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9. 已知一个扇形的圆心角为$210°$，弧长为$28π$，求这个扇形的面积.
答案
9. 336π
解析
【分析】
要求扇形的面积，已知圆心角度数和弧长，缺少扇形的半径，因此首先需要利用弧长公式求出半径，再将半径、已知的弧长（或圆心角）代入扇形面积公式即可求出结果。解题时先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），扇形面积公式可选用$S=\frac{1}{2}lr$或$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值计算即可。
【解析】
解：设扇形的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$n=210°$，$l=28π$，代入得：
$\frac{210π r}{180}=28π$
两边同时约去$π$，化简得：$\frac{7r}{6}=28$
解得：$r=24$
再根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入$l=28π$，$r=24$得：
$S=\frac{1}{2}×28π×24=336π$
【答案】
$336π$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对弧长、扇形面积计算公式的灵活运用，先通过已知条件求解未知量半径，再代入面积公式计算即可，只要熟记公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要求扇形的面积，已知圆心角度数和弧长，缺少扇形的半径，因此首先需要利用弧长公式求出半径，再将半径、已知的弧长（或圆心角）代入扇形面积公式即可求出结果。解题时先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），扇形面积公式可选用$S=\frac{1}{2}lr$或$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值计算即可。
【解析】
解：设扇形的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$n=210°$，$l=28π$，代入得：
$\frac{210π r}{180}=28π$
两边同时约去$π$，化简得：$\frac{7r}{6}=28$
解得：$r=24$
再根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，代入$l=28π$，$r=24$得：
$S=\frac{1}{2}×28π×24=336π$
【答案】
$336π$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对弧长、扇形面积计算公式的灵活运用，先通过已知条件求解未知量半径，再代入面积公式计算即可，只要熟记公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. (2025·江西)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ACB=35°$,以$BA$,$BC$为边作$□ ABCD$.
(1)当$BC$经过圆心$O$时(
),求$∠ D$的度数;
(2)当$AD$与$\odot O$相切时(),若$\odot O$的半径为6,求$\overset{\frown}{AC}$的长.
(1)当$BC$经过圆心$O$时(
),求$∠ D$的度数;(2)当$AD$与$\odot O$相切时(),若$\odot O$的半径为6,求$\overset{\frown}{AC}$的长.
答案
10. (1) $\because BC$经过圆心$O,\therefore BC$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=90°.\because ∠ ACB=35°$,四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore ∠ D=∠ B=90°-∠ ACB=55°$,$\therefore ∠ D$的度数是$55°$.
(2) 连接$OA,OC$,$\because AD$与$\odot O$相切于点$A$,$\odot O$的半径为6,$\therefore AD⊥ OA$,$OA=OC=6$,$\therefore ∠ OAD=90°. \because AD// BC$,$\therefore ∠ CAD=∠ ACB=35°$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC=∠ OAD-∠ CAD=55°$,$\therefore ∠ AOC=180°-∠ OCA-∠ OAC=70°$,$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{70π×6}{180}=\frac{7π}{3}$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{7π}{3}$.
(2) 连接$OA,OC$,$\because AD$与$\odot O$相切于点$A$,$\odot O$的半径为6,$\therefore AD⊥ OA$,$OA=OC=6$,$\therefore ∠ OAD=90°. \because AD// BC$,$\therefore ∠ CAD=∠ ACB=35°$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC=∠ OAD-∠ CAD=55°$,$\therefore ∠ AOC=180°-∠ OCA-∠ OAC=70°$,$\therefore l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{70π×6}{180}=\frac{7π}{3}$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{7π}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先根据BC过圆心O判断BC是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角得到∠BAC=90°，结合已知∠ACB的度数计算出∠B的度数，再根据平行四边形对角相等的性质，即可求出∠D的度数。
(2) 弧长的计算需要知道圆心角和半径，已知圆的半径，因此只需求出弧AC所对的圆心角∠AOC的度数即可。先连接OA、OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，再利用平行四边形对边平行的性质推导角的关系，求出∠OAC的度数，结合等腰三角形OAC的性质算出圆心角∠AOC，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
(1)
∵ BC经过圆心O，
∴ BC是$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角∠BAC=90°。
∵ ∠ACB=35°，在$Rt△ ABC$中，∠B=90°-∠ACB=90°-35°=55°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角相等，
∴ ∠D=∠B=55°。
(2) 连接$OA,OC$，
∵ AD与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ $AD⊥ OA$，即∠OAD=90°，且$OA=OC=6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ 两直线平行内错角相等，∠CAD=∠ACB=35°，
∴ ∠OAC=∠OAD-∠CAD=90°-35°=55°。
∵ OA=OC，
∴ $△ OAC$为等腰三角形，∠OCA=∠OAC=55°，
根据三角形内角和为180°，得∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC=180°-55°-55°=70°。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=70°，r=6，
得$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{70π×6}{180}=\frac{7π}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) $\boxed{\frac{7π}{3}}$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的性质；切线性质与弧长计算
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的综合基础题，第一问直接考查基础几何性质，难度较低；第二问需要作辅助线构造圆心角，结合多个几何定理推导角度，再用弧长公式计算，重点考查基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据BC过圆心O判断BC是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角得到∠BAC=90°，结合已知∠ACB的度数计算出∠B的度数，再根据平行四边形对角相等的性质，即可求出∠D的度数。
(2) 弧长的计算需要知道圆心角和半径，已知圆的半径，因此只需求出弧AC所对的圆心角∠AOC的度数即可。先连接OA、OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，再利用平行四边形对边平行的性质推导角的关系，求出∠OAC的度数，结合等腰三角形OAC的性质算出圆心角∠AOC，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
(1)
∵ BC经过圆心O，
∴ BC是$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角∠BAC=90°。
∵ ∠ACB=35°，在$Rt△ ABC$中，∠B=90°-∠ACB=90°-35°=55°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角相等，
∴ ∠D=∠B=55°。
(2) 连接$OA,OC$，
∵ AD与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ $AD⊥ OA$，即∠OAD=90°，且$OA=OC=6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ 两直线平行内错角相等，∠CAD=∠ACB=35°，
∴ ∠OAC=∠OAD-∠CAD=90°-35°=55°。
∵ OA=OC，
∴ $△ OAC$为等腰三角形，∠OCA=∠OAC=55°，
根据三角形内角和为180°，得∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC=180°-55°-55°=70°。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=70°，r=6，
得$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{70π×6}{180}=\frac{7π}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) $\boxed{\frac{7π}{3}}$
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的性质；切线性质与弧长计算
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的综合基础题，第一问直接考查基础几何性质，难度较低；第二问需要作辅助线构造圆心角，结合多个几何定理推导角度，再用弧长公式计算，重点考查基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图1，半径为$R$，圆心角为$n°$的扇形面积是$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$. 由弧长$l=\frac{nπ R}{180}$,得:$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{1}{2}·\frac{nπ R}{180}· R=\frac{1}{2}lR$. 通过观察,我们发现$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$类似于$S_{三角形}=\frac{1}{2}×底×高$. 类比扇形,我们探索扇环(如图2,两个同心圆围成的圆环被扇形截得一部分叫作扇环)的面积公式及其应用. 设扇环的面积为$S_{扇环}$,$\overset{\frown}{AB}$的长为$l_1$,$\overset{\frown}{CD}$的长为$l_2$,线段$AD$的长为$h$(即两个同心圆半径$R$与$r$的差),类比$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$,用含$l_1,l_2,h$的代数式表示$S_{扇环}$,并证明. 
第11题
第11题答案
11. $S_{扇环}=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}=\frac{nπ R^2}{360}-\frac{nπ r^2}{360}=\frac{nπ}{360}(R^2-r^2)=\frac{nπ}{360}(R+r)(R-r)=\frac{nπ}{360}(R+r)h=\frac{1}{2}·(\frac{nπ R}{180}+\frac{nπ r}{180})h=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h$.
解析
【分析】
推导扇环面积可按以下思路思考：第一步，明确扇环是大扇形截去小扇形得到的，因此扇环面积等于大扇形面积减去小扇形面积；第二步，结合题目给出的提示，类比梯形面积公式，我们需要将面积差的表达式转化为含$l_1$、$l_2$、$h$的形式；第三步，设大扇形半径为$R$，小扇形半径为$r$，可得$h=R-r$，再结合弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，对面积差的式子进行因式分解、代换变形，消去$n$、$R$、$r$这些量，即可得到所求公式。
【解析】
$S_{扇环}=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h$，证明如下：
设大扇形$AOB$的半径为$R$，小扇形$COD$的半径为$r$，由题意得：$h=R-r$，$\overset{\frown}{AB}$的长$l_1=\frac{nπR}{180}$，$\overset{\frown}{CD}$的长$l_2=\frac{nπr}{180}$。
$\begin{aligned}S_{扇环}&=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}\\&=\frac{nπ R^2}{360}-\frac{nπ r^2}{360}\\&=\frac{nπ}{360}(R^2-r^2)\\&=\frac{nπ}{360}(R+r)(R-r)\\&=\frac{nπ}{360}(R+r)h\\&=\frac{1}{2}·(\frac{nπ R}{180}+\frac{nπ r}{180})h\\&=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h\end{aligned}$
【答案】
$S_{扇环}=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，因式分解应用
【点评】
本题属于类比探究类题型，核心是利用“大减小”的面积差思路，结合扇形面积、弧长公式以及因式分解进行代数变形，既考查了基础公式的掌握程度，也能锻炼知识迁移、类比推理的能力。
【难度系数】
0.7
推导扇环面积可按以下思路思考：第一步，明确扇环是大扇形截去小扇形得到的，因此扇环面积等于大扇形面积减去小扇形面积；第二步，结合题目给出的提示，类比梯形面积公式，我们需要将面积差的表达式转化为含$l_1$、$l_2$、$h$的形式；第三步，设大扇形半径为$R$，小扇形半径为$r$，可得$h=R-r$，再结合弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，对面积差的式子进行因式分解、代换变形，消去$n$、$R$、$r$这些量，即可得到所求公式。
【解析】
$S_{扇环}=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h$，证明如下：
设大扇形$AOB$的半径为$R$，小扇形$COD$的半径为$r$，由题意得：$h=R-r$，$\overset{\frown}{AB}$的长$l_1=\frac{nπR}{180}$，$\overset{\frown}{CD}$的长$l_2=\frac{nπr}{180}$。
$\begin{aligned}S_{扇环}&=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}\\&=\frac{nπ R^2}{360}-\frac{nπ r^2}{360}\\&=\frac{nπ}{360}(R^2-r^2)\\&=\frac{nπ}{360}(R+r)(R-r)\\&=\frac{nπ}{360}(R+r)h\\&=\frac{1}{2}·(\frac{nπ R}{180}+\frac{nπ r}{180})h\\&=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h\end{aligned}$
【答案】
$S_{扇环}=\frac{1}{2}(l_1+l_2)h$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，因式分解应用
【点评】
本题属于类比探究类题型，核心是利用“大减小”的面积差思路，结合扇形面积、弧长公式以及因式分解进行代数变形，既考查了基础公式的掌握程度，也能锻炼知识迁移、类比推理的能力。
【难度系数】
0.7
12. (2025·宿迁)如图,点A在$\odot O$上,点B在$\odot O$外,线段OB与$\odot O$交于点C,过点C作$\odot O$的切线交直线AB于点D,且$AD=CD$.
(1) 判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$∠ B=30°$,$CD=4$,求图中阴影部分的面积.
(1) 判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$∠ B=30°$,$CD=4$,求图中阴影部分的面积.
答案
12. (1) 直线AB与$\odot O$相切,理由如下:如图,连接$OA,OD$,$\because$ 直线CD与$\odot O$相切,$\therefore OC⊥ CD$,$\therefore ∠ OCD=90°$,在$△ OAD$和$△ OCD$中,$\begin{cases} OA=OC \\ OD=OD \\ AD=CD \end{cases}$,$\therefore △ OAD≌△ OCD(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ OAD=∠ OCD=90°$,$\therefore OA⊥ AD. \because OA$是$\odot O$半径,$\therefore$ 直线AB与$\odot O$相切；
(2) 由(1)得$△ OAD≌△ OCD$,$∠ OAD=∠ OCD=90°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD$,$S_{△ OAD}=S_{△ OCD}. \because ∠ B=30°$,$\therefore ∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD=30°$,$\therefore OD=2CD=8$,$\therefore OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,$\therefore S_{△ OAD}=S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$.
(2) 由(1)得$△ OAD≌△ OCD$,$∠ OAD=∠ OCD=90°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD$,$S_{△ OAD}=S_{△ OCD}. \because ∠ B=30°$,$\therefore ∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD=30°$,$\therefore OD=2CD=8$,$\therefore OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,$\therefore S_{△ OAD}=S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$.
解析
【分析】
(1) 要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，根据切线的判定定理，只需证明半径OA与AB垂直即可。已知CD是$\odot O$的切线，可得$∠ OCD=90°$，结合已知$AD=CD$、$OA=OC$（同圆半径相等），考虑连接OA、OD，通过SSS证明$△ OAD≌△ OCD$，即可得到$∠ OAD=∠ OCD=90°$，进而证得AB是$\odot O$的切线。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法计算：阴影面积=$△ OAD$面积+$△ OCD$面积-扇形AOC面积。首先根据$∠ B=30°$，结合直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ AOC=60°$，再利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出半径OC的长度，分别计算两个直角三角形的面积和扇形面积，代入化简即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 直线AB与$\odot O$相切，理由如下：
连接$OA,OD$，
$\because$ 直线CD与$\odot O$相切，
$\therefore OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
在$△ OAD$和$△ OCD$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ OD=OD \\ AD=CD \end{cases}$，
$\therefore △ OAD≌△ OCD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OAD=∠ OCD=90°$，即$OA⊥ AD$，
$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线AB与$\odot O$相切。
(2) 由(1)得$△ OAD≌△ OCD$，$∠ OAD=∠ OCD=90°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，$S_{△ OAD}=S_{△ OCD}$，
$\because ∠ B=30°$，$∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ COD=30°$，
$\therefore OD=2CD=2×4=8$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$，则$S_{△ OAD}=8\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
(1) 直线AB与$\odot O$相切；
(2) 阴影部分的面积为$16\sqrt{3}-8π$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常见综合题型，第一问重点考察切线的判定方法，掌握“连半径、证垂直”的常规证明思路是解题的核心；第二问考察不规则图形面积的求解，熟练运用割补法，结合特殊直角三角形的性质、扇形面积公式即可完成计算，对学生的逻辑推理能力和基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，根据切线的判定定理，只需证明半径OA与AB垂直即可。已知CD是$\odot O$的切线，可得$∠ OCD=90°$，结合已知$AD=CD$、$OA=OC$（同圆半径相等），考虑连接OA、OD，通过SSS证明$△ OAD≌△ OCD$，即可得到$∠ OAD=∠ OCD=90°$，进而证得AB是$\odot O$的切线。
(2) 阴影部分为不规则图形，采用割补法计算：阴影面积=$△ OAD$面积+$△ OCD$面积-扇形AOC面积。首先根据$∠ B=30°$，结合直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ AOC=60°$，再利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出半径OC的长度，分别计算两个直角三角形的面积和扇形面积，代入化简即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 直线AB与$\odot O$相切，理由如下：
连接$OA,OD$，
$\because$ 直线CD与$\odot O$相切，
$\therefore OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
在$△ OAD$和$△ OCD$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ OD=OD \\ AD=CD \end{cases}$，
$\therefore △ OAD≌△ OCD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OAD=∠ OCD=90°$，即$OA⊥ AD$，
$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 直线AB与$\odot O$相切。
(2) 由(1)得$△ OAD≌△ OCD$，$∠ OAD=∠ OCD=90°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，$S_{△ OAD}=S_{△ OCD}$，
$\because ∠ B=30°$，$∠ OAB=90°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ COD=30°$，
$\therefore OD=2CD=2×4=8$，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$，则$S_{△ OAD}=8\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$。
【答案】
(1) 直线AB与$\odot O$相切；
(2) 阴影部分的面积为$16\sqrt{3}-8π$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常见综合题型，第一问重点考察切线的判定方法，掌握“连半径、证垂直”的常规证明思路是解题的核心；第二问考察不规则图形面积的求解，熟练运用割补法，结合特殊直角三角形的性质、扇形面积公式即可完成计算，对学生的逻辑推理能力和基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
