4.「2026江苏无锡江阴段考」如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=\frac{3}{4}x+4$与y轴交于点A,直线$l_2:y=kx+b(k≠0)$与直线$l_1$相交于点B,交y轴负半轴于点C.已知点B的横坐标为4,$△ ABC$的面积为10.
(1)点B的坐标为.
(2)求直线$l_2$对应的函数表达式.
(3)若P为线段BC上的一个动点,将$△ ABP$沿着直线AP翻折,是否存在这样的点P,使得点B的对应点D恰好落在x轴正半轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解析 (1)当 $x=4$ 时,$y=\dfrac{3}{4}×4+4=7$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,7)$.故答案为 $(4,7)$.
(2)当 $x=0$ 时,$y=\dfrac{3}{4}x+4=4$,$y=kx+b=b$,
$\therefore A(0,4),C(0,b)$,
$\therefore △ ABC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}×4(4-b)=10$,
解得 $b=-1$,$\therefore y=kx-1$,
把 $B(4,7)$ 代入,得 $4k-1=7$,解得 $k=2$,
$\therefore$ 直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=2x-1$.
(3)存在,如图所示,设点 $D(a,0)(a＞0)$,点 $P(x,2x-1)(0\le x\le4)$,
由翻折可知 $AB=AD,BP=PD$,$\therefore AB^2=AD^2,BP^2=PD^2$,
$\therefore 4^2+(7-4)^2=a^2+4^2$,$(4-x)^2+(7-2x+1)^2=(x-a)^2+(2x-1)^2$,
解得 $a=3$,$x=\dfrac{7}{3}$,$\therefore 2x-1=\dfrac{11}{3}$,$\therefore P(\dfrac{7}{3},\dfrac{11}{3})$.

5.「2026江苏无锡宜兴月考」如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点$A(3,0),B(0,4)$,点C在y轴的负半轴上,若将$△ CAB$沿直线AC折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点D处.
(1)AB的长为,点D的坐标是.
(2)求点C的坐标.
(3)点M是y轴上一动点,若$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}S_{△ OCD}$,求点M的坐标.
(4)在第一象限内是否存在点P,使$△ PAB$为等腰直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解析 (1)$\because$ 点 $A(3,0),B(0,4)$,$\therefore OA=3,OB=4$,
$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$,由折叠可知 $AD=AB=5$,
$\therefore OD=OA+AD=8$,$\therefore D(8,0)$.故答案为 $5$;$(8,0)$.
(2)设 $C(0,a)(a＜0)$,由题意得 $BC=CD$,$\therefore 4-a=\sqrt{a^2+8^2}$,解得 $a=-6$,$\therefore C(0,-6)$.
(3)设 $M(0,b)$,$\because S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}$,$\therefore \dfrac{1}{2}×|4-b|×3=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×6×8$,解得 $b=12$ 或 $b=-4$,$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,12)$ 或 $(0,-4)$.
(4)存在,点 $P$ 的坐标为 $(3.5,3.5)$ 或 $(4,7)$ 或 $(7,3)$.
详解:当 $AB=AP$,$∠ BAP=90°$ 时,过 $P$ 作 $PF⊥ x$ 轴于 $F$,如图,
$\because ∠ AOB=∠ OFP=∠ BAP=90°$,
$\therefore ∠ OBA+∠ OAB=∠ OAB+∠ PAF=90°$,$\therefore ∠ OBA=∠ PAF$,
$\because AB=AP$,$\therefore △ ABO≌ △ PAF$,
$\therefore PF=OA=3$,$AF=OB=4$,
$\therefore OF=OA+AF=7$,$\therefore P(7,3)$.
当 $AB=BP'$,$∠ P'BA=90°$ 时,过 $P'$ 作 $P'G⊥ y$ 轴于 $G$,同理可得 $△ ABO≌ △ BP'G$,
$\therefore P'G=OB=4$,$BG=OA=3$,
$\therefore OG=OB+BG=7$,$\therefore P'(4,7)$.
当 $BP''=AP''$,$∠ BP''A=90°$ 时,点 $P''$ 是 $AP'$ 和 $BP$ 的交点,设直线 $AP'$ 的解析式为 $y=kx+c(k\ne0)$,
则 $\begin{cases}3k+c=0,\\4k+c=7,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=7,\\c=-21,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AP'$ 的解析式为 $y=7x-21$,
设直线 $BP$ 的解析式为 $y=mx+4(m\ne0)$,
则 $7m+4=3$,解得 $m=-\dfrac{1}{7}$,
$\therefore$ 直线 $BP$ 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{7}x+4$,
解方程组 $\begin{cases}y=7x-21,\\y=-\dfrac{1}{7}x+4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=3.5,\\y=3.5,\end{cases}$
$\therefore P''(3.5,3.5)$.
综上,点 $P$ 的坐标为 $(3.5,3.5)$ 或 $(4,7)$ 或 $(7,3)$.