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1.某校运动会中，八年级各班得分情况如下：
一班80分，二班84分，三班90分，四班86分，则这组数据关于平均数的离差平方和为
（
A.15
B.20
C.52
D.30
一班80分，二班84分，三班90分，四班86分，则这组数据关于平均数的离差平方和为
（
C
）A.15
B.20
C.52
D.30
答案
1.C
解析
【分析】
要计算这组数据关于平均数的离差平方和，需遵循三步思路：第一步先计算这组得分的平均数，第二步分别求出每个班级得分与平均数的差，第三步将每个差求平方后相加，所得结果就是离差平方和，计算过程中注意保证运算准确性即可。
【解析】
1. 先计算四个班得分的平均数：
总得分 = $80 + 84 + 90 + 86 = 340$分
平均数 $\bar{x}$ = $340 ÷ 4 = 85$分
2. 分别计算每个得分与平均数的离差平方：
一班：$(80 - 85)^2 = (-5)^2 = 25$
二班：$(84 - 85)^2 = (-1)^2 = 1$
三班：$(90 - 85)^2 = 5^2 = 25$
四班：$(86 - 85)^2 = 1^2 = 1$
3. 计算离差平方和：$25 + 1 + 25 + 1 = 52$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题是统计基础计算题，考查对离差平方和计算步骤的掌握，解题时严格按照“求平均数→算离差平方→求和”的流程计算，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据关于平均数的离差平方和，需遵循三步思路：第一步先计算这组得分的平均数，第二步分别求出每个班级得分与平均数的差，第三步将每个差求平方后相加，所得结果就是离差平方和，计算过程中注意保证运算准确性即可。
【解析】
1. 先计算四个班得分的平均数：
总得分 = $80 + 84 + 90 + 86 = 340$分
平均数 $\bar{x}$ = $340 ÷ 4 = 85$分
2. 分别计算每个得分与平均数的离差平方：
一班：$(80 - 85)^2 = (-5)^2 = 25$
二班：$(84 - 85)^2 = (-1)^2 = 1$
三班：$(90 - 85)^2 = 5^2 = 25$
四班：$(86 - 85)^2 = 1^2 = 1$
3. 计算离差平方和：$25 + 1 + 25 + 1 = 52$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题是统计基础计算题，考查对离差平方和计算步骤的掌握，解题时严格按照“求平均数→算离差平方→求和”的流程计算，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁四支足球队在联赛中的进球数分别为9,9,x,7.若这组数据的众数与平均数恰好相等,则这组数据的中位数是 (
A.10
B.9
C.8
D.7
B
)A.10
B.9
C.8
D.7
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先明确众数、平均数、中位数的定义，按三步推导：第一步判断众数，这组数据中9已经出现2次，由于平均数是唯一值，因此众数只能有1个，可确定众数为9；第二步根据平均数与众数相等的关系列方程求解未知数据x；第三步将所有数据排序后计算中位数即可得到结果。
【解析】
1. 确定众数：已知数据为9,9,x,7，9已出现2次。若x=7，则众数为9和7两个，和唯一的平均数不可能相等，因此众数只能是9。
2. 求x的值：
因为众数与平均数相等，所以平均数为9，根据平均数公式列方程：
$\frac{9+9+x+7}{4}=9$
化简得$25+x=36$，解得$x=11$。
3. 计算中位数：将这组数据从小到大排列为7,9,9,11，共4个数据，中位数为中间两个数的平均值，即$\frac{9+9}{2}=9$。
【答案】
B
【知识点】
众数；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计特征量的概念与计算，解题核心是先结合众数的特点锁定众数取值，再通过方程求出未知量，属于基础题型，需要熟练掌握三个统计量的定义和计算方法。
【难度系数】
0.8
解题时先明确众数、平均数、中位数的定义，按三步推导：第一步判断众数，这组数据中9已经出现2次，由于平均数是唯一值，因此众数只能有1个，可确定众数为9；第二步根据平均数与众数相等的关系列方程求解未知数据x；第三步将所有数据排序后计算中位数即可得到结果。
【解析】
1. 确定众数：已知数据为9,9,x,7，9已出现2次。若x=7，则众数为9和7两个，和唯一的平均数不可能相等，因此众数只能是9。
2. 求x的值：
因为众数与平均数相等，所以平均数为9，根据平均数公式列方程：
$\frac{9+9+x+7}{4}=9$
化简得$25+x=36$，解得$x=11$。
3. 计算中位数：将这组数据从小到大排列为7,9,9,11，共4个数据，中位数为中间两个数的平均值，即$\frac{9+9}{2}=9$。
【答案】
B
【知识点】
众数；平均数；中位数
【点评】
本题考查统计特征量的概念与计算，解题核心是先结合众数的特点锁定众数取值，再通过方程求出未知量，属于基础题型，需要熟练掌握三个统计量的定义和计算方法。
【难度系数】
0.8
3.一次体育测试后，体育老师对本班体育成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学体育成绩的平均分为85分，方差为40.后来甲同学进行了补考，体育成绩为85分.加入甲同学的成绩后，下列关于该班体育成绩的说法正确的是（
A.平均分和方差都不变
B.平均分和方差都改变
C.平均分不变，方差变小
D.平均分不变，方差变大
C
）A.平均分和方差都不变
B.平均分和方差都改变
C.平均分不变，方差变小
D.平均分不变，方差变大
答案
3.C
解析
【分析】
拿到这道题，我们需要分别判断加入甲同学成绩后，班级体育成绩的平均分和方差的变化情况。首先分析平均分：平均分等于所有同学的总分除以总人数，原来除甲外的同学平均分是85分，甲补考成绩恰好也是85分，可通过公式推导判断新的平均分是否变化。再分析方差：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，等于每个数据与平均数的差的平方的平均数，结合方差公式计算加入甲成绩后的新方差，和原方差比较大小即可得出结论。
【解析】
设该班除甲同学外共有$ n $名同学：
1. 计算新的平均分：
原来$ n $名同学的总分为$ 85n $，加入甲的85分后，总分为$ 85n + 85 $，总人数变为$ n+1 $。
新的平均分$ \bar{x}_{\mathrm{新}} = \frac{85n + 85}{n+1} = \frac{85(n+1)}{n+1} = 85 $，因此平均分不变。
2. 计算新的方差：
根据方差公式，原来的方差$ s^2_{\mathrm{原}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - 85)^2 = 40 $，可得$ \sum_{i=1}^{n}(x_i - 85)^2 = 40n $。
加入甲的成绩后，甲的成绩与平均分的差为$ 85-85=0 $，因此新的差的平方和仍为$ 40n $，总人数为$ n+1 $。
新的方差$ s^2_{\mathrm{新}} = \frac{1}{n+1} × 40n $，显然$ \frac{40n}{n+1} ＜ 40 $，因此方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
这道题是统计部分的基础题型，重点考查对平均数、方差概念及计算公式的理解与运用，掌握“当新增数据等于原平均数时，平均数不变，数据波动减小，方差变小”的规律，可快速判断结果。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，我们需要分别判断加入甲同学成绩后，班级体育成绩的平均分和方差的变化情况。首先分析平均分：平均分等于所有同学的总分除以总人数，原来除甲外的同学平均分是85分，甲补考成绩恰好也是85分，可通过公式推导判断新的平均分是否变化。再分析方差：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，等于每个数据与平均数的差的平方的平均数，结合方差公式计算加入甲成绩后的新方差，和原方差比较大小即可得出结论。
【解析】
设该班除甲同学外共有$ n $名同学：
1. 计算新的平均分：
原来$ n $名同学的总分为$ 85n $，加入甲的85分后，总分为$ 85n + 85 $，总人数变为$ n+1 $。
新的平均分$ \bar{x}_{\mathrm{新}} = \frac{85n + 85}{n+1} = \frac{85(n+1)}{n+1} = 85 $，因此平均分不变。
2. 计算新的方差：
根据方差公式，原来的方差$ s^2_{\mathrm{原}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - 85)^2 = 40 $，可得$ \sum_{i=1}^{n}(x_i - 85)^2 = 40n $。
加入甲的成绩后，甲的成绩与平均分的差为$ 85-85=0 $，因此新的差的平方和仍为$ 40n $，总人数为$ n+1 $。
新的方差$ s^2_{\mathrm{新}} = \frac{1}{n+1} × 40n $，显然$ \frac{40n}{n+1} ＜ 40 $，因此方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
这道题是统计部分的基础题型，重点考查对平均数、方差概念及计算公式的理解与运用，掌握“当新增数据等于原平均数时，平均数不变，数据波动减小，方差变小”的规律，可快速判断结果。
【难度系数】
0.7
4.某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图1所示。根据图中提供的信息，你认为这次捐款活动中，捐款额的中位数是
15
。答案
4.15
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据总个数为偶数，中位数是最中间两个数据的平均数。本题共有40名学生捐款，因此中位数是所有捐款额排序后第20、21个数据的平均值。接下来需要先统计不同捐款额对应的累计人数，找到第20、21个数据对应的捐款额，即可求出中位数。
【解析】
1. 确定中位数位置：总共有40个捐款数据，数据个数为偶数，因此中位数为排序后第20位和第21位捐款额的平均数。
2. 统计各捐款额的累计人数：
捐款5元的有8人，累计人数为8人；
捐款10元的有10人，累计人数为$8+10=18$人；
捐款15元的有12人，累计人数为$18+12=30$人。
3. 定位中间位置的数据：前18人的捐款额不超过10元，前30人的捐款额不超过15元，因此第19~30位的捐款额均为15元，即第20位、第21位的捐款额都是15元。
4. 计算中位数：$\frac{15+15}{2}=15$。
【答案】
15
【知识点】
中位数的计算，折线统计图信息提取
【点评】
本题考查结合统计图求解中位数的能力，解题核心是通过累计人数定位中间位置对应的捐款额，易错点是忽略捐款人数的权重，直接对捐款额数值排序计算中位数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据总个数为偶数，中位数是最中间两个数据的平均数。本题共有40名学生捐款，因此中位数是所有捐款额排序后第20、21个数据的平均值。接下来需要先统计不同捐款额对应的累计人数，找到第20、21个数据对应的捐款额，即可求出中位数。
【解析】
1. 确定中位数位置：总共有40个捐款数据，数据个数为偶数，因此中位数为排序后第20位和第21位捐款额的平均数。
2. 统计各捐款额的累计人数：
捐款5元的有8人，累计人数为8人；
捐款10元的有10人，累计人数为$8+10=18$人；
捐款15元的有12人，累计人数为$18+12=30$人。
3. 定位中间位置的数据：前18人的捐款额不超过10元，前30人的捐款额不超过15元，因此第19~30位的捐款额均为15元，即第20位、第21位的捐款额都是15元。
4. 计算中位数：$\frac{15+15}{2}=15$。
【答案】
15
【知识点】
中位数的计算，折线统计图信息提取
【点评】
本题考查结合统计图求解中位数的能力，解题核心是通过累计人数定位中间位置对应的捐款额，易错点是忽略捐款人数的权重，直接对捐款额数值排序计算中位数。
【难度系数】
0.7
5.某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7,9,6,8,10，那么这组数据的平均数是
8
，方差是2
。答案
5.8 2
解析
【分析】
解决本题需依次计算平均数和方差，按照“先算平均数，再算方差”的思路求解：第一步，根据平均数的定义，用所有数据的总和除以数据的个数即可得到平均数；第二步，利用求得的平均数，代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均数，就能得到方差。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据的总和为 $7+9+6+8+10=40$，数据共有5个，
因此平均数 $\bar{x}=\frac{40}{5}=8$。
2. 计算方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(7-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+4+0+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
8；2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是基础统计计算题，主要考查平均数和方差的基本公式应用，只要熟记公式、代入数据计算时仔细，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需依次计算平均数和方差，按照“先算平均数，再算方差”的思路求解：第一步，根据平均数的定义，用所有数据的总和除以数据的个数即可得到平均数；第二步，利用求得的平均数，代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均数，就能得到方差。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据的总和为 $7+9+6+8+10=40$，数据共有5个，
因此平均数 $\bar{x}=\frac{40}{5}=8$。
2. 计算方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(7-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+4+0+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
8；2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是基础统计计算题，主要考查平均数和方差的基本公式应用，只要熟记公式、代入数据计算时仔细，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.9
6.甲、乙、丙三个工厂生产同一种混凝土制件,订货方为了了解各厂生产的制件的质量情况,从三个厂生产的制件中各抽取了5件,测得强度数据如下表:
(1)分别计算这3组数据的平均数和方差;
(2)如果你作为订货方,你选择哪家工厂的产品?
(1)分别计算这3组数据的平均数和方差;
(2)如果你作为订货方,你选择哪家工厂的产品?
答案
6.(1)甲厂:平均数为110.8,方差为108.56；
乙厂:平均数为112.8,方差为43.76；
丙厂:平均数为98,方差为100.8。
(2)乙厂
乙厂:平均数为112.8,方差为43.76；
丙厂:平均数为98,方差为100.8。
(2)乙厂
解析
【分析】
（1）计算平均数可直接使用算术平均数公式：一组数据的总和除以数据的个数，本题每组都有5个数据，将每组数据求和后除以5即可得到对应组的平均数；计算方差使用方差公式：每个数据与平均数差的平方的平均数，代入每组数据和求出的平均数计算即可。
（2）选择产品时，优先看平均强度，平均强度越高说明产品整体强度越高；再看方差，方差越小说明产品强度越稳定，质量波动越小，结合两个指标选择最优工厂即可。
【解析】
（1）计算三组数据的平均数和方差：
①甲厂：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{115+116+125+102+96}{5}=\frac{554}{5}=110.8$
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(115-110.8)^2+(116-110.8)^2+(125-110.8)^2+(102-110.8)^2+(96-110.8)^2]$
$=\frac{1}{5}(17.64+27.04+201.64+77.44+219.04)=\frac{542.8}{5}=108.56$
②乙厂：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{103+107+120+118+116}{5}=\frac{564}{5}=112.8$
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(103-112.8)^2+(107-112.8)^2+(120-112.8)^2+(118-112.8)^2+(116-112.8)^2]$
$=\frac{1}{5}(96.04+33.64+51.84+27.04+10.24)=\frac{218.8}{5}=43.76$
③丙厂：
平均数：$\bar{x}_丙=\frac{104+90+86+96+114}{5}=\frac{490}{5}=98$
方差：$s^2_丙=\frac{1}{5}[(104-98)^2+(90-98)^2+(86-98)^2+(96-98)^2+(114-98)^2]$
$=\frac{1}{5}(36+64+144+4+256)=\frac{504}{5}=100.8$
（2）对比三个厂的数据：乙厂的平均强度最高，说明产品整体质量最好；同时乙厂的方差最小，说明产品强度最稳定，质量波动最小，因此选择乙厂的产品。
【答案】
(1)甲厂：平均数为110.8，方差为108.56；
乙厂：平均数为112.8，方差为43.76；
丙厂：平均数为98，方差为100.8。
(2)乙厂
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际生活中的应用，核心是掌握平均数和方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的性质，解题时需注意计算的准确性，结合实际需求综合判断最优方案。
【难度系数】
0.7
（1）计算平均数可直接使用算术平均数公式：一组数据的总和除以数据的个数，本题每组都有5个数据，将每组数据求和后除以5即可得到对应组的平均数；计算方差使用方差公式：每个数据与平均数差的平方的平均数，代入每组数据和求出的平均数计算即可。
（2）选择产品时，优先看平均强度，平均强度越高说明产品整体强度越高；再看方差，方差越小说明产品强度越稳定，质量波动越小，结合两个指标选择最优工厂即可。
【解析】
（1）计算三组数据的平均数和方差：
①甲厂：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{115+116+125+102+96}{5}=\frac{554}{5}=110.8$
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(115-110.8)^2+(116-110.8)^2+(125-110.8)^2+(102-110.8)^2+(96-110.8)^2]$
$=\frac{1}{5}(17.64+27.04+201.64+77.44+219.04)=\frac{542.8}{5}=108.56$
②乙厂：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{103+107+120+118+116}{5}=\frac{564}{5}=112.8$
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(103-112.8)^2+(107-112.8)^2+(120-112.8)^2+(118-112.8)^2+(116-112.8)^2]$
$=\frac{1}{5}(96.04+33.64+51.84+27.04+10.24)=\frac{218.8}{5}=43.76$
③丙厂：
平均数：$\bar{x}_丙=\frac{104+90+86+96+114}{5}=\frac{490}{5}=98$
方差：$s^2_丙=\frac{1}{5}[(104-98)^2+(90-98)^2+(86-98)^2+(96-98)^2+(114-98)^2]$
$=\frac{1}{5}(36+64+144+4+256)=\frac{504}{5}=100.8$
（2）对比三个厂的数据：乙厂的平均强度最高，说明产品整体质量最好；同时乙厂的方差最小，说明产品强度最稳定，质量波动最小，因此选择乙厂的产品。
【答案】
(1)甲厂：平均数为110.8，方差为108.56；
乙厂：平均数为112.8，方差为43.76；
丙厂：平均数为98，方差为100.8。
(2)乙厂
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际生活中的应用，核心是掌握平均数和方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的性质，解题时需注意计算的准确性，结合实际需求综合判断最优方案。
【难度系数】
0.7
7.若一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是$\bar{x}$，则另一组数据$x_1,x_2+1,x_3+2,x_4+3,x_5+4$的平均数是（
A.$\bar{x}$
B.$\bar{x}+2$
C.$\bar{x}+5$
D.$\bar{x}+10$
B
）A.$\bar{x}$
B.$\bar{x}+2$
C.$\bar{x}+5$
D.$\bar{x}+10$
答案
7.B
解析
【分析】
解题的核心是利用平均数的定义，即平均数等于所有数据之和除以数据的个数。首先根据原数据的平均数求出原数据的总和，再计算新数据的总和，最后用新总和除以数据个数就能得到新的平均数，与原平均数对比即可得出结果。
【解析】
根据算术平均数的定义：
原数据的总和为 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\bar{x}$
新数据的总和为：
$\begin{aligned}&x_1+(x_2+1)+(x_3+2)+(x_4+3)+(x_5+4)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+(1+2+3+4)\\=&5\bar{x}+10\end{aligned}$
新数据的平均数为：
$\frac{5\bar{x}+10}{5}=\bar{x}+2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数计算、数据变换对平均数的影响
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平均数定义的理解和应用，解题时无需逐个计算新数据的值，只需抓住数据总和的变化规律即可快速求解，能有效锻炼学生对统计基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平均数的定义，即平均数等于所有数据之和除以数据的个数。首先根据原数据的平均数求出原数据的总和，再计算新数据的总和，最后用新总和除以数据个数就能得到新的平均数，与原平均数对比即可得出结果。
【解析】
根据算术平均数的定义：
原数据的总和为 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\bar{x}$
新数据的总和为：
$\begin{aligned}&x_1+(x_2+1)+(x_3+2)+(x_4+3)+(x_5+4)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+(1+2+3+4)\\=&5\bar{x}+10\end{aligned}$
新数据的平均数为：
$\frac{5\bar{x}+10}{5}=\bar{x}+2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平均数计算、数据变换对平均数的影响
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平均数定义的理解和应用，解题时无需逐个计算新数据的值，只需抓住数据总和的变化规律即可快速求解，能有效锻炼学生对统计基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
