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第6天 综合与实践活动场
探究$a + b$与$2\sqrt{ab}(a≥0, b≥0)$的大小关系
某校数学课外活动小组的同学，针对两个非负数之和与这两个非负数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题。
【探究发现】
$6 + 6 = 2\sqrt{6 × 6} = 12$； $\quad \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 2\sqrt{\frac{1}{5} × \frac{1}{5}} = \frac{2}{5}$；
$0.3 + 0.3 = 2\sqrt{0.3 × 0.3} = 0.6$； $\quad \frac{1}{3} + 3 ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3} × 3} = 2$；
$0.2 + 3.2 ＞ 2\sqrt{0.2 × 3.2} = 1.6$； $\quad \frac{1}{3} + \frac{1}{27} ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3} × \frac{1}{27}} = \frac{2}{9}$。
【猜想结论】
若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，
所以①当且仅当$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$，即$a = b$时，
$a - 2\sqrt{ab} + b = 0$，所以$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} ≠ 0$，即$a ≠ b$时，________。
综合上述可得：若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$成立（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
探究$a + b$与$2\sqrt{ab}(a≥0, b≥0)$的大小关系
某校数学课外活动小组的同学，针对两个非负数之和与这两个非负数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题。
【探究发现】
$6 + 6 = 2\sqrt{6 × 6} = 12$； $\quad \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 2\sqrt{\frac{1}{5} × \frac{1}{5}} = \frac{2}{5}$；
$0.3 + 0.3 = 2\sqrt{0.3 × 0.3} = 0.6$； $\quad \frac{1}{3} + 3 ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3} × 3} = 2$；
$0.2 + 3.2 ＞ 2\sqrt{0.2 × 3.2} = 1.6$； $\quad \frac{1}{3} + \frac{1}{27} ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3} × \frac{1}{27}} = \frac{2}{9}$。
【猜想结论】
若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，
所以①当且仅当$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$，即$a = b$时，
$a - 2\sqrt{ab} + b = 0$，所以$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} ≠ 0$，即$a ≠ b$时，________。
综合上述可得：若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$成立（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
答案
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} ≠ 0$，即$a ≠ b$时，$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2＞0$，展开得$a - 2\sqrt{ab} + b ＞ 0$，所以$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式和平方的非负性性质：任何实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，当且仅当$x=0$时等号成立。本题已经给出$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$的前提，分两种情况讨论：第一种$a=b$的情况已给出推导，第二种$a≠b$时，对应$\sqrt{a}-\sqrt{b}≠0$，此时它的平方大于0，将$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$展开后移项，就能得到$a+b$和$2\sqrt{ab}$的大小关系。
【解析】
因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，
①当且仅当$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$，即$a = b$时，
$a - 2\sqrt{ab} + b = 0$，所以$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} ≠ 0$，即$a ≠ b$时，非零实数的平方为正数，因此$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2＞0$，根据完全平方公式展开得$a - 2\sqrt{ab} + b ＞ 0$，移项后可得$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$。
综合上述可得：若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$成立（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
【答案】
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2＞0$，展开得$a - 2\sqrt{ab} + b ＞ 0$，所以$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，不等式的性质
【点评】
本题通过分类讨论的思想，结合完全平方的非负性推导两个非负数的和与它们乘积的算术平方根两倍的大小关系，该结论是后续解决最值问题的重要依据，需熟练掌握推导过程和结论的应用条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆完全平方公式和平方的非负性性质：任何实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，当且仅当$x=0$时等号成立。本题已经给出$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$的前提，分两种情况讨论：第一种$a=b$的情况已给出推导，第二种$a≠b$时，对应$\sqrt{a}-\sqrt{b}≠0$，此时它的平方大于0，将$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$展开后移项，就能得到$a+b$和$2\sqrt{ab}$的大小关系。
【解析】
因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，
①当且仅当$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$，即$a = b$时，
$a - 2\sqrt{ab} + b = 0$，所以$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} ≠ 0$，即$a ≠ b$时，非零实数的平方为正数，因此$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2＞0$，根据完全平方公式展开得$a - 2\sqrt{ab} + b ＞ 0$，移项后可得$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$。
综合上述可得：若$a≥0, b≥0$，则$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$成立（当且仅当$a = b$时，等号成立）。
【答案】
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2＞0$，展开得$a - 2\sqrt{ab} + b ＞ 0$，所以$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，不等式的性质
【点评】
本题通过分类讨论的思想，结合完全平方的非负性推导两个非负数的和与它们乘积的算术平方根两倍的大小关系，该结论是后续解决最值问题的重要依据，需熟练掌握推导过程和结论的应用条件。
【难度系数】
0.8
【应用结论】
(1)对于代数式$x+\frac{1}{x}(x＞0)$，当$x$取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
(2)对于代数式$\frac{1}{x-5}+x(x＞5)$，当$x$取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
(1)对于代数式$x+\frac{1}{x}(x＞0)$，当$x$取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
(2)对于代数式$\frac{1}{x-5}+x(x＞5)$，当$x$取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
答案
(1) 根据结论可知 $x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$，
所以代数式的最小值为 2，此时 $x=\frac{1}{x}$，
所以 $x=1$ 或 $-1$。
因为 $x＞0$，所以 $x=1$。
所以当 $x=1$ 时，代数式的值最小，最小值是 2。
(2) 根据结论可知
$\frac{1}{x-5}+x$
$=\frac{1}{x-5}+x-5+5$
$≥2\sqrt{\frac{1}{x-5} · (x-5)}+5$
$=2+5$
$=7$，
所以代数式的最小值为 7，
此时$\frac{1}{x-5}=x-5$，
所以 $x=6$ 或 $x=4$。
因为 $x＞5$，所以 $x=6$。
所以当 $x=6$ 时，代数式的值最小，最小值是 7。
所以代数式的最小值为 2，此时 $x=\frac{1}{x}$，
所以 $x=1$ 或 $-1$。
因为 $x＞0$，所以 $x=1$。
所以当 $x=1$ 时，代数式的值最小，最小值是 2。
(2) 根据结论可知
$\frac{1}{x-5}+x$
$=\frac{1}{x-5}+x-5+5$
$≥2\sqrt{\frac{1}{x-5} · (x-5)}+5$
$=2+5$
$=7$，
所以代数式的最小值为 7，
此时$\frac{1}{x-5}=x-5$，
所以 $x=6$ 或 $x=4$。
因为 $x＞5$，所以 $x=6$。
所以当 $x=6$ 时，代数式的值最小，最小值是 7。
解析
【分析】
本题可利用已学结论“对正数a、b，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时等号成立”求解最小值：
(1) 先确认x＞0时x和$\frac{1}{x}$均为正数，可直接套用结论求最小值，再根据等号成立的条件列方程求x，结合x＞0的范围筛选出符合要求的解；
(2) 已知x＞5，可得x-5＞0，将原式拆分为$\frac{1}{x-5}+(x-5)+5$，此时$\frac{1}{x-5}$和$x-5$均为正数，套用结论求前两项的最小值后加5，即可得到整个式子的最小值，最后根据等号成立条件列方程求x，结合x＞5的范围筛选解即可。
【解析】
(1)
∵$x＞0$，
∴x和$\frac{1}{x}$都是正数，根据结论可得：
$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$
当且仅当$x=\frac{1}{x}$时等号成立，解方程$x=\frac{1}{x}$得$x=1$或$x=-1$，
又
∵$x＞0$，
∴$x=1$。
(2)
∵$x＞5$，
∴$x-5＞0$，对代数式变形得：
$\frac{1}{x-5}+x=\frac{1}{x-5}+(x-5)+5$
根据结论，$\frac{1}{x-5}$和$x-5$都是正数，可得：
$\frac{1}{x-5}+(x-5)≥2\sqrt{\frac{1}{x-5} · (x-5)}=2$
∴原式$≥2+5=7$
当且仅当$\frac{1}{x-5}=x-5$时等号成立，解方程得$x=6$或$x=4$，
又
∵$x＞5$，
∴$x=6$。
【答案】
(1) 当$x=1$时，代数式的值最小，最小值是2；
(2) 当$x=6$时，代数式的值最小，最小值是7。
【知识点】
基本不等式应用，代数式变形，定义域筛选
【点评】
本题核心是考察$a+b≥2\sqrt{ab}$（a、b均为非负数）结论的灵活应用，解题时首先要保证参与运算的两项均为正数，无法直接套用结论时要通过拆项凑出乘积为定值的两项，最后要结合自变量的取值范围筛选等号成立的解，掌握变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可利用已学结论“对正数a、b，有$a+b≥2\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时等号成立”求解最小值：
(1) 先确认x＞0时x和$\frac{1}{x}$均为正数，可直接套用结论求最小值，再根据等号成立的条件列方程求x，结合x＞0的范围筛选出符合要求的解；
(2) 已知x＞5，可得x-5＞0，将原式拆分为$\frac{1}{x-5}+(x-5)+5$，此时$\frac{1}{x-5}$和$x-5$均为正数，套用结论求前两项的最小值后加5，即可得到整个式子的最小值，最后根据等号成立条件列方程求x，结合x＞5的范围筛选解即可。
【解析】
(1)
∵$x＞0$，
∴x和$\frac{1}{x}$都是正数，根据结论可得：
$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$
当且仅当$x=\frac{1}{x}$时等号成立，解方程$x=\frac{1}{x}$得$x=1$或$x=-1$，
又
∵$x＞0$，
∴$x=1$。
(2)
∵$x＞5$，
∴$x-5＞0$，对代数式变形得：
$\frac{1}{x-5}+x=\frac{1}{x-5}+(x-5)+5$
根据结论，$\frac{1}{x-5}$和$x-5$都是正数，可得：
$\frac{1}{x-5}+(x-5)≥2\sqrt{\frac{1}{x-5} · (x-5)}=2$
∴原式$≥2+5=7$
当且仅当$\frac{1}{x-5}=x-5$时等号成立，解方程得$x=6$或$x=4$，
又
∵$x＞5$，
∴$x=6$。
【答案】
(1) 当$x=1$时，代数式的值最小，最小值是2；
(2) 当$x=6$时，代数式的值最小，最小值是7。
【知识点】
基本不等式应用，代数式变形，定义域筛选
【点评】
本题核心是考察$a+b≥2\sqrt{ab}$（a、b均为非负数）结论的灵活应用，解题时首先要保证参与运算的两项均为正数，无法直接套用结论时要通过拆项凑出乘积为定值的两项，最后要结合自变量的取值范围筛选等号成立的解，掌握变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
