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1.利用勾股定理可以作出长为无理数的线段.如图，$OA=5$，过点$A$作直线$l⊥ OA$，在$l$上取点$B$，使$AB=1$，以点$O$为圆心，$OB$的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点$C$，那么点$C$表示的是（
A.$5.3$
B.$2\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$\sqrt{26}$
D
）A.$5.3$
B.$2\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$\sqrt{26}$
答案
1.D
解析
【分析】
要确定点C表示的数，首先需要求出线段OC的长度，由作图规则可知OC和OB是同圆的半径，二者长度相等，因此只需先在直角三角形OAB中计算OB的长度即可。首先明确△OAB是直角三角形，直角顶点为A，两条直角边OA、AB的长度已知，代入勾股定理就能算出斜边OB的长，也就是OC的长，再结合点C在数轴正半轴，即可得到点C对应的数。
【解析】
∵ 直线$l⊥OA$，
∴ $∠ OAB=90°$，△OAB为直角三角形。
在Rt△OAB中，已知$OA=5$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=5^2+1^2=25+1=26$，
因此$OB=\sqrt{26}$。
由作图规则可知，$OC=OB=\sqrt{26}$，
又
∵ 点O为数轴原点，点C在数轴正半轴上，
∴ 点C表示的数为$\sqrt{26}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实数与数轴的对应
【点评】
本题是利用勾股定理在数轴上表示无理数的基础题型，解题核心是抓住同圆半径相等的性质，结合直角三角形的边长条件用勾股定理计算斜边长度，解题逻辑清晰，属于对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
要确定点C表示的数，首先需要求出线段OC的长度，由作图规则可知OC和OB是同圆的半径，二者长度相等，因此只需先在直角三角形OAB中计算OB的长度即可。首先明确△OAB是直角三角形，直角顶点为A，两条直角边OA、AB的长度已知，代入勾股定理就能算出斜边OB的长，也就是OC的长，再结合点C在数轴正半轴，即可得到点C对应的数。
【解析】
∵ 直线$l⊥OA$，
∴ $∠ OAB=90°$，△OAB为直角三角形。
在Rt△OAB中，已知$OA=5$，$AB=1$，根据勾股定理可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=5^2+1^2=25+1=26$，
因此$OB=\sqrt{26}$。
由作图规则可知，$OC=OB=\sqrt{26}$，
又
∵ 点O为数轴原点，点C在数轴正半轴上，
∴ 点C表示的数为$\sqrt{26}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实数与数轴的对应
【点评】
本题是利用勾股定理在数轴上表示无理数的基础题型，解题核心是抓住同圆半径相等的性质，结合直角三角形的边长条件用勾股定理计算斜边长度，解题逻辑清晰，属于对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
2.【传统文化】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱.如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为 （
A.1
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
D
）A.1
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
答案
2.D
解析
【分析】
要计算网格中“车”“炮”两棋子的距离，可将两点连线看作直角三角形的斜边，首先数出两点在水平方向、竖直方向相差的单位长度（即直角三角形两条直角边的长度），再利用勾股定理计算斜边长度，即可得到两点间的距离。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察可得：“车”和“炮”在水平方向相差3个单位长度，竖直方向相差1个单位长度。
根据勾股定理，两棋子的距离为：
$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；网格距离计算
【点评】
本题结合中国象棋的场景考查勾股定理的应用，趣味性较强，解题的核心是准确确定两点在水平和竖直方向的间隔长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算网格中“车”“炮”两棋子的距离，可将两点连线看作直角三角形的斜边，首先数出两点在水平方向、竖直方向相差的单位长度（即直角三角形两条直角边的长度），再利用勾股定理计算斜边长度，即可得到两点间的距离。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察可得：“车”和“炮”在水平方向相差3个单位长度，竖直方向相差1个单位长度。
根据勾股定理，两棋子的距离为：
$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；网格距离计算
【点评】
本题结合中国象棋的场景考查勾股定理的应用，趣味性较强，解题的核心是准确确定两点在水平和竖直方向的间隔长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
3.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,OP的长为半径作弧,交x轴的负半轴于点A,点A的坐标为$(-\sqrt{10},0)$,点P的纵坐标为-1,则点P的坐标为
(-3,-1)
.答案
3.$(-3,-1)$
解析
【分析】
解题时首先利用圆的半径相等，得到OP与OA长度相等，先求出OP的长度；再过点P向x轴作垂线，构造直角三角形，结合点P的纵坐标得到直角三角形的一条直角边长，最后用勾股定理求出点P的横坐标的绝对值，结合点P所在象限确定横坐标的符号，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵以O为圆心，OP长为半径作弧交x轴负半轴于A，
∴OP = OA，
∵点A坐标为$(-\sqrt{10}, 0)$，
∴$OA = \sqrt{10}$，即$OP = \sqrt{10}$，
过点P作$PB⊥ x$轴于点B，
∵点P的纵坐标为-1，
∴$PB = |-1| = 1$，
在$Rt△ OPB$中，由勾股定理得：$OB^2 + PB^2 = OP^2$，
代入数据得：$OB^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2$，
解得$OB^2 = 9$，
∵OB为线段长度，是正数，
∴$OB=3$，
又
∵点P在第三象限，横坐标为负，纵坐标为-1，
∴点P的坐标为$(-3, -1)$。
【答案】
$(-3,-1)$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是勾股定理与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是利用圆半径相等得到OP的长度，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度，再结合象限符号特征确定点坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的半径相等，得到OP与OA长度相等，先求出OP的长度；再过点P向x轴作垂线，构造直角三角形，结合点P的纵坐标得到直角三角形的一条直角边长，最后用勾股定理求出点P的横坐标的绝对值，结合点P所在象限确定横坐标的符号，即可得到点P的坐标。
【解析】
解：
∵以O为圆心，OP长为半径作弧交x轴负半轴于A，
∴OP = OA，
∵点A坐标为$(-\sqrt{10}, 0)$，
∴$OA = \sqrt{10}$，即$OP = \sqrt{10}$，
过点P作$PB⊥ x$轴于点B，
∵点P的纵坐标为-1，
∴$PB = |-1| = 1$，
在$Rt△ OPB$中，由勾股定理得：$OB^2 + PB^2 = OP^2$，
代入数据得：$OB^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2$，
解得$OB^2 = 9$，
∵OB为线段长度，是正数，
∴$OB=3$，
又
∵点P在第三象限，横坐标为负，纵坐标为-1，
∴点P的坐标为$(-3, -1)$。
【答案】
$(-3,-1)$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是勾股定理与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是利用圆半径相等得到OP的长度，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度，再结合象限符号特征确定点坐标。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$DE ⊥ BC$，$AB = 3$，$AC = 4$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，则$CE$的长是________。
答案
4.2
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：第一步，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步，BD是∠ABC的角平分线，结合∠A=90°、DE⊥BC，根据角平分线的性质可得AD=DE，进而可证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，得到BE=AB；第三步，用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. $\because BD$平分$∠ ABC$，$DA⊥ AB$，$DE⊥ BC$
$\therefore AD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
3. 在$Rt△ ABD$和$Rt△ EBD$中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\AD=DE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ EBD(HL)$
$\therefore BE=AB=3$
4. 因此$CE=BC-BE=5-3=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线性质、全等三角形判定、勾股定理相结合考查，解题的核心是利用角平分线性质得到相等线段，通过全等转化对应边长度，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：第一步，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边BC的长度；第二步，BD是∠ABC的角平分线，结合∠A=90°、DE⊥BC，根据角平分线的性质可得AD=DE，进而可证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，得到BE=AB；第三步，用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. $\because BD$平分$∠ ABC$，$DA⊥ AB$，$DE⊥ BC$
$\therefore AD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
3. 在$Rt△ ABD$和$Rt△ EBD$中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\AD=DE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ EBD(HL)$
$\therefore BE=AB=3$
4. 因此$CE=BC-BE=5-3=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线性质、全等三角形判定、勾股定理相结合考查，解题的核心是利用角平分线性质得到相等线段，通过全等转化对应边长度，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出线段AB=$\sqrt{5}$，CD=$2\sqrt{2}$，EF=5.
数学
数学
答案
5.解:如图所示.(画法不唯一)
解析
【分析】
要画出指定长度的线段，可借助勾股定理解题：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。我们先把所求线段的长度做平方运算，找到两个正整数的平方和等于该平方值，这两个正整数就是对应直角三角形的直角边长度，再在网格中选取符合直角边长度间隔的格点连接，得到的斜边就是目标线段。具体推导：$\sqrt{5}$的平方是5，可拆为$1^2+2^2$，对应直角边长1和2；$2\sqrt{2}$的平方是8，可拆为$2^2+2^2$，对应直角边长2和2；5的平方是25，可拆为$3^2+4^2$，对应直角边长3和4。
【解析】
1. 画线段$AB=\sqrt{5}$：
因为$(\sqrt{5})^2=1^2+2^2$，所以选取横向间隔1格、纵向间隔2格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是$\sqrt{5}$，如图中的线段AB。
2. 画线段$CD=2\sqrt{2}$：
因为$(2\sqrt{2})^2=2^2+2^2$，所以选取横向间隔2格、纵向间隔2格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是$2\sqrt{2}$，如图中的线段CD。
3. 画线段$EF=5$：
因为$5^2=3^2+4^2$，所以选取横向间隔3格、纵向间隔4格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是5，如图中的线段EF。
本题画法不唯一，只要格点间隔满足对应直角边长度要求即可。
【答案】
如图所示.(画法不唯一)
【知识点】
勾股定理；网格作图
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心是将抽象的长度转化为可构造的直角三角形斜边，只要先计算出目标长度对应的直角边长度，就能快速找到对应格点画出线段，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
要画出指定长度的线段，可借助勾股定理解题：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。我们先把所求线段的长度做平方运算，找到两个正整数的平方和等于该平方值，这两个正整数就是对应直角三角形的直角边长度，再在网格中选取符合直角边长度间隔的格点连接，得到的斜边就是目标线段。具体推导：$\sqrt{5}$的平方是5，可拆为$1^2+2^2$，对应直角边长1和2；$2\sqrt{2}$的平方是8，可拆为$2^2+2^2$，对应直角边长2和2；5的平方是25，可拆为$3^2+4^2$，对应直角边长3和4。
【解析】
1. 画线段$AB=\sqrt{5}$：
因为$(\sqrt{5})^2=1^2+2^2$，所以选取横向间隔1格、纵向间隔2格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是$\sqrt{5}$，如图中的线段AB。
2. 画线段$CD=2\sqrt{2}$：
因为$(2\sqrt{2})^2=2^2+2^2$，所以选取横向间隔2格、纵向间隔2格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是$2\sqrt{2}$，如图中的线段CD。
3. 画线段$EF=5$：
因为$5^2=3^2+4^2$，所以选取横向间隔3格、纵向间隔4格的两个格点作为端点，连接得到的线段长度就是5，如图中的线段EF。
本题画法不唯一，只要格点间隔满足对应直角边长度要求即可。
【答案】
如图所示.(画法不唯一)
【知识点】
勾股定理；网格作图
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心是将抽象的长度转化为可构造的直角三角形斜边，只要先计算出目标长度对应的直角边长度，就能快速找到对应格点画出线段，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
