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6.【易错题】若一个直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x的值是
10 或 $2\sqrt{7}$
.答案
6.10 或 $2\sqrt{7}$
解析
【分析】
题目给出直角三角形的三边长为6、8、x，但未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：直角三角形中斜边是最长边，已知6＜8，所以存在两种情况：①x为斜边，长度大于8；②8为斜边，x为直角边，长度小于8。再结合勾股定理分别计算两种情况下x的取值，注意边长为正数，舍去负根即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当x为斜边长时，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2=6^2+8^2=36+64=100$
因为三角形边长为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{100}=10$。
2. 当8为斜边长时，6和x为两条直角边，根据勾股定理可得：
$x^2=8^2-6^2=64-36=28$
同理$x＞0$，所以$x=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
综上，x的值为10或$2\sqrt{7}$。
【答案】
10或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是未明确斜边时忽略分类讨论，默认x为斜边从而漏解，解题时需牢记直角三角形中斜边为最长边，不确定斜边时要分情况计算。
【难度系数】
0.6
题目给出直角三角形的三边长为6、8、x，但未明确哪条边是斜边，因此需要分类讨论：直角三角形中斜边是最长边，已知6＜8，所以存在两种情况：①x为斜边，长度大于8；②8为斜边，x为直角边，长度小于8。再结合勾股定理分别计算两种情况下x的取值，注意边长为正数，舍去负根即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当x为斜边长时，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$x^2=6^2+8^2=36+64=100$
因为三角形边长为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{100}=10$。
2. 当8为斜边长时，6和x为两条直角边，根据勾股定理可得：
$x^2=8^2-6^2=64-36=28$
同理$x＞0$，所以$x=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
综上，x的值为10或$2\sqrt{7}$。
【答案】
10或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是未明确斜边时忽略分类讨论，默认x为斜边从而漏解，解题时需牢记直角三角形中斜边为最长边，不确定斜边时要分情况计算。
【难度系数】
0.6
7.【方程思想】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，$CD ⊥ BA$的延长线于点$D$，则线段$AD$的长为（
A.$2.4$
B.$2.6$
C.$4.8$
D.$1.4$
D
）A.$2.4$
B.$2.6$
C.$4.8$
D.$1.4$
答案
7.D
解析
【分析】
本题要求线段AD的长，已知CD垂直BA的延长线，因此存在Rt△ADC和Rt△BDC两个直角三角形，二者有公共边CD，可借助勾股定理分别表示出CD²，利用公共边平方相等建立等量关系，设AD为未知数列方程求解即可。具体思考步骤：先明确两个直角三角形的边长关系，用含AD的式子表示BD，再分别用勾股定理写出CD²的表达式，联立方程解出未知数。
【解析】
设AD的长为$x$。
∵ $CD⊥BA$的延长线于点$D$，
∴ $∠ D=90°$，$△ ADC$和$△ BDC$均为直角三角形。
已知$AB=AC=5$，$BC=8$，则$BD=AB+AD=5+x$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=5^2-x^2=25-x^2$
在$Rt△ BDC$中，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=8^2-(5+x)^2=64-(25+10x+x^2)=39-10x-x^2$
联立两式可得：
$25-x^2=39-10x-x^2$
两边消去$-x^2$，移项得：
$10x=39-25$
解得$x=1.4$，即$AD=1.4$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；方程思想；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心是利用公共边的平方相等建立等量关系，将几何问题转化为方程求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在几何计算中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题要求线段AD的长，已知CD垂直BA的延长线，因此存在Rt△ADC和Rt△BDC两个直角三角形，二者有公共边CD，可借助勾股定理分别表示出CD²，利用公共边平方相等建立等量关系，设AD为未知数列方程求解即可。具体思考步骤：先明确两个直角三角形的边长关系，用含AD的式子表示BD，再分别用勾股定理写出CD²的表达式，联立方程解出未知数。
【解析】
设AD的长为$x$。
∵ $CD⊥BA$的延长线于点$D$，
∴ $∠ D=90°$，$△ ADC$和$△ BDC$均为直角三角形。
已知$AB=AC=5$，$BC=8$，则$BD=AB+AD=5+x$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=5^2-x^2=25-x^2$
在$Rt△ BDC$中，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=8^2-(5+x)^2=64-(25+10x+x^2)=39-10x-x^2$
联立两式可得：
$25-x^2=39-10x-x^2$
两边消去$-x^2$，移项得：
$10x=39-25$
解得$x=1.4$，即$AD=1.4$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；方程思想；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，核心是利用公共边的平方相等建立等量关系，将几何问题转化为方程求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在几何计算中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8.【情境题】由于大风，山坡上的甲树从点A处被拦腰折断，如图，其树顶端恰好落在乙树的根部C处，已知AB＝4 m，BC＝13 m，两棵树的水平距离为12 m，求甲树折断前的高度.
答案
8.解:如图,过点 C 作
$CD ⊥ AB$ 的延长线
于点 D.
由题意可得 $BC = 13\ \mathrm{m},CD = 12\ \mathrm{m}$,
$AB = 4\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,根据勾股定理，
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{m})$,
$\therefore AD=AB+BD=4+5=9(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,根据勾股定理，
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(\mathrm{m})$.
$\therefore AC+AB=15+4=19(\mathrm{m})$.
因此,甲树折断前的高度是 19 m.
解析
【分析】
要计算甲树折断前的高度，即求未折断部分AB与折断部分AC的长度之和，已知AB=4m，因此只需算出AC的长度即可。勾股定理仅能在直角三角形中使用，因此我们通过作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直AB的延长线交于点D，其中CD就是两棵树的水平距离12m。先在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长度，进一步得到AD的长度，再在Rt△ACD中利用勾股定理求出AC的长度，最终将AB与AC相加即可得到甲树折断前的总高度。
【解析】
解：如图，过点C作$CD ⊥ AB$的延长线于点D。
由题意可得 $BC = 13\ \mathrm{m},CD = 12\ \mathrm{m}$，$AB = 4\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，根据勾股定理，
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{m})$，
$\therefore AD=AB+BD=4+5=9(\mathrm{m})$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，根据勾股定理，
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(\mathrm{m})$。
$\therefore$ 甲树折断前的高度为 $AC+AB=15+4=19(\mathrm{m})$。
【答案】
甲树折断前的高度是19 m。
【知识点】
勾股定理的应用，构造直角三角形，实际问题几何转化
【点评】
本题结合生活场景设置问题，需要学生将实际问题转化为几何求解问题，既考查了勾股定理的基础运用，也考查了学生作辅助线构造直角三角形的能力，解题的关键是明确水平距离对应的直角边，逐步推导求解所需边长。
【难度系数】
0.7
要计算甲树折断前的高度，即求未折断部分AB与折断部分AC的长度之和，已知AB=4m，因此只需算出AC的长度即可。勾股定理仅能在直角三角形中使用，因此我们通过作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直AB的延长线交于点D，其中CD就是两棵树的水平距离12m。先在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长度，进一步得到AD的长度，再在Rt△ACD中利用勾股定理求出AC的长度，最终将AB与AC相加即可得到甲树折断前的总高度。
【解析】
解：如图，过点C作$CD ⊥ AB$的延长线于点D。
由题意可得 $BC = 13\ \mathrm{m},CD = 12\ \mathrm{m}$，$AB = 4\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，根据勾股定理，
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{m})$，
$\therefore AD=AB+BD=4+5=9(\mathrm{m})$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，根据勾股定理，
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(\mathrm{m})$。
$\therefore$ 甲树折断前的高度为 $AC+AB=15+4=19(\mathrm{m})$。
【答案】
甲树折断前的高度是19 m。
【知识点】
勾股定理的应用，构造直角三角形，实际问题几何转化
【点评】
本题结合生活场景设置问题，需要学生将实际问题转化为几何求解问题，既考查了勾股定理的基础运用，也考查了学生作辅助线构造直角三角形的能力，解题的关键是明确水平距离对应的直角边，逐步推导求解所需边长。
【难度系数】
0.7
