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8.某单位举办英语培训班，100名职工在一个月内参加英语培训的次数如图2.
这个月该单位职工参加英语培训的平均次数是
这个月该单位职工参加英语培训的平均次数是
6
，这个月每名职工参加英语培训次数的众数是6
，中位数是6
.答案
8.6 6 6
解析
【分析】
解题需分别结合三个统计量的定义分步计算：1. 平均次数为加权平均数，先算所有职工的培训总次数，再除以总人数即可得到结果；2. 众数是出现次数最多的培训次数，直接观察条形图中人数最多的组对应的次数即可；3. 总共有100个数据，中位数是从小到大排序后第50、51个数据的平均数，先累加各组人数确定第50、51个数据所在的分组，即可得到中位数。
【解析】
首先从条形图获取数据：参加4次培训的有15人，5次的有20人，6次的有30人，7次的有20人，8次的有15人，总人数为$15+20+30+20+15=100$人。
1. 计算平均次数：
加权平均数$=\frac{4×15+5×20+6×30+7×20+8×15}{100}=\frac{60+100+180+140+120}{100}=\frac{600}{100}=6$。
2. 求众数：
参加6次培训的人数最多，共30人，因此众数为6。
3. 求中位数：
将100人的培训次数从小到大排列，前$15+20=35$人的次数为4、5次，第36到第$35+30=65$人的次数均为6次，第50、51个数据都在6次的分组内，因此中位数为6。
【答案】
6；6；6
【知识点】
加权平均数；众数；中位数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，解题的关键是读懂统计图获取对应分组的人数，再结合各统计量的定义求解，是统计类的基础题型，需要熟练掌握各统计量的计算规则。
【难度系数】
0.8
解题需分别结合三个统计量的定义分步计算：1. 平均次数为加权平均数，先算所有职工的培训总次数，再除以总人数即可得到结果；2. 众数是出现次数最多的培训次数，直接观察条形图中人数最多的组对应的次数即可；3. 总共有100个数据，中位数是从小到大排序后第50、51个数据的平均数，先累加各组人数确定第50、51个数据所在的分组，即可得到中位数。
【解析】
首先从条形图获取数据：参加4次培训的有15人，5次的有20人，6次的有30人，7次的有20人，8次的有15人，总人数为$15+20+30+20+15=100$人。
1. 计算平均次数：
加权平均数$=\frac{4×15+5×20+6×30+7×20+8×15}{100}=\frac{60+100+180+140+120}{100}=\frac{600}{100}=6$。
2. 求众数：
参加6次培训的人数最多，共30人，因此众数为6。
3. 求中位数：
将100人的培训次数从小到大排列，前$15+20=35$人的次数为4、5次，第36到第$35+30=65$人的次数均为6次，第50、51个数据都在6次的分组内，因此中位数为6。
【答案】
6；6；6
【知识点】
加权平均数；众数；中位数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，解题的关键是读懂统计图获取对应分组的人数，再结合各统计量的定义求解，是统计类的基础题型，需要熟练掌握各统计量的计算规则。
【难度系数】
0.8
9.若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为3，则数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的方差是
12
，数据$2x_1 - 2,2x_2 - 2,\dots,2x_n - 2$的方差是12
。答案
9.12 12
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义和数据变换对方差的影响规律：方差反映的是数据的波动大小，当一组数据中的每个数都乘以同一个常数a时，新数据的方差是原方差的a²倍；当一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变。按照这个规律先计算乘2后的方差，再判断减2对方差的影响即可。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，已知原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$。
1. 求数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的方差：
这组新数据的平均数为$\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+\dots+2x_n)=2\overline{x}$，
则新方差$s_1^2=\frac{1}{n}[(2x_1-2\overline{x})^2+(2x_2-2\overline{x})^2+\dots+(2x_n-2\overline{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=4×3=12$。
2. 求数据$2x_1-2,2x_2-2,\dots,2x_n-2$的方差：
这组新数据的平均数为$\frac{1}{n}[(2x_1-2)+(2x_2-2)+\dots+(2x_n-2)]=2\overline{x}-2$，
则新方差$s_2^2=\frac{1}{n}[(2x_1-2-(2\overline{x}-2))^2+(2x_2-2-(2\overline{x}-2))^2+\dots+(2x_n-2-(2\overline{x}-2))^2]$
化简每个括号内的式子得$2x_i-2-2\overline{x}+2=2(x_i-\overline{x})$，因此该式和上一步的方差计算式完全相同，结果也为12。
【答案】
12；12
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，核心是理解方差仅和数据的波动程度有关，数据整体加减常数不改变波动程度，整体乘以常数时波动程度会扩大为常数的平方倍，牢记该规律可以快速得出结果，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义和数据变换对方差的影响规律：方差反映的是数据的波动大小，当一组数据中的每个数都乘以同一个常数a时，新数据的方差是原方差的a²倍；当一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变。按照这个规律先计算乘2后的方差，再判断减2对方差的影响即可。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，已知原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$。
1. 求数据$2x_1,2x_2,\dots,2x_n$的方差：
这组新数据的平均数为$\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+\dots+2x_n)=2\overline{x}$，
则新方差$s_1^2=\frac{1}{n}[(2x_1-2\overline{x})^2+(2x_2-2\overline{x})^2+\dots+(2x_n-2\overline{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=4×3=12$。
2. 求数据$2x_1-2,2x_2-2,\dots,2x_n-2$的方差：
这组新数据的平均数为$\frac{1}{n}[(2x_1-2)+(2x_2-2)+\dots+(2x_n-2)]=2\overline{x}-2$，
则新方差$s_2^2=\frac{1}{n}[(2x_1-2-(2\overline{x}-2))^2+(2x_2-2-(2\overline{x}-2))^2+\dots+(2x_n-2-(2\overline{x}-2))^2]$
化简每个括号内的式子得$2x_i-2-2\overline{x}+2=2(x_i-\overline{x})$，因此该式和上一步的方差计算式完全相同，结果也为12。
【答案】
12；12
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，核心是理解方差仅和数据的波动程度有关，数据整体加减常数不改变波动程度，整体乘以常数时波动程度会扩大为常数的平方倍，牢记该规律可以快速得出结果，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.8
10.下表是某校八(1)班30名学生体育测试的成绩表(已污损).
已知该班学生体育测试成绩的平均分是76分.
(1)该班体育成绩为80分和90分的学生各有多少人?
(2)设该班30名学生体育成绩的众数为a,中位数为b,求$a+b$的值.
已知该班学生体育测试成绩的平均分是76分.
(1)该班体育成绩为80分和90分的学生各有多少人?
(2)设该班30名学生体育成绩的众数为a,中位数为b,求$a+b$的值.
答案
10.(1)该班体育成绩为80分的学生有8人,90分的学生有5人.
(2)160
(2)160
解析
【分析】
(1) 已知班级总人数为30，先计算已知成绩的人数和，可得80分和90分的人数之和；再结合平均分计算出全班总成绩，根据“各成绩×对应人数之和=总成绩”建立方程，即可求解两个分数段的人数。
(2) 众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后中间位置的数（偶数个数据取中间两个数的平均数），根据第一问得到的完整人数数据，分别求出众数a和中位数b，再计算a+b即可。
【解析】
(1) 设该班体育成绩为80分的学生有x人，90分的学生有y人。
根据总人数为30，可得：
$2+5+7+x+y+3=30$，化简得 $x+y=13$ ①
已知平均分为76分，全班总分为 $30×76=2280$ 分，根据总得分列等式：
$50×2 + 60×5 +70×7 +80x +90y +100×3 = 2280$
计算已知项的和：$100+300+490+300=1190$，因此：
$80x +90y = 2280 - 1190 = 1090$，化简得 $8x +9y =109$ ②
将①变形为 $x=13-y$，代入②得：
$8(13-y)+9y=109$
解得 $y=5$，则 $x=13-5=8$。
即80分的有8人，90分的有5人。
(2) 统计各成绩的人数：50分2人，60分5人，70分7人，80分8人，90分5人，100分3人。
其中80分出现的次数最多，因此众数 $a=80$。
将30个成绩从小到大排序，中位数为第15、16个成绩的平均数：
前3个成绩累计人数为 $2+5+7=14$，因此第15、16个成绩均为80分，中位数 $b=\frac{80+80}{2}=80$。
因此 $a+b=80+80=160$。
【答案】
(1) 成绩为80分的学生有8人，90分的学生有5人；
(2) $\boxed{160}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，众数，中位数
【点评】
本题是统计与方程结合的典型题型，既考查了利用等量关系列方程求解未知量的能力，又考查了对众数、中位数概念的理解和运用，解题时需注意计算总得分和统计累计人数时不要出错。
【难度系数】
0.7
(1) 已知班级总人数为30，先计算已知成绩的人数和，可得80分和90分的人数之和；再结合平均分计算出全班总成绩，根据“各成绩×对应人数之和=总成绩”建立方程，即可求解两个分数段的人数。
(2) 众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排序后中间位置的数（偶数个数据取中间两个数的平均数），根据第一问得到的完整人数数据，分别求出众数a和中位数b，再计算a+b即可。
【解析】
(1) 设该班体育成绩为80分的学生有x人，90分的学生有y人。
根据总人数为30，可得：
$2+5+7+x+y+3=30$，化简得 $x+y=13$ ①
已知平均分为76分，全班总分为 $30×76=2280$ 分，根据总得分列等式：
$50×2 + 60×5 +70×7 +80x +90y +100×3 = 2280$
计算已知项的和：$100+300+490+300=1190$，因此：
$80x +90y = 2280 - 1190 = 1090$，化简得 $8x +9y =109$ ②
将①变形为 $x=13-y$，代入②得：
$8(13-y)+9y=109$
解得 $y=5$，则 $x=13-5=8$。
即80分的有8人，90分的有5人。
(2) 统计各成绩的人数：50分2人，60分5人，70分7人，80分8人，90分5人，100分3人。
其中80分出现的次数最多，因此众数 $a=80$。
将30个成绩从小到大排序，中位数为第15、16个成绩的平均数：
前3个成绩累计人数为 $2+5+7=14$，因此第15、16个成绩均为80分，中位数 $b=\frac{80+80}{2}=80$。
因此 $a+b=80+80=160$。
【答案】
(1) 成绩为80分的学生有8人，90分的学生有5人；
(2) $\boxed{160}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，众数，中位数
【点评】
本题是统计与方程结合的典型题型，既考查了利用等量关系列方程求解未知量的能力，又考查了对众数、中位数概念的理解和运用，解题时需注意计算总得分和统计累计人数时不要出错。
【难度系数】
0.7
11.某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各项成绩如表所示.
根据表格提供的信息，回答下列问题：
(1)写出这四项成绩的中位数和众数；
(2)若依次按照按$3:3:2:2$的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是多少分？
根据表格提供的信息，回答下列问题：
(1)写出这四项成绩的中位数和众数；
(2)若依次按照按$3:3:2:2$的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是多少分？
答案
11.(1)85 85 (2)85.5分
解析
【分析】
(1)求解中位数和众数时，先将4项成绩按从小到大的顺序排列，由于数据总个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数；众数为这组数据中出现次数最多的数，统计各成绩出现次数即可得到众数。
(2)求解加权平均成绩时，根据给定的$3:3:2:2$的权重比例，将各项成绩分别乘以对应的权重，求和后再除以权重总和，即可得到最终的平均成绩。
【解析】
(1)首先将四项成绩从小到大排列：80，85，85，90。
数据共4个，为偶数个，中位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{85+85}{2}=85$；
统计各成绩出现次数：80出现1次，85出现2次，90出现1次，因此众数为85。
(2)权重总和为$3+3+2+2=10$，根据加权平均数公式计算：
平均成绩$=\frac{85×3 + 90×3 + 80×2 + 85×2}{10}$
$=\frac{255+270+160+170}{10}$
$=\frac{855}{10}=85.5$（分）
【答案】
(1)中位数是85，众数是85；(2)85.5分
【知识点】
中位数、众数、加权平均数计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查对中位数、众数定义的理解，以及加权平均数的计算方法，解题时注意排序是求中位数的前提，计算加权平均数时不要混淆各项目对应的权重即可。
【难度系数】
0.8
(1)求解中位数和众数时，先将4项成绩按从小到大的顺序排列，由于数据总个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数；众数为这组数据中出现次数最多的数，统计各成绩出现次数即可得到众数。
(2)求解加权平均成绩时，根据给定的$3:3:2:2$的权重比例，将各项成绩分别乘以对应的权重，求和后再除以权重总和，即可得到最终的平均成绩。
【解析】
(1)首先将四项成绩从小到大排列：80，85，85，90。
数据共4个，为偶数个，中位数为第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{85+85}{2}=85$；
统计各成绩出现次数：80出现1次，85出现2次，90出现1次，因此众数为85。
(2)权重总和为$3+3+2+2=10$，根据加权平均数公式计算：
平均成绩$=\frac{85×3 + 90×3 + 80×2 + 85×2}{10}$
$=\frac{255+270+160+170}{10}$
$=\frac{855}{10}=85.5$（分）
【答案】
(1)中位数是85，众数是85；(2)85.5分
【知识点】
中位数、众数、加权平均数计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查对中位数、众数定义的理解，以及加权平均数的计算方法，解题时注意排序是求中位数的前提，计算加权平均数时不要混淆各项目对应的权重即可。
【难度系数】
0.8
12.在某次射击训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩(单位:环)记录如下表：
(1)经计算甲和乙的平均成绩都是8环，求表中a的值.
(2)甲、乙射击成绩的众数各是多少？
(3)已知甲射击成绩的方差是1.2，求出乙射击成绩的方差，判断甲、乙两人谁的射击成绩更稳定.
(1)经计算甲和乙的平均成绩都是8环，求表中a的值.
(2)甲、乙射击成绩的众数各是多少？
(3)已知甲射击成绩的方差是1.2，求出乙射击成绩的方差，判断甲、乙两人谁的射击成绩更稳定.
答案
12.(1)8 (2)甲:8 乙:7 (3)1.8 甲
解析
【分析】
(1) 利用平均数的计算公式：平均数=所有数据之和÷数据个数，已知甲的平均成绩为8环，共10次射击，可先求出甲10次成绩的总和，再减去已知9次成绩的和即可得到a的值。
(2) 根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数，分别统计甲、乙成绩中各数据出现的次数，找出出现次数最多的数即为对应众数。
(3) 依据方差公式计算乙的方差，再根据“方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定”的性质，比较甲、乙的方差大小，判断谁的成绩更稳定。
【解析】
(1) 已知甲的平均成绩为8环，射击次数为10次，因此甲10次射击的总成绩为：$8×10=80$（环）
甲已知9次成绩的和为：$8+9+7+9+8+6+7+10+8=72$（环）
所以$a=80-72=8$。
(2) 统计甲的射击成绩：8出现4次，9出现2次，7出现2次，6、10各出现1次，出现次数最多的是8，因此甲成绩的众数是8；
统计乙的射击成绩：7出现4次，9出现2次，10出现2次，6、8各出现1次，出现次数最多的是7，因此乙成绩的众数是7。
(3) 已知乙的平均成绩$\bar{x}=8$环，根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入乙的成绩计算：
$S^2_乙=\frac{1}{10}[(6-8)^2+4×(7-8)^2+(8-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}[4+4×1+0+2×1+2×4]$
$=\frac{1}{10}×18=1.8$
因为甲的方差$1.2＜1.8$，方差越小成绩越稳定，所以甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 甲：$\boxed{8}$，乙：$\boxed{7}$
(3) 乙方差为$\boxed{1.8}$，$\boxed{甲}$的射击成绩更稳定
【知识点】
平均数的计算、众数的概念、方差的计算与应用
【点评】
本题是统计类基础题，围绕常见的三个统计量设题，解题的关键是熟练掌握平均数、众数、方差的定义和计算方法，同时要明确方差反映数据波动程度的性质：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。
【难度系数】
0.8
(1) 利用平均数的计算公式：平均数=所有数据之和÷数据个数，已知甲的平均成绩为8环，共10次射击，可先求出甲10次成绩的总和，再减去已知9次成绩的和即可得到a的值。
(2) 根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数，分别统计甲、乙成绩中各数据出现的次数，找出出现次数最多的数即为对应众数。
(3) 依据方差公式计算乙的方差，再根据“方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定”的性质，比较甲、乙的方差大小，判断谁的成绩更稳定。
【解析】
(1) 已知甲的平均成绩为8环，射击次数为10次，因此甲10次射击的总成绩为：$8×10=80$（环）
甲已知9次成绩的和为：$8+9+7+9+8+6+7+10+8=72$（环）
所以$a=80-72=8$。
(2) 统计甲的射击成绩：8出现4次，9出现2次，7出现2次，6、10各出现1次，出现次数最多的是8，因此甲成绩的众数是8；
统计乙的射击成绩：7出现4次，9出现2次，10出现2次，6、8各出现1次，出现次数最多的是7，因此乙成绩的众数是7。
(3) 已知乙的平均成绩$\bar{x}=8$环，根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入乙的成绩计算：
$S^2_乙=\frac{1}{10}[(6-8)^2+4×(7-8)^2+(8-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}[4+4×1+0+2×1+2×4]$
$=\frac{1}{10}×18=1.8$
因为甲的方差$1.2＜1.8$，方差越小成绩越稳定，所以甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 甲：$\boxed{8}$，乙：$\boxed{7}$
(3) 乙方差为$\boxed{1.8}$，$\boxed{甲}$的射击成绩更稳定
【知识点】
平均数的计算、众数的概念、方差的计算与应用
【点评】
本题是统计类基础题，围绕常见的三个统计量设题，解题的关键是熟练掌握平均数、众数、方差的定义和计算方法，同时要明确方差反映数据波动程度的性质：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。
【难度系数】
0.8
