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1.在一次区级安全知识竞赛中，某校8名参赛学生的成绩与全区参赛学生成绩的平均分80分的差分别是5，-2，8，14，7，4，9，-6，则该校安全知识竞赛的平均成绩约是（
A.80分
B.84分
C.85分
D.88分
C
）A.80分
B.84分
C.85分
D.88分
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查平均数的计算，解题时可采用简化思路：每个参赛学生的成绩=全区平均分+对应差值，因此该校8名学生的平均成绩=全区平均分+8个差值的平均数。首先算出8个差值的总和，再计算差值的平均数，最后加上全区平均分80分即可得到结果，该方法比单独计算每个学生的成绩再求平均更简便。
【解析】
第一步：计算8名学生成绩与全区平均分差值的总和：
$\begin{aligned}&5+(-2)+8+14+7+4+9+(-6)\\=&(5+8+14+7+4+9)+(-2-6)\\=&47-8\\=&39\end{aligned}$
第二步：计算差值的平均数：$39÷8=4.875$分
第三步：计算该校参赛学生的平均成绩：$80+4.875=84.875\approx85$分
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平均数的计算
2.有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查平均数的灵活运算，通过计算差值的平均数可简化计算过程，解题时需要注意正负数的加减运算不要出错，是平均数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
本题考查平均数的计算，解题时可采用简化思路：每个参赛学生的成绩=全区平均分+对应差值，因此该校8名学生的平均成绩=全区平均分+8个差值的平均数。首先算出8个差值的总和，再计算差值的平均数，最后加上全区平均分80分即可得到结果，该方法比单独计算每个学生的成绩再求平均更简便。
【解析】
第一步：计算8名学生成绩与全区平均分差值的总和：
$\begin{aligned}&5+(-2)+8+14+7+4+9+(-6)\\=&(5+8+14+7+4+9)+(-2-6)\\=&47-8\\=&39\end{aligned}$
第二步：计算差值的平均数：$39÷8=4.875$分
第三步：计算该校参赛学生的平均成绩：$80+4.875=84.875\approx85$分
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平均数的计算
2.有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查平均数的灵活运算，通过计算差值的平均数可简化计算过程，解题时需要注意正负数的加减运算不要出错，是平均数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
2.下列说法错误的是 （
A.一组数据的众数、中位数和平均数不可能是同一个数
B.一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数据
C.一组数据的中位数可能与这组数据中的任何数据都不相等
D.众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势
A
）A.一组数据的众数、中位数和平均数不可能是同一个数
B.一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数据
C.一组数据的中位数可能与这组数据中的任何数据都不相等
D.众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查众数、中位数、平均数的概念与性质，解题时先明确三个统计量的定义，再逐一分析每个选项，结合反例验证法判断说法正误，最终选出错误选项即可。首先要清楚：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，奇数个数据时取中间位置的数，偶数个数据时取中间两个数的平均值；平均数是所有数据的和除以数据总个数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：举反例，如数据组[1,1,1]，它的众数是1，中位数是1，平均数是(1+1+1)÷3=1，三者是同一个数，因此该说法错误，符合题意。
B选项：平均数是所有数据的平均水平，取值一定介于这组数据的最小值和最大值之间，所以既不可能大于所有数据，也不可能小于所有数据，该说法正确，不符合题意。
C选项：举反例，如数据组[1,2,3,4]，按顺序排列后中位数为(2+3)÷2=2.5，2.5不在原数据组中，即中位数可能与这组数据的任何数据都不相等，该说法正确，不符合题意。
D选项：众数反映数据中出现次数最多的水平，中位数反映数据的中间水平，平均数反映数据的平均水平，三者从不同角度描述了一组数据的集中趋势，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的概念；中位数的概念；平均数的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三个统计量的定义和相关性质，利用举反例的方法可以快速排除错误说法，做题时要注意看清题干要求，是选择错误的说法，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查众数、中位数、平均数的概念与性质，解题时先明确三个统计量的定义，再逐一分析每个选项，结合反例验证法判断说法正误，最终选出错误选项即可。首先要清楚：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，奇数个数据时取中间位置的数，偶数个数据时取中间两个数的平均值；平均数是所有数据的和除以数据总个数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：举反例，如数据组[1,1,1]，它的众数是1，中位数是1，平均数是(1+1+1)÷3=1，三者是同一个数，因此该说法错误，符合题意。
B选项：平均数是所有数据的平均水平，取值一定介于这组数据的最小值和最大值之间，所以既不可能大于所有数据，也不可能小于所有数据，该说法正确，不符合题意。
C选项：举反例，如数据组[1,2,3,4]，按顺序排列后中位数为(2+3)÷2=2.5，2.5不在原数据组中，即中位数可能与这组数据的任何数据都不相等，该说法正确，不符合题意。
D选项：众数反映数据中出现次数最多的水平，中位数反映数据的中间水平，平均数反映数据的平均水平，三者从不同角度描述了一组数据的集中趋势，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的概念；中位数的概念；平均数的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三个统计量的定义和相关性质，利用举反例的方法可以快速排除错误说法，做题时要注意看清题干要求，是选择错误的说法，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
3.小王参加某企业的招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分.若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（
A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
D
）A.255分
B.84分
C.84.5分
D.86分
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查加权平均数的应用，解题思路如下：首先明确题目中给出的2:3:5是笔试、面试、技能操作三项成绩对应的权重，加权平均数的计算方法是将各项数据乘以对应的权重后求和，再除以权重的总和，按照这个方法代入数据计算即可得到小王的最终成绩。
【解析】
已知三项得分的权重比为2:3:5，根据加权平均数的计算公式：
最终成绩 =（笔试得分×笔试权重 + 面试得分×面试权重 + 技能操作得分×技能操作权重）÷ 权重总和
代入数据计算：
分子：$85×2 + 80×3 + 90×5 = 170 + 240 + 450 = 860$
分母：$2 + 3 + 5 = 10$
最终成绩：$860 ÷ 10 = 86$（分）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数的基础常规考题，解题核心是准确识别各项数据对应的权重，熟练代入加权平均数公式计算即可，易错点是混淆各项的对应权重或者计算时分母误取3而非权重总和。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的应用，解题思路如下：首先明确题目中给出的2:3:5是笔试、面试、技能操作三项成绩对应的权重，加权平均数的计算方法是将各项数据乘以对应的权重后求和，再除以权重的总和，按照这个方法代入数据计算即可得到小王的最终成绩。
【解析】
已知三项得分的权重比为2:3:5，根据加权平均数的计算公式：
最终成绩 =（笔试得分×笔试权重 + 面试得分×面试权重 + 技能操作得分×技能操作权重）÷ 权重总和
代入数据计算：
分子：$85×2 + 80×3 + 90×5 = 170 + 240 + 450 = 860$
分母：$2 + 3 + 5 = 10$
最终成绩：$860 ÷ 10 = 86$（分）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数的基础常规考题，解题核心是准确识别各项数据对应的权重，熟练代入加权平均数公式计算即可，易错点是混淆各项的对应权重或者计算时分母误取3而非权重总和。
【难度系数】
0.8
4.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％，小桐的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、90分，则小桐这学期的体育成绩是
91
分.答案
4.91
解析
【分析】
本题考查加权平均数的计算，解题思路为：首先明确三项成绩对应的权重占比，分别用每项成绩乘以对应权重，计算出每项的加权得分，再将三项加权得分相加，即可得到总体育成绩。
【解析】
根据题意，三项成绩的权重分别为20%、30%、50%，分别计算各部分的得分：
1. 早锻炼及体育课外活动得分：$95 × 20\% = 19$（分）
2. 期中考试成绩得分：$90 × 30\% = 27$（分）
3. 期末考试成绩得分：$90 × 50\% = 45$（分）
将三项得分求和：$19 + 27 + 45 = 91$（分）
【答案】
91
【知识点】
加权平均数、百分数计算
【点评】
本题是加权平均数的实际应用类基础题，解题的核心是准确把握各数据对应的权重，按加权平均数的计算规则逐步计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的计算，解题思路为：首先明确三项成绩对应的权重占比，分别用每项成绩乘以对应权重，计算出每项的加权得分，再将三项加权得分相加，即可得到总体育成绩。
【解析】
根据题意，三项成绩的权重分别为20%、30%、50%，分别计算各部分的得分：
1. 早锻炼及体育课外活动得分：$95 × 20\% = 19$（分）
2. 期中考试成绩得分：$90 × 30\% = 27$（分）
3. 期末考试成绩得分：$90 × 50\% = 45$（分）
将三项得分求和：$19 + 27 + 45 = 91$（分）
【答案】
91
【知识点】
加权平均数、百分数计算
【点评】
本题是加权平均数的实际应用类基础题，解题的核心是准确把握各数据对应的权重，按加权平均数的计算规则逐步计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
5.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次诗词竞赛，两班成绩的平均数和方差分别为$\bar{x}_甲=82$，$\bar{x}_乙=82$，$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，那么成绩较为整齐的是
乙
班.（填“甲”或“乙”）答案
5.乙
解析
【分析】
要判断哪个班成绩更整齐，本质是判断哪组数据的波动更小。我们学过方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越整齐。本题中两班平均成绩相同，因此只需要比较两个班方差的大小即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越大，成绩越不整齐；方差越小，数据的离散程度越小，成绩越整齐。
已知两班平均成绩$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=82$，说明两班平均水平相同，再比较方差：$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，可得$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，因此乙班的成绩波动更小，更为整齐。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是统计部分的基础应用题，核心考查方差的实际含义，解题时只需明确“方差越小，数据越稳定整齐”的性质，结合已知方差大小即可快速求解，需要注意只有当几组数据的平均数相近或相同时，直接比较方差判断稳定性才有意义。
【难度系数】
0.9
要判断哪个班成绩更整齐，本质是判断哪组数据的波动更小。我们学过方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越整齐。本题中两班平均成绩相同，因此只需要比较两个班方差的大小即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越大，成绩越不整齐；方差越小，数据的离散程度越小，成绩越整齐。
已知两班平均成绩$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=82$，说明两班平均水平相同，再比较方差：$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，可得$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，因此乙班的成绩波动更小，更为整齐。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题是统计部分的基础应用题，核心考查方差的实际含义，解题时只需明确“方差越小，数据越稳定整齐”的性质，结合已知方差大小即可快速求解，需要注意只有当几组数据的平均数相近或相同时，直接比较方差判断稳定性才有意义。
【难度系数】
0.9
6.为了了解五一期间学生做家务劳动的时间,某中学实践活动小组对该班50名学生进行了解调查,有关数据如下表：
根据上表中的数据,回答下列问题：
(1)该班学生五一期间做家务劳动的平均时间是多少小时？
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？
根据上表中的数据,回答下列问题：
(1)该班学生五一期间做家务劳动的平均时间是多少小时？
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少？
答案
6.(1)平均时间是2.44小时.
(2)中位数是2.5,众数是3.
(2)中位数是2.5,众数是3.
解析
【分析】
(1)求平均做家务时间本质是求加权平均数，我们先计算所有学生做家务的总时长，再除以总人数50即可，每个劳动时间对应的人数就是计算时的权重。
(2)求中位数：先将数据按从小到大顺序排列，总共有50个数据为偶数个，中位数就是排序后第25、第26个数据的平均数；求众数：直接找出对应人数最多的劳动时间即可。
【解析】
(1)先计算50名学生做家务的总时长：
$\begin{split}&0×2 + 1×2 + 1.5×6 + 2×8 + 2.5×12 + 3×13 + 3.5×4 + 4×3\\=&0 + 2 + 9 + 16 + 30 + 39 + 14 + 12\\=&122\ \mathrm{（小时）}\end{split}$
平均时间 = 总时长÷总人数 = $122÷50 = 2.44$（小时）
(2)计算中位数：
按劳动时间从小到大累计人数：0时累计2人，1时累计4人，1.5时累计10人，2时累计18人，2.5时累计30人。可知第25、26个数据都属于劳动时间为2.5小时的组，因此中位数是2.5小时。
计算众数：
观察表格，劳动时间为3小时对应的人数最多，共13人，因此众数是3小时。
【答案】
(1)平均时间是2.44小时；
(2)中位数是2.5，众数是3。
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题属于统计基础题型，考查三个常用统计特征量的计算方法，计算时注意不要漏乘对应人数，求中位数要先确定中间数据的位置再对应取值，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)求平均做家务时间本质是求加权平均数，我们先计算所有学生做家务的总时长，再除以总人数50即可，每个劳动时间对应的人数就是计算时的权重。
(2)求中位数：先将数据按从小到大顺序排列，总共有50个数据为偶数个，中位数就是排序后第25、第26个数据的平均数；求众数：直接找出对应人数最多的劳动时间即可。
【解析】
(1)先计算50名学生做家务的总时长：
$\begin{split}&0×2 + 1×2 + 1.5×6 + 2×8 + 2.5×12 + 3×13 + 3.5×4 + 4×3\\=&0 + 2 + 9 + 16 + 30 + 39 + 14 + 12\\=&122\ \mathrm{（小时）}\end{split}$
平均时间 = 总时长÷总人数 = $122÷50 = 2.44$（小时）
(2)计算中位数：
按劳动时间从小到大累计人数：0时累计2人，1时累计4人，1.5时累计10人，2时累计18人，2.5时累计30人。可知第25、26个数据都属于劳动时间为2.5小时的组，因此中位数是2.5小时。
计算众数：
观察表格，劳动时间为3小时对应的人数最多，共13人，因此众数是3小时。
【答案】
(1)平均时间是2.44小时；
(2)中位数是2.5，众数是3。
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题属于统计基础题型，考查三个常用统计特征量的计算方法，计算时注意不要漏乘对应人数，求中位数要先确定中间数据的位置再对应取值，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.如果一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差是2，那么新的一组数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的方差为（
A.12
B.8
C.4
D.2
B
）A.12
B.8
C.4
D.2
答案
7.B
解析
【分析】
解题时可先回顾方差的定义与计算方法。我们可以先设原数据的平均数，推导得到新数据的平均数后，将两者代入方差公式，结合原数据的已知方差即可求出新数据的方差；也可以直接利用方差的变化规律：若一组数据每个数都扩大为原来的a倍，则方差扩大为原来的a²倍，快速得出结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差的定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+\dots+2x_n)=2·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2\overline{x}$
代入方差公式计算新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1-2\overline{x})^2+(2x_2-2\overline{x})^2+\dots+(2x_n-2\overline{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=4× s^2\\&=4×2=8\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的定义、方差的变化规律
【点评】
本题考查方差的相关计算，既可以通过公式推导得出结论，也可以直接利用方差的性质快速求解，掌握方差的计算公式和数据变化时的方差变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.75
解题时可先回顾方差的定义与计算方法。我们可以先设原数据的平均数，推导得到新数据的平均数后，将两者代入方差公式，结合原数据的已知方差即可求出新数据的方差；也可以直接利用方差的变化规律：若一组数据每个数都扩大为原来的a倍，则方差扩大为原来的a²倍，快速得出结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差的定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+\dots+2x_n)=2·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2\overline{x}$
代入方差公式计算新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1-2\overline{x})^2+(2x_2-2\overline{x})^2+\dots+(2x_n-2\overline{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=4× s^2\\&=4×2=8\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的定义、方差的变化规律
【点评】
本题考查方差的相关计算，既可以通过公式推导得出结论，也可以直接利用方差的性质快速求解，掌握方差的计算公式和数据变化时的方差变化规律是解题的核心。
【难度系数】
0.75
8.若一组数据1,2,x,4的众数是1,则这组数据的方差为
$\frac{3}{2}$
.答案
8.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。已知这组数据的众数是1，说明1出现的次数多于其他数，目前1、2、4各出现1次，因此可确定x的值为1；接下来要计算方差，需先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据众数的定义求x的值
∵ 数据1,2,x,4的众数是1，即1出现的次数最多
∴ x = 1，此时这组数据为1,2,1,4
第二步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}$ = $\frac{1+2+1+4}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2
第三步：代入方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2$ = $\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + ... + (x_n-\overline{x})^2]$
代入数据得：
$s^2$ = $\frac{1}{4}[(1-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (4-2)^2]$
= $\frac{1}{4}[1 + 0 + 1 + 4]$
= $\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
众数的定义、方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，考查统计中基础概念的应用，解题关键是先根据众数的特征确定未知数据的取值，再正确代入方差公式运算，熟练掌握相关概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。已知这组数据的众数是1，说明1出现的次数多于其他数，目前1、2、4各出现1次，因此可确定x的值为1；接下来要计算方差，需先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据众数的定义求x的值
∵ 数据1,2,x,4的众数是1，即1出现的次数最多
∴ x = 1，此时这组数据为1,2,1,4
第二步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}$ = $\frac{1+2+1+4}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2
第三步：代入方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2$ = $\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + ... + (x_n-\overline{x})^2]$
代入数据得：
$s^2$ = $\frac{1}{4}[(1-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (4-2)^2]$
= $\frac{1}{4}[1 + 0 + 1 + 4]$
= $\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
众数的定义、方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，考查统计中基础概念的应用，解题关键是先根据众数的特征确定未知数据的取值，再正确代入方差公式运算，熟练掌握相关概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
