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1.【数学文化】我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.在一个直角三角形中，如果勾是5，股是12，那么弦是 （
A.7
B.13
C.17
D.169
B
）A.7
B.13
C.17
D.169
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基础应用，解题思路如下：首先明确直角三角形中勾、股是两条直角边，弦是斜边；再回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；最后将已知的勾、股长度代入公式，计算得到弦长即可，注意边长为正数，开平方时取正的结果。
【解析】
在直角三角形中，根据勾股定理可得：
$\mathrm{弦}^2=\mathrm{勾}^2+\mathrm{股}^2$
已知勾为5，股为12，代入数值计算：
$\mathrm{弦}^2=5^2+12^2=25+144=169$
因为弦是三角形边长，为正数，因此$\mathrm{弦}=\sqrt{169}=13$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查勾股定理的直接应用，解题关键是明确勾、股、弦对应的直角三角形的边，熟练运用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的基础应用，解题思路如下：首先明确直角三角形中勾、股是两条直角边，弦是斜边；再回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；最后将已知的勾、股长度代入公式，计算得到弦长即可，注意边长为正数，开平方时取正的结果。
【解析】
在直角三角形中，根据勾股定理可得：
$\mathrm{弦}^2=\mathrm{勾}^2+\mathrm{股}^2$
已知勾为5，股为12，代入数值计算：
$\mathrm{弦}^2=5^2+12^2=25+144=169$
因为弦是三角形边长，为正数，因此$\mathrm{弦}=\sqrt{169}=13$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化考查勾股定理的直接应用，解题关键是明确勾、股、弦对应的直角三角形的边，熟练运用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.9
2.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,斜边$BC=4$,则$AB^2+AC^2+BC^2$的值为 (
A.8
B.16
C.28
D.32
D
)A.8
B.16
C.28
D.32
答案
2.D
解析
【分析】
本题是直角三角形边长平方和的计算问题，解题首先回忆勾股定理内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。首先确定Rt△ABC的直角边和斜边：∠A为直角，因此AB、AC是直角边，BC是斜边，可得AB²+AC²=BC²，再将所求的AB²+AC²+BC²进行等量代换，代入已知BC的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠A=90°，BC为斜边
∴ 根据勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$
又
∵ $BC=4$
∴ 原式$=2×4^2=2×16=32$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是利用勾股定理对所求式子进行等量代换，无需单独计算两条直角边的长度即可快速得出结果，考查了对勾股定理的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形边长平方和的计算问题，解题首先回忆勾股定理内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。首先确定Rt△ABC的直角边和斜边：∠A为直角，因此AB、AC是直角边，BC是斜边，可得AB²+AC²=BC²，再将所求的AB²+AC²+BC²进行等量代换，代入已知BC的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠A=90°，BC为斜边
∴ 根据勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$
又
∵ $BC=4$
∴ 原式$=2×4^2=2×16=32$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是利用勾股定理对所求式子进行等量代换，无需单独计算两条直角边的长度即可快速得出结果，考查了对勾股定理的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
3.如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，下面是“勾股定理”的探索与验证过程，请补充完整：
∵$S_1=4,S_2=$$,S_3=$_________,∴$S_1+S_2=S_3,$即$^2+BC^2=$$^2.$
∵$S_1=4,S_2=$$,S_3=$_________,∴$S_1+S_2=S_3,$即$^2+BC^2=$$^2.$
答案
3.9 13 AC AB
解析
【分析】
解题时先观察各正方形的位置：①S₂是横平竖直的正方形，数出边长即可计算面积；②S₃是斜放的正方形，可通过割补法（用外围大正方形面积减去四周4个直角三角形的面积）计算，也可利用勾股定理先求其边长的平方（正方形面积等于边长的平方）；最后结合三个正方形的边长与△ABC三边的对应关系，对应勾股定理填空即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求S₂：观察可知S₂的边长为3，因此$S_2=3×3=9$；
2. 求S₃：用割补法计算，包围S₃的外围大正方形边长为$2+3=5$，面积为$5×5=25$；S₃四周的4个直角三角形完全相同，每个直角三角形的直角边长分别为2和3，单个面积为$\frac{1}{2}×2×3=3$，4个总面积为$4×3=12$，因此$S_3=25-12=13$；
3. 对应边长关系：S₁是以AC为边长的正方形，故$S_1=AC^2$；S₂是以BC为边长的正方形，故$S_2=BC^2$；S₃是以AB为边长的正方形，故$S_3=AB^2$。由$S_1+S_2=S_3$可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
【答案】
9；13；AC；AB
【知识点】
正方形面积计算；割补法求面积；勾股定理验证
【点评】
本题结合网格直观展示了勾股定理的验证过程，重点考查割补法求斜向图形面积的能力，以及对勾股定理几何意义的理解，是勾股定理相关的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察各正方形的位置：①S₂是横平竖直的正方形，数出边长即可计算面积；②S₃是斜放的正方形，可通过割补法（用外围大正方形面积减去四周4个直角三角形的面积）计算，也可利用勾股定理先求其边长的平方（正方形面积等于边长的平方）；最后结合三个正方形的边长与△ABC三边的对应关系，对应勾股定理填空即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求S₂：观察可知S₂的边长为3，因此$S_2=3×3=9$；
2. 求S₃：用割补法计算，包围S₃的外围大正方形边长为$2+3=5$，面积为$5×5=25$；S₃四周的4个直角三角形完全相同，每个直角三角形的直角边长分别为2和3，单个面积为$\frac{1}{2}×2×3=3$，4个总面积为$4×3=12$，因此$S_3=25-12=13$；
3. 对应边长关系：S₁是以AC为边长的正方形，故$S_1=AC^2$；S₂是以BC为边长的正方形，故$S_2=BC^2$；S₃是以AB为边长的正方形，故$S_3=AB^2$。由$S_1+S_2=S_3$可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
【答案】
9；13；AC；AB
【知识点】
正方形面积计算；割补法求面积；勾股定理验证
【点评】
本题结合网格直观展示了勾股定理的验证过程，重点考查割补法求斜向图形面积的能力，以及对勾股定理几何意义的理解，是勾股定理相关的基础典型题。
【难度系数】
0.8
4.某公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”AB，他们仅仅少走了
6
m，却踩伤了花草！答案
4.6
解析
【分析】
这道题是勾股定理在实际生活中的应用，解题思路很清晰：首先明确走拐角的路程等于直角三角形两条直角边的长度和，走“捷径”AB的路程等于直角三角形的斜边长度，我们只需要先通过勾股定理算出斜边AB的长度，再用两条直角边的和减去斜边长度，就能得到少走的路程。
【解析】
由图可知，草坪拐角为直角，走拐角的路径对应直角三角形的两条直角边，长度分别为7m和9m，走捷径的路径对应直角三角形的斜边AB。
1. 计算走拐角的总路程：$7 + 9 = 16\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）计算AB的长度：
$AB = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \approx 11.4\ \mathrm{m}$
3. 计算少走的路程：$16 - 11.4 = 4.6\ \mathrm{m}$
【答案】
4.6
【知识点】
勾股定理的应用、直角三角形性质
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础应用，既考查了学科知识，也引导大家要爱护公共环境，不要为了抄近路破坏花草，解题的关键是找准各段路程对应直角三角形的边。
【难度系数】
0.8
这道题是勾股定理在实际生活中的应用，解题思路很清晰：首先明确走拐角的路程等于直角三角形两条直角边的长度和，走“捷径”AB的路程等于直角三角形的斜边长度，我们只需要先通过勾股定理算出斜边AB的长度，再用两条直角边的和减去斜边长度，就能得到少走的路程。
【解析】
由图可知，草坪拐角为直角，走拐角的路径对应直角三角形的两条直角边，长度分别为7m和9m，走捷径的路径对应直角三角形的斜边AB。
1. 计算走拐角的总路程：$7 + 9 = 16\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）计算AB的长度：
$AB = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \approx 11.4\ \mathrm{m}$
3. 计算少走的路程：$16 - 11.4 = 4.6\ \mathrm{m}$
【答案】
4.6
【知识点】
勾股定理的应用、直角三角形性质
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础应用，既考查了学科知识，也引导大家要爱护公共环境，不要为了抄近路破坏花草，解题的关键是找准各段路程对应直角三角形的边。
【难度系数】
0.8
5.【本土素材】内蒙古有一种传统美食——烤全羊，通常会用铁架来支撑.现有一个直角三角形形状的铁架，用来固定烤全羊，其示意图如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AC=5$，$BC=9$，$AD=4$，求$AB$的长.
数学
数学
答案
5.解:$\because AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,根据勾股定理，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\therefore BD=BC-CD=9-3=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理，
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,根据勾股定理，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\therefore BD=BC-CD=9-3=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理，
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
解题时首先结合AD⊥BC的条件，可知△ACD和△ABD均为直角三角形。第一步先在Rt△ACD中，利用已知的AC、AD边长，通过勾股定理求出CD的长度；第二步根据BC的总长度，用线段差计算出BD的长度；最后在Rt△ABD中，再次运用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
解:$\because AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,根据勾股定理，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\therefore BD=BC-CD=9-3=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理，
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；线段和差计算；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是找准对应的直角三角形，分步计算未知线段，计算过程中需注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合AD⊥BC的条件，可知△ACD和△ABD均为直角三角形。第一步先在Rt△ACD中，利用已知的AC、AD边长，通过勾股定理求出CD的长度；第二步根据BC的总长度，用线段差计算出BD的长度；最后在Rt△ABD中，再次运用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
解:$\because AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,根据勾股定理，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\therefore BD=BC-CD=9-3=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理，
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；线段和差计算；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是找准对应的直角三角形，分步计算未知线段，计算过程中需注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
