1.「2026江苏扬州宝应月考」如图，一次函数$y=x+4$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B，点$C(-2,0)$是x轴上一点，E,F分别为直线$y=x+4$和y轴上的两个动点，当$△ CEF$的周长最小时，点E的坐标为。

答案 $\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})}$
解析 如图,作 C 关于直线 $y=x+4$ 的对称点 $C'$,连接 $AC',C'E$,作 C 点关于 y 轴的对称点 $C''$,连接 $C''F$,则 $C''(2,0),CF=FC''$.

令 $x=0$,得 $y=4,\therefore B(0,4)$,
令 $y=0$,即 $x+4=0$,解得 $x=-4,\therefore A(-4,0)$,
$\therefore OA=OB=4,\therefore △ AOB$ 是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ OAB=45°$,
$\because C',C$ 关于直线 AB 对称,
$\therefore ∠ C'AB=∠ CAB=45°,AC'=AC=AO-CO=4-2=2$,
$C'E=CE,\therefore ∠ C'AC=90°$,即 $AC'⊥ x$ 轴,$\therefore C'(-4,2)$,
$\therefore △ CEF$ 的周长 $=CE+EF+CF=C'E+EF+FC''$,
根据两点之间,线段最短可得,当点 $C',E,F,C''$ 在同一直线上时,$△ CEF$ 的周长最小,
设直线 $C'C''$ 的解析式为 $y=kx+b(k\ne0)$,
将 $C'(-4,2),C''(2,0)$ 代入,得 $\begin{cases}2=-4k+b,\\0=2k+b,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{3},\\b=\dfrac{2}{3},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $C'C''$ 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$,
联立得 $\begin{cases}y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3},\\y=x+4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-\dfrac{5}{2},\\y=\dfrac{3}{2},\end{cases}$ $\therefore E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})$.

2.「2026 陕西西安碑林西工大附中期中」如图，直线$y=2x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$，且与直线$l$相交于点$D(-1,n)$，已知直线$l$经过点$C(1,0)$。
(1)求直线$l$的函数表达式。
(2)将直线$l$向右平移3个单位得直线$m$，与$x$轴交于点$E$，点$P$为直线$m$上一动点，若$S_{△ APE}=2S_{△ ABP}$，求点$P$的坐标。

解析 (1)把 $D(-1,n)$ 代入 $y=2x+4$,得 $n=-2+4=2$,
$\therefore D(-1,2)$,设直线 $l$ 的函数表达式为 $y=kx+b(k\ne0)$,$\because$ 直线 $l$ 经过点 $C(1,0),D(-1,2)$,
$\therefore \begin{cases}k+b=0,\\-k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l$ 的函数表达式为 $y=-x+1$.
(2)对于 $y=2x+4$,当 $x=0$ 时,$y=4$,当 $y=0$ 时,$x=-2$,
$\therefore A(-2,0),B(0,4)$,将直线 $l$ 向右平移 3 个单位得到的直线 $m$ 的函数表达式为 $y=-(x-3)+1=-x+4$,当 $x=0$ 时,$y=4$,当 $y=0$ 时,$x=4$,$\therefore$ 直线 $m$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,4)$,与 $x$ 轴的交点为 $E(4,0)$(如图),$\therefore$ 直线 $m$ 过点 $B$,$\because S_{△ APE}=2S_{△ ABP}$,$\therefore PE=2PB$,设 $P(m,-m+4)$,
$\therefore PB=\sqrt{m^2+(-m)^2}=\sqrt{2m^2}$,$PE=\sqrt{(m-4)^2+(-m+4)^2}=\sqrt{2(m-4)^2}$,$\because PE^2=4PB^2$,$\therefore 2(m-4)^2=4×2m^2$,$\therefore m-4=2m$ 或 $m-4=-2m$,解得 $m=-4$ 或 $m=\dfrac{4}{3}$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-4,8)$ 或 $(\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$.

3.「2025江苏无锡经开区期末」如图,一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$A(2,0)$,与$y$轴交于点$B(0,4)$.
(1)求该一次函数的表达式.
(2)若点$C$是坐标轴上一点,且$CA=CB$,求点$C$的坐标.
(3)如果$x$轴上有一动点$D$,当$∠ ABD=45°$时,请直接写出符合条件的$D$点坐标.

解析 (1)把 $A(2,0),B(0,4)$ 代入 $y=kx+b$,
得 $\begin{cases}2k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-2x+4$.
(2)当 $C$ 在 $x$ 轴上时,设 $C(x,0)$,
$\because A(2,0),B(0,4),\therefore CA^2=(x-2)^2,CB^2=x^2+16$,
$\because CA^2=CB^2,\therefore (x-2)^2=x^2+16$,解得 $x=-3$,
$\therefore C(-3,0)$.
当 $C$ 在 $y$ 轴上时,设 $C(0,y)$,
$\because A(2,0),B(0,4),\therefore CA^2=4+y^2,CB^2=(y-4)^2$,
$\because CA^2=CB^2,\therefore 4+y^2=(y-4)^2$,解得 $y=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore C(0,\dfrac{3}{2})$.综上所述,点 $C$ 的坐标为 $(-3,0)$ 或 $(0,\dfrac{3}{2})$.
(3)点 $D$ 的坐标为 $(12,0)$ 或 $(-\dfrac{4}{3},0)$.
详解:过 $A$ 作 $AH⊥ BD$ 于 $H$,过 $H$ 作 $MN⊥ x$ 轴于 $N$,过 $B$ 作 $BM⊥ MN$ 于 $M$,设 $H(m,n)$,
当 $BD$ 在 $AB$ 的右侧时,,
$\because ∠ ABD=45°,AH⊥ BD$,
$\therefore △ ABH$ 是等腰直角三角形,$∠ AHB=90°$,
$\therefore ∠ AHN=90°-∠ BHM=∠ MBH,AH=BH$,
$\because ∠ ANH=90°=∠ M$,$\therefore △ AHN≌ △ HBM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AN=MH,HN=BM$,
$\because A(2,0),B(0,4),\therefore m-2=4-n,n=m$,
解得 $m=3,n=3,\therefore H(3,3)$,
$\therefore$ 直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+4$,
令 $y=0$,则 $-\dfrac{1}{3}x+4=0$,解得 $x=12$,$\therefore D(12,0)$.
当 $BD$ 在 $AB$ 的左侧时,,
同理可得 $△ AHN≌ △ HBM$,$\therefore AN=MH,HN=BM$,
$\because A(2,0),B(0,4),\therefore 2-m=4-n,n=-m$,
解得 $m=-1,n=1,\therefore H(-1,1)$,
$\therefore$ 直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=3x+4$,
令 $y=0$,则 $3x+4=0$,解得 $x=-\dfrac{4}{3}$,$\therefore D(-\dfrac{4}{3},0)$.
综上所述,点 $D$ 的坐标为 $(12,0)$ 或 $(-\dfrac{4}{3},0)$.