9.「2024北京中考，★☆」在平面直角坐标系$xOy$中，函数$y=kx+b(k≠0)$与$y=-kx+3$的图象交于点$(2,1)$。
(1)求$k,b$的值。
(2)当$x＞2$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值既大于函数$y=kx+b$的值，也大于函数$y=-kx+3$的值，直接写出$m$的取值范围。

9.解析 (1)将$(2,1)$代入$y=-kx+3$,得$-2k+3=1$,解得$k=1$,
将$k=1$,$(2,1)$代入函数$y=kx+b$中,得$2+b=1$,解得$b=-1$.
(2)$m≥1$.
详解:$\because k=1$,$b=-1$,
$\therefore$ 两个一次函数的解析式分别为$y=x-1$,$y=-x+3$.
由题意知,当$x＞2$时,直线$y=mx(m≠0)$在直线$y=x-1$和直线$y=-x+3$的上方,画出图象,如图:

由图象得,当直线$y=mx(m≠0)$与直线$y=x-1$平行时,符合题意,当直线$y=mx(m≠0)$与$x$轴的夹角大于直线$y=x-1$与$x$轴的夹角时,也符合题意,
$\therefore$ 当$x＞2$,直线$y=mx(m≠0)$在直线$y=x-1$和直线$y=-x+3$的上方时,$m≥1$,$\therefore m$的取值范围为$m≥1$.

10.核心 素养 几何直观 「2026江苏苏州工业园区期末」如图,已知直线$l_1:y=kx+b$与直线$l_2:y=-\dfrac{1}{2}x+m$都经过点$E(-1,3)$,直线$l_1$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B(0,4)$,直线$l_2$交$y$轴于点$C$,交$x$轴于点$D$,直线$l_3//$直线$l_1$且经过原点,与直线$l_2$交于点$F$,点$P$为$x$轴上任意一点,连接$PC,PF$,对于以下结论,正确的个数为（）
①方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-\dfrac{1}{2}x+m\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=3;\end{cases}$
②$S_{△ OFD}=\dfrac{25}{6}$;③$ED=\sqrt{45}$;④当$PF+PC$的值最小时,点$P$的坐标为$(1,0)$.


A.1
B.2
C.3
D.4

10.D ①$\because$ 直线$l_1:y=kx+b$与直线$l_2:y=-\frac{1}{2}x+m$都经过点$E(-1,3)$,$\therefore$ 方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-\frac{1}{2}x+m\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=3,\end{cases}$故①结论正确.
②把$E(-1,3)$,$B(0,4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=3, \\ b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1, \\ b=4,\end{cases}$$\therefore$ 直线$l_1:y=x+4$,$\because$ 直线$l_3//$直线$l_1$且经过原点,$\therefore$ 直线$l_3$的解析式为$y=x$,把$E(-1,3)$代入$y=-\frac{1}{2}x+m$,得$3=-\frac{1}{2}×(-1)+m$,解得$m=\frac{5}{2}$,$\therefore$ 直线$l_2:y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$,联立得$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}, \\ y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{5}{3}, \\ y=\frac{5}{3},\end{cases}$
$\therefore F(\frac{5}{3},\frac{5}{3})$,在$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$中,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=0$,解得$x=5$,$\therefore D(5,0)$,$\therefore S_{△ OFD}=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{3}=\frac{25}{6}$,故结论②正确.
③$\because D(5,0)$,$E(-1,3)$,$\therefore DE=\sqrt{(5+1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{45}$,故结论③正确.
④在$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$中,令$x=0$,则$y=\frac{5}{2}$,$\therefore C(0,\frac{5}{2})$,如图,作点$C$关于$x$轴的对称点$C'$,连接$C'F$,$C'P$,则$CP=C'P$,

当$C'$,$P$,$F$三点共线时,$PF+PC$的值最小,设直线$C'F$的解析式为$y=ax+n(a≠0)$,将$C'(0,-\frac{5}{2})$,$F(\frac{5}{3},\frac{5}{3})$代入$y=ax+n$,得$\begin{cases}n=-\frac{5}{2}, \\ \frac{5}{3}a+n=\frac{5}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{5}{2}, \\ n=-\frac{5}{2},\end{cases}$$\therefore$ 直线$C'F$的解析式为$y=\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}$,当$y=0$时,$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}=0$,解得$x=1$,$\therefore P(1,0)$,故结论④正确.
综上,正确结论的个数为4.故选 D.

1. 学科特色 数形结合思想「2026北京二十九中开学测试」在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=2x$和$y=mx+n$的图象如图所示，则关于$x$的一元一次不等式$mx+n＜2x$的解集是。

1.答案 $x＞1$
解析 根据题中函数图象可知,两函数图象的交点坐标为$(1,2)$,$\therefore$ 关于$x$的一元一次不等式$mx+n＜2x$的解集是$x＞1$.

2.「2025江苏南京玄武期末」如图，一次函数$y_1=kx-m$（$k,m$是常数，且$k≠0$）和$y_2=-x+n$的图象交于点$P(3,2)$，则关于$x$的不等式$(k+1)x＞m+n$的解集为。

2.答案 $x＞3$
解析 $\because$ 一次函数$y_1=kx-m$与$y_2=-x+n$的图象交于点$P(3,2)$,$\therefore$ 当$x＞3$时,$kx-m＞-x+n$,$\therefore$ 关于$x$的不等式$(k+1)x＞m+n$的解集为$x＞3$.

3.「2025江苏徐州中考改编」如图所示的是一次函数$y=kx+b$的图象，则关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解集为。

3.答案 $x＜2$
解析 由题中函数图象可得当$x＜-1$时,$kx+b＜0$,$\therefore$ 关于$x$的不等式$kx+b＜0$的解集是$x＜-1$,$\therefore$ 关于$x$的不等式$k(x-3)+b＜0$的解满足$x-3＜-1$,解得$x＜2$.故所求不等式的解集为$x＜2$.

4.如图，函数$y=-3x$和$y=ax+4$的图象相交于点$A(m,3)$，则$0＜ax+4＜-3x$的解集为________。

4.答案 $-4＜x＜-1$
解析 如图,设直线$y=ax+4$交$x$轴于点$B$,$\because$ 直线$y=-3x$经过点$A(m,3)$,$\therefore -3m=3$,解得$m=-1$,$\therefore A(-1,3)$,把$A(-1,3)$代入$y=ax+4$,得$-a+4=3$,解得$a=1$,$\therefore y=x+4$,令$y=0$,则$x=-4$,$\therefore B(-4,0)$,$\therefore 0＜ax+4＜-3x$的解集为$-4＜x＜-1$.