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9.射箭比赛中,某运动员6次的成绩(单位:环)依次是$x_1,x_2,x_3,x_1+1,x_2+2,x_3+3$.若前3次的平均成绩为7环,则这6次的平均成绩为
8
环.答案
9.8
解析
【分析】
首先回忆平均数的计算公式：平均数=总数量÷总份数。已知前3次的平均成绩，我们可以先求出前3次成绩的总和；再观察后3次成绩和前3次成绩的关系，将后3次成绩拆分后整体代入前三次的总和，即可求出6次成绩的总总和，最后用总总和除以6就能得到6次的平均成绩，不需要单独求解每个未知数，用整体思想简化计算。
【解析】
解：已知前3次的平均成绩为7环，根据平均数的计算公式可得：
$x_1+x_2+x_3 = 3 × 7 = 21$（环）
6次成绩的总总和为：
$x_1+x_2+x_3 + (x_1+1)+(x_2+2)+(x_3+3)$
整理代数式可得：
$= (x_1+x_2+x_3 + x_1+x_2+x_3) + (1+2+3)$
$= 2(x_1+x_2+x_3) + 6$
将$x_1+x_2+x_3=21$代入上式，得：
总总和$= 2 × 21 + 6 = 42 + 6 = 48$（环）
则6次的平均成绩为：
$48 ÷ 6 = 8$（环）
【答案】
8
【知识点】
平均数的计算
整体代入思想
代数式化简
【点评】
本题考查平均数的基础应用，解题的核心是利用整体思想处理未知量，不需要单独求出每个$x_1,x_2,x_3$的具体值，通过总和之间的关系直接计算即可，降低计算量。
【难度系数】
0.8
首先回忆平均数的计算公式：平均数=总数量÷总份数。已知前3次的平均成绩，我们可以先求出前3次成绩的总和；再观察后3次成绩和前3次成绩的关系，将后3次成绩拆分后整体代入前三次的总和，即可求出6次成绩的总总和，最后用总总和除以6就能得到6次的平均成绩，不需要单独求解每个未知数，用整体思想简化计算。
【解析】
解：已知前3次的平均成绩为7环，根据平均数的计算公式可得：
$x_1+x_2+x_3 = 3 × 7 = 21$（环）
6次成绩的总总和为：
$x_1+x_2+x_3 + (x_1+1)+(x_2+2)+(x_3+3)$
整理代数式可得：
$= (x_1+x_2+x_3 + x_1+x_2+x_3) + (1+2+3)$
$= 2(x_1+x_2+x_3) + 6$
将$x_1+x_2+x_3=21$代入上式，得：
总总和$= 2 × 21 + 6 = 42 + 6 = 48$（环）
则6次的平均成绩为：
$48 ÷ 6 = 8$（环）
【答案】
8
【知识点】
平均数的计算
整体代入思想
代数式化简
【点评】
本题考查平均数的基础应用，解题的核心是利用整体思想处理未知量，不需要单独求出每个$x_1,x_2,x_3$的具体值，通过总和之间的关系直接计算即可，降低计算量。
【难度系数】
0.8
10.某校要从小王和小李两名学生中挑选一人参加全国机器人大赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩(单位:分)分别如下表：
根据上表，解答下列问题：
(1)完成下表：
(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的学生是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
根据上表，解答下列问题：
(1)完成下表：
(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的学生是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
答案
10.(1)80 80 80 40
(2)小李的成绩比较稳定.小王、小李的优秀率分别是40%,80%.
(2)小李的成绩比较稳定.小王、小李的优秀率分别是40%,80%.
解析
【分析】
对于（1），我们需要根据平均数、中位数、众数、方差的定义分别计算对应统计量：平均数为所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据从小到大排序，取排序后最中间的数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差按方差公式计算即可。对于（2），判断成绩稳定性看方差，方差越小成绩越稳定；优秀率为优秀成绩的次数除以总测试次数再乘100%，分别统计两人80分及以上的次数即可计算对应优秀率。
【解析】
(1) 计算各统计量：
① 平均数：分别将小王、小李的五次成绩求和后除以5，计算得两人的平均成绩均为80分；
② 中位数：将小李的五次成绩从小到大排序，第3个数据为80，即小李成绩的中位数是80；
③ 众数：小王的五次成绩中出现次数最多的数为80，即小王成绩的众数是80；
④ 方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入小王的成绩计算得方差为40。
因此四个空依次为80、80、80、40。
(2) ① 稳定性判断：方差越小数据波动越小，成绩越稳定，小李成绩的方差小于小王的方差，因此小李的成绩比较稳定。
② 优秀率计算：
小王5次测试中80分及以上的有2次，优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$；
小李5次测试中80分及以上的有4次，优秀率为$\frac{4}{5}×100\%=80\%$。
【答案】
(1)80 80 80 40
(2)小李的成绩比较稳定.小王、小李的优秀率分别是40%,80%
【知识点】
统计量计算，方差的意义，百分率计算
【点评】
本题属于统计基础应用题，重点考查对常见统计量概念的理解和计算能力，掌握各统计量的含义及用途是解题的关键，这类题型是统计板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
对于（1），我们需要根据平均数、中位数、众数、方差的定义分别计算对应统计量：平均数为所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据从小到大排序，取排序后最中间的数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差按方差公式计算即可。对于（2），判断成绩稳定性看方差，方差越小成绩越稳定；优秀率为优秀成绩的次数除以总测试次数再乘100%，分别统计两人80分及以上的次数即可计算对应优秀率。
【解析】
(1) 计算各统计量：
① 平均数：分别将小王、小李的五次成绩求和后除以5，计算得两人的平均成绩均为80分；
② 中位数：将小李的五次成绩从小到大排序，第3个数据为80，即小李成绩的中位数是80；
③ 众数：小王的五次成绩中出现次数最多的数为80，即小王成绩的众数是80；
④ 方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入小王的成绩计算得方差为40。
因此四个空依次为80、80、80、40。
(2) ① 稳定性判断：方差越小数据波动越小，成绩越稳定，小李成绩的方差小于小王的方差，因此小李的成绩比较稳定。
② 优秀率计算：
小王5次测试中80分及以上的有2次，优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$；
小李5次测试中80分及以上的有4次，优秀率为$\frac{4}{5}×100\%=80\%$。
【答案】
(1)80 80 80 40
(2)小李的成绩比较稳定.小王、小李的优秀率分别是40%,80%
【知识点】
统计量计算，方差的意义，百分率计算
【点评】
本题属于统计基础应用题，重点考查对常见统计量概念的理解和计算能力，掌握各统计量的含义及用途是解题的关键，这类题型是统计板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.农业专家在某种植区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长(单位:cm)分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8.求这组数据的方差.
答案
11.1.2
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：首先计算这组数据的平均数，再求出每个数据与平均数的差的平方，最后计算这些平方值的平均数，所得结果就是所求方差。计算过程中可先统计相同数据的出现次数，简化运算，同时注意不要算错数据总和，避免因计算失误出错。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
10个麦穗长的总和为：$8+8+6+7+9+9+7+8+10+8=80$
因此平均数$\overline{x}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}=\frac{80}{10}=8$
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}×[(8-8)^2×4+(6-8)^2+(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2]\\&=\frac{1}{10}×(0+4+2+2+4)\\&=\frac{1}{10}×12\\&=1.2\end{aligned}$
【答案】
1.2
【知识点】
1. 平均数的计算
2. 方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算方法，熟练掌握方差的计算步骤，认真运算即可得到正确结果，统计相同数据的出现次数可以有效提升计算效率、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：首先计算这组数据的平均数，再求出每个数据与平均数的差的平方，最后计算这些平方值的平均数，所得结果就是所求方差。计算过程中可先统计相同数据的出现次数，简化运算，同时注意不要算错数据总和，避免因计算失误出错。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
10个麦穗长的总和为：$8+8+6+7+9+9+7+8+10+8=80$
因此平均数$\overline{x}=\frac{\mathrm{数据总和}}{\mathrm{数据个数}}=\frac{80}{10}=8$
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}×[(8-8)^2×4+(6-8)^2+(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2]\\&=\frac{1}{10}×(0+4+2+2+4)\\&=\frac{1}{10}×12\\&=1.2\end{aligned}$
【答案】
1.2
【知识点】
1. 平均数的计算
2. 方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算方法，熟练掌握方差的计算步骤，认真运算即可得到正确结果，统计相同数据的出现次数可以有效提升计算效率、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
12.某校举办国学知识竞赛,设定满分10分,学生得分均为整数.在初赛中,甲、乙两组(每组10人)学生成绩(单位:分)如下.
甲组:5,6,6,6,6,6,7,9,9,10;
乙组:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10.
整理数据,制成下表:
(1)求a,b,c,d的值.
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断,小明可能是哪组的学生?
(3)从平均数和方差看,若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛,应选哪个组?
甲组:5,6,6,6,6,6,7,9,9,10;
乙组:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10.
整理数据,制成下表:
(1)求a,b,c,d的值.
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断,小明可能是哪组的学生?
(3)从平均数和方差看,若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛,应选哪个组?
答案
12.(1)a=6 b=7 c=7 d=2
(2)甲组 (3)乙组
(2)甲组 (3)乙组
解析
【分析】
(1) 求解a、b、c、d需对应不同统计量的定义：①中位数是排序后偶数个数据取中间两个数的平均数；②平均数是数据总和除以数据个数；③众数是出现次数最多的数；④方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按定义分别计算即可。
(2) 判断小明所在小组可结合中位数的意义：中位数代表数据的中等水平，7分属中游略偏上说明分数高于该组中位数，对比两组中位数即可得出结论。
(3) 选择成绩稳定的小组依据方差的性质：平均数相同时，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，对比两组方差即可判断。
【解析】
(1) ①求a：甲组成绩已按从小到大排列为5,6,6,6,6,6,7,9,9,10，共10个数据，中位数为第5、第6个数据的平均数，即$a=\frac{6+6}{2}=6$。
②求b：乙组成绩总和为$5+6×3+7×4+9+10=70$，平均数$b=\frac{70}{10}=7$。
③求c：乙组成绩中7出现次数最多（共4次），故众数$c=7$。
④求d：乙组平均数为7，根据方差公式计算：
$d=\frac{1}{10}[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}(4+3+0+4+9)=2$。
(2) 甲组中位数为6，乙组中位数为7。小明得7分属于中游略偏上，说明7分高于所在组的中位数，因此小明是甲组的学生。
(3) 甲乙两组平均数均为7，平均成绩持平；乙组方差为2，小于甲组的2.6，说明乙组成绩波动更小、更稳定，因此应选乙组参加决赛。
【答案】
(1) $a=6$，$b=7$，$c=7$，$d=2$
(2) 甲组
(3) 乙组
【知识点】
统计量计算，方差的意义，数据分析
【点评】
本题考查统计相关的基础应用，既需要熟练掌握中位数、平均数、众数、方差的计算方法，也需要理解各统计量的实际含义，能结合具体情境分析数据特征。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a、b、c、d需对应不同统计量的定义：①中位数是排序后偶数个数据取中间两个数的平均数；②平均数是数据总和除以数据个数；③众数是出现次数最多的数；④方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按定义分别计算即可。
(2) 判断小明所在小组可结合中位数的意义：中位数代表数据的中等水平，7分属中游略偏上说明分数高于该组中位数，对比两组中位数即可得出结论。
(3) 选择成绩稳定的小组依据方差的性质：平均数相同时，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，对比两组方差即可判断。
【解析】
(1) ①求a：甲组成绩已按从小到大排列为5,6,6,6,6,6,7,9,9,10，共10个数据，中位数为第5、第6个数据的平均数，即$a=\frac{6+6}{2}=6$。
②求b：乙组成绩总和为$5+6×3+7×4+9+10=70$，平均数$b=\frac{70}{10}=7$。
③求c：乙组成绩中7出现次数最多（共4次），故众数$c=7$。
④求d：乙组平均数为7，根据方差公式计算：
$d=\frac{1}{10}[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}(4+3+0+4+9)=2$。
(2) 甲组中位数为6，乙组中位数为7。小明得7分属于中游略偏上，说明7分高于所在组的中位数，因此小明是甲组的学生。
(3) 甲乙两组平均数均为7，平均成绩持平；乙组方差为2，小于甲组的2.6，说明乙组成绩波动更小、更稳定，因此应选乙组参加决赛。
【答案】
(1) $a=6$，$b=7$，$c=7$，$d=2$
(2) 甲组
(3) 乙组
【知识点】
统计量计算，方差的意义，数据分析
【点评】
本题考查统计相关的基础应用，既需要熟练掌握中位数、平均数、众数、方差的计算方法，也需要理解各统计量的实际含义，能结合具体情境分析数据特征。
【难度系数】
0.7
