③，当⊙O过△A'OD的边$A'D$的中点E时：
由折叠的性质可知$A'D=AD=2$，$∠ OA'D=∠ A=90°$，
∵E是$A'D$的中点，
∴$A'E=\frac{1}{2}A'D=1$，
设$OB=y$，则$OE=y$（⊙O的半径），$OA'=OA=2-y$，
在$\mathrm{Rt}△A'OE$中，由勾股定理得$OA'^2+A'E^2=OE^2$，
代入得$(2-y)^2+1^2=y^2$，
整理得$5-4y=0$，解得$y=\frac{5}{4}$，即$OB=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\frac{2}{3}$或$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$或$\frac{5}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题考查圆与折叠结合的多解问题，解题的关键是根据“过一边中点”明确分类讨论的三种情况，结合几何性质找到等量关系列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
