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1. (2025·无锡)已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为$90°$，则这条弧的长为（
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
B
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求圆弧的长度，解题核心是回忆并运用弧长计算公式。首先明确弧长计算公式的适用条件，再从题干中提取两个关键已知量：圆心角的度数$n=90°$，圆弧所在圆的半径$R=6$，最后将已知量代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长的计算公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径）。
将$n=90$，$R=6$代入公式：
$ l=\frac{90×π×6}{180}=3π $
因此这条弧的长为$3π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的记忆与直接应用，只要准确掌握公式、代入数值时不出现计算失误，即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题要求圆弧的长度，解题核心是回忆并运用弧长计算公式。首先明确弧长计算公式的适用条件，再从题干中提取两个关键已知量：圆心角的度数$n=90°$，圆弧所在圆的半径$R=6$，最后将已知量代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长的计算公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径）。
将$n=90$，$R=6$代入公式：
$ l=\frac{90×π×6}{180}=3π $
因此这条弧的长为$3π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对弧长公式的记忆与直接应用，只要准确掌握公式、代入数值时不出现计算失误，即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.（2024·东营）某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA=20 cm，OB=5 cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 （
A.$\frac{25}{3}π$ cm²
B.$75π$ cm²
C.$125π$ cm²
D.$150π$ cm²
C
）A.$\frac{25}{3}π$ cm²
B.$75π$ cm²
C.$125π$ cm²
D.$150π$ cm²
答案
2. C
解析
【分析】
要计算扇面的面积，首先明确扇面是圆心角相同的大扇形减去小扇形得到的扇环区域。解题思路如下：第一步回忆扇形面积公式：圆心角为n°、半径为R的扇形面积$S = \frac{n}{360}πR²$；第二步确定大扇形的半径OA=20cm、小扇形的半径OB=5cm，两者的圆心角均为120°；第三步用大扇形面积减去小扇形面积，即可得到扇面的面积。
【解析】
扇面的面积等于大扇形OAC的面积减去小扇形OBD的面积，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{n}{360}πR²$（n为圆心角度数，R为扇形半径）：
1. 大扇形面积：$S_大=\frac{120}{360}π×OA²=\frac{1}{3}π×20²$
2. 小扇形面积：$S_小=\frac{120}{360}π×OB²=\frac{1}{3}π×5²$
3. 扇面面积：
$S=S_大 - S_小=\frac{1}{3}π×(20² - 5²)=\frac{1}{3}π×(400 - 25)=\frac{1}{3}π×375=125π$（cm²）
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查扇形面积的实际应用，解题核心是明确扇面为同圆心角的大小扇形的面积差，只要熟练掌握扇形面积公式即可顺利求解，计算时也可先提取公因式简化运算。
【难度系数】
0.7
要计算扇面的面积，首先明确扇面是圆心角相同的大扇形减去小扇形得到的扇环区域。解题思路如下：第一步回忆扇形面积公式：圆心角为n°、半径为R的扇形面积$S = \frac{n}{360}πR²$；第二步确定大扇形的半径OA=20cm、小扇形的半径OB=5cm，两者的圆心角均为120°；第三步用大扇形面积减去小扇形面积，即可得到扇面的面积。
【解析】
扇面的面积等于大扇形OAC的面积减去小扇形OBD的面积，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{n}{360}πR²$（n为圆心角度数，R为扇形半径）：
1. 大扇形面积：$S_大=\frac{120}{360}π×OA²=\frac{1}{3}π×20²$
2. 小扇形面积：$S_小=\frac{120}{360}π×OB²=\frac{1}{3}π×5²$
3. 扇面面积：
$S=S_大 - S_小=\frac{1}{3}π×(20² - 5²)=\frac{1}{3}π×(400 - 25)=\frac{1}{3}π×375=125π$（cm²）
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，扇环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查扇形面积的实际应用，解题核心是明确扇面为同圆心角的大小扇形的面积差，只要熟练掌握扇形面积公式即可顺利求解，计算时也可先提取公因式简化运算。
【难度系数】
0.7
3. (2025·盐城)如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心，18 cm为半径的弧，弦AB的长为18 cm，则$\overset{\frown}{AB}$的长是（
A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
D
）A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
答案
3. D
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。本题已知圆的半径$R=18\mathrm{cm}$，因此只需要求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数即可。已知$OA、OB$都是半径，长度均为$18\mathrm{cm}$，又给出弦$AB=18\mathrm{cm}$，可先判断$△ AOB$的形状得到圆心角度数，再代入公式计算弧长。
【解析】
连接$OA$、$OB$，
$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，$\therefore OA=OB=AB$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，$\therefore ∠ AOB=60°$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{60× π × 18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先通过三边相等判定三角形为等边三角形，得到圆心角的度数，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关性质和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。本题已知圆的半径$R=18\mathrm{cm}$，因此只需要求出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数即可。已知$OA、OB$都是半径，长度均为$18\mathrm{cm}$，又给出弦$AB=18\mathrm{cm}$，可先判断$△ AOB$的形状得到圆心角度数，再代入公式计算弧长。
【解析】
连接$OA$、$OB$，
$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，$\therefore OA=OB=AB$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，$\therefore ∠ AOB=60°$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{60× π × 18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先通过三边相等判定三角形为等边三角形，得到圆心角的度数，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关性质和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. (2025·长春)扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，这个扇形的圆心角的大小是
240
°.答案
4. 240
解析
【分析】
解题时可以从两个方向思考：一是利用扇形面积公式推导，设扇形圆心角为n°、所在圆半径为r，分别表示出扇形面积和圆面积，结合题目给出的面积占比关系列等式，消去公共项后求解圆心角；二是利用同圆内的比例关系：扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角（360°）的比例，直接用360°乘以面积占比即可得到圆心角度数。
【解析】
解：方法一（公式法）：设该扇形的圆心角为$n°$，所在圆的半径为$r$。
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积为$S_{圆}=π r^2$。
由题意得：$\frac{nπ r^2}{360} = \frac{2}{3} · π r^2$
两边同时约去$π r^2$，可得$\frac{n}{360}=\frac{2}{3}$
解得：$n=360×\frac{2}{3}=240$。
方法二（比例法）：同圆中，扇形面积占圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，周角为$360°$，因此扇形圆心角为$360°×\frac{2}{3}=240°$。
【答案】
240
【知识点】
扇形面积公式、比例的性质、周角的定义
【点评】
本题属于扇形的基础考点，核心是理解同圆内扇形面积和圆心角的正比例关系，两种解题方法中比例法解题更快捷，掌握该规律可以提升答题效率。
【难度系数】
0.85
解题时可以从两个方向思考：一是利用扇形面积公式推导，设扇形圆心角为n°、所在圆半径为r，分别表示出扇形面积和圆面积，结合题目给出的面积占比关系列等式，消去公共项后求解圆心角；二是利用同圆内的比例关系：扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角（360°）的比例，直接用360°乘以面积占比即可得到圆心角度数。
【解析】
解：方法一（公式法）：设该扇形的圆心角为$n°$，所在圆的半径为$r$。
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积为$S_{圆}=π r^2$。
由题意得：$\frac{nπ r^2}{360} = \frac{2}{3} · π r^2$
两边同时约去$π r^2$，可得$\frac{n}{360}=\frac{2}{3}$
解得：$n=360×\frac{2}{3}=240$。
方法二（比例法）：同圆中，扇形面积占圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，周角为$360°$，因此扇形圆心角为$360°×\frac{2}{3}=240°$。
【答案】
240
【知识点】
扇形面积公式、比例的性质、周角的定义
【点评】
本题属于扇形的基础考点，核心是理解同圆内扇形面积和圆心角的正比例关系，两种解题方法中比例法解题更快捷，掌握该规律可以提升答题效率。
【难度系数】
0.85
5. (2025·哈尔滨)一个扇形的弧长是$\frac{7}{6}π$ cm，半径是 3 cm，则此扇形的圆心角是
70
度。答案
5. 70
解析
【分析】
本题已知扇形的弧长和半径，要求圆心角，解题思路如下：首先回忆扇形弧长公式，弧长$l$与圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$；我们可以将公式变形为求$n$的形式，再把已知的弧长、半径代入变形后的公式，计算即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n$度，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
已知弧长$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，半径$r=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$\frac{7}{6}=\frac{3n}{180}$
化简右侧得$\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$，则：
$n=\frac{7}{6}×60=70$
【答案】
70
【知识点】
弧长公式；扇形相关计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查扇形弧长公式的直接应用，只要牢记弧长公式，代入数值准确计算即可得分，计算时注意约分化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.85
本题已知扇形的弧长和半径，要求圆心角，解题思路如下：首先回忆扇形弧长公式，弧长$l$与圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$；我们可以将公式变形为求$n$的形式，再把已知的弧长、半径代入变形后的公式，计算即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n$度，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
已知弧长$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，半径$r=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，可得：
$\frac{7}{6}=\frac{3n}{180}$
化简右侧得$\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$，则：
$n=\frac{7}{6}×60=70$
【答案】
70
【知识点】
弧长公式；扇形相关计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查扇形弧长公式的直接应用，只要牢记弧长公式，代入数值准确计算即可得分，计算时注意约分化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.85
6. (2024·兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型. 图2是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M,\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$顺时针转动3周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=$
108
. 答案
6. 108
解析
【分析】
本题可根据皮带传动的特点解题：皮带传动时，两个轮边缘转动的弧长相等。首先计算⊙M转动3周的总弧长，该弧长等于⊙N上点P旋转对应圆心角的弧长，再代入弧长公式即可求出n的值。
【解析】
首先计算⊙M的周长：$C_M=2π r_M=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
⊙M转动3周的总弧长：$L=3× C_M=3×2π=6π\ \mathrm{cm}$
根据皮带传动弧长相等的特点，该弧长等于⊙N上圆心角为$n°$对应的弧长，已知⊙N半径$r_N=10\ \mathrm{cm}$，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$6π=\frac{nπ×10}{180}$
两边约去$π$，化简得：$6=\frac{10n}{180}$
解得：$n=\frac{6×180}{10}=108$
【答案】
108
【知识点】
弧长计算、圆的周长、皮带传动规律
【点评】
本题以古代投石工具为背景，考查圆相关的计算，解题核心是抓住皮带传动中两轮转过的弧长相等这一隐含条件，将实际问题转化为弧长计算问题，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可根据皮带传动的特点解题：皮带传动时，两个轮边缘转动的弧长相等。首先计算⊙M转动3周的总弧长，该弧长等于⊙N上点P旋转对应圆心角的弧长，再代入弧长公式即可求出n的值。
【解析】
首先计算⊙M的周长：$C_M=2π r_M=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
⊙M转动3周的总弧长：$L=3× C_M=3×2π=6π\ \mathrm{cm}$
根据皮带传动弧长相等的特点，该弧长等于⊙N上圆心角为$n°$对应的弧长，已知⊙N半径$r_N=10\ \mathrm{cm}$，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$可得：
$6π=\frac{nπ×10}{180}$
两边约去$π$，化简得：$6=\frac{10n}{180}$
解得：$n=\frac{6×180}{10}=108$
【答案】
108
【知识点】
弧长计算、圆的周长、皮带传动规律
【点评】
本题以古代投石工具为背景，考查圆相关的计算，解题核心是抓住皮带传动中两轮转过的弧长相等这一隐含条件，将实际问题转化为弧长计算问题，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，直径AB=6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是
3π
。答案
7. 3π
解析
【分析】
解题时可利用割补法转化阴影面积：首先根据旋转的性质可知，旋转前后半圆的面积不变，即原半圆AB的面积与旋转后半圆A'B的面积相等。观察图形可得，阴影部分的面积等于扇形A'BA的面积加上原半圆AB的面积，再减去旋转后半圆A'B的面积，两个半圆面积抵消，因此只需求出圆心角为30°、半径为AB长度的扇形面积即可。
【解析】
由旋转的性质得：$A'B=AB=6$，$∠ ABA'=30°$，且旋转前后半圆的面积相等，即$S_{半圆AB}=S_{半圆A'B}$。
观察图形可知：
$S_{阴影}=S_{半圆A'B} + S_{扇形A'BA} - S_{半圆AB}$
因为$S_{半圆AB}=S_{半圆A'B}$，所以上式化简为：
$S_{阴影}=S_{扇形A'BA}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入$n=30°$，$r=6$：
$S_{扇形A'BA}=\frac{30π×6^2}{360}=\frac{30π×36}{360}=3π$
【答案】
3π
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，结合旋转前后图形面积不变的性质简化计算，避免对不规则部分直接求解，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
解题时可利用割补法转化阴影面积：首先根据旋转的性质可知，旋转前后半圆的面积不变，即原半圆AB的面积与旋转后半圆A'B的面积相等。观察图形可得，阴影部分的面积等于扇形A'BA的面积加上原半圆AB的面积，再减去旋转后半圆A'B的面积，两个半圆面积抵消，因此只需求出圆心角为30°、半径为AB长度的扇形面积即可。
【解析】
由旋转的性质得：$A'B=AB=6$，$∠ ABA'=30°$，且旋转前后半圆的面积相等，即$S_{半圆AB}=S_{半圆A'B}$。
观察图形可知：
$S_{阴影}=S_{半圆A'B} + S_{扇形A'BA} - S_{半圆AB}$
因为$S_{半圆AB}=S_{半圆A'B}$，所以上式化简为：
$S_{阴影}=S_{扇形A'BA}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入$n=30°$，$r=6$：
$S_{扇形A'BA}=\frac{30π×6^2}{360}=\frac{30π×36}{360}=3π$
【答案】
3π
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，割补法求面积
【点评】
本题解题的核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，结合旋转前后图形面积不变的性质简化计算，避免对不规则部分直接求解，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
8. 如图,图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分,图2中,图形的相关数据:半径$OA=2\ \mathrm{cm}$,$∠ AOB=120°$,则图2的周长为
$\frac{8π}{3}$
$\mathrm{cm}$(结果保留$π$).答案
8. $\frac{8π}{3}$
解析
【分析】
要计算图2的周长，首先需要明确图2的周长由哪几部分组成：观察图形可知，周长由上方的大弧AB和下方的两段小弧组成。解题时先分别确定各段弧的半径和对应的圆心角，再利用弧长公式分别计算各段弧长，最后求和即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
1. 计算上方大弧$AB$的长度：
已知大弧$AB$的半径$r_1=OA=2\ \mathrm{cm}$，对应的圆心角$∠ AOB=120°$，代入公式得：
$l_1=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}\ \mathrm{cm}$
2. 计算下方两段小弧的总长度：
观察可得每段小弧的半径$r_2=\frac{OA}{2}=1\ \mathrm{cm}$，每段小弧对应的圆心角均为$120°$，则两段小弧的总长度：
$l_2=2×\frac{120π×1}{180}=\frac{4π}{3}\ \mathrm{cm}$
3. 图2的周长为两段弧长之和：
$C=l_1+l_2=\frac{4π}{3}+\frac{4π}{3}=\frac{8π}{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{8π}{3}$
【知识点】
弧长计算、周长的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别构成图形周长的所有弧段，明确每段弧对应的圆心角和半径，再代入弧长公式计算即可，要注意不要误将虚线OA、OB计入周长。
【难度系数】
0.7
要计算图2的周长，首先需要明确图2的周长由哪几部分组成：观察图形可知，周长由上方的大弧AB和下方的两段小弧组成。解题时先分别确定各段弧的半径和对应的圆心角，再利用弧长公式分别计算各段弧长，最后求和即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
1. 计算上方大弧$AB$的长度：
已知大弧$AB$的半径$r_1=OA=2\ \mathrm{cm}$，对应的圆心角$∠ AOB=120°$，代入公式得：
$l_1=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}\ \mathrm{cm}$
2. 计算下方两段小弧的总长度：
观察可得每段小弧的半径$r_2=\frac{OA}{2}=1\ \mathrm{cm}$，每段小弧对应的圆心角均为$120°$，则两段小弧的总长度：
$l_2=2×\frac{120π×1}{180}=\frac{4π}{3}\ \mathrm{cm}$
3. 图2的周长为两段弧长之和：
$C=l_1+l_2=\frac{4π}{3}+\frac{4π}{3}=\frac{8π}{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{8π}{3}$
【知识点】
弧长计算、周长的计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确识别构成图形周长的所有弧段，明确每段弧对应的圆心角和半径，再代入弧长公式计算即可，要注意不要误将虚线OA、OB计入周长。
【难度系数】
0.7
