9. 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A,B两种艺术节纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.
(1)购进A,B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

解：
(1) 设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x + 3y = 950 \\5x + 6y = 800\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$16x + 6y = 1900$，
用该式减去第二个方程，得$11x = 1100$，解得$x=100$。
把$x=100$代入$8x+3y=950$，得$800 + 3y = 950$，解得$y=50$。
答：购进A种纪念品每件需100元，购进B种纪念品每件需50元。
(2) 设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品$(100 - m)$件。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}100m + 50(100 - m) ≥ 7000 \\100m + 50(100 - m) ≤ 7500\end{cases}$
解第一个不等式：
$100m + 5000 - 50m ≥ 7000$
$50m ≥ 2000$
$m ≥ 40$
解第二个不等式：
$100m + 5000 - 50m ≤ 7500$
$50m ≤ 2500$
$m ≤ 50$
因为m是正整数，所以m的取值为40,41,42,…,50，共11个值。
答：该商店共有11种进货方案。
(3) 设销售完这100件纪念品的总利润为W元。
根据题意得：
$W = 20m + 30(100 - m) = -10m + 3000$
因为$-10 ＜ 0$，所以W随m的增大而减小。
所以当$m=40$时，W取得最大值，
此时$100 - m = 100 - 40 = 60$，
$W_{最大} = -10×40 + 3000 = 2600$元。
答：购进A种纪念品40件、B种纪念品60件时获利最大，最大利润是2600元。

10. 已知$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$AB=AC$.
(1)如图①,若$∠ BAC=60°$,$AB=4$,求$BD$的长;
(2)如图②,$AB⊥ AC$,过点$C$作$CF⊥ BD$于点$F$,连接$AF$,过点$A$作$AE⊥ AF$交$BD$于点$E$,求证:$OE=CF+OF$.

解：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$BD=2BO$。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=AB=4$，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=2$。
∵ O是AC中点，等边三角形三线合一，
∴ $BO⊥ AC$。
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $BD=2BO=4\sqrt{3}$。
(2) 证明：
过点A作$AH⊥ BD$于点H，
∵ $CF⊥ BD$，
∴ $∠ AHO=∠ CFO=90°$。
∵ 平行四边形ABCD对角线交于O，
∴ $OA=OC$。
在$△ AOH$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ AHO=∠ CFO \\∠ AOH=∠ COF \\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AOH≌△ COF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AH=CF$，$OH=OF$。
∵ $AB⊥ AC$，
∴ $∠ BAC=90°$，即$∠ BAE+∠ EAO=90°$。
∵ $AE⊥ AF$，
∴ $∠ EAF=90°$，即$∠ CAF+∠ EAO=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ CAF$。
∵ $∠ BAC=90°$，$CF⊥ BD$，
∴ $∠ ABE+∠ AOB=90°$，$∠ ACF+∠ COF=90°$，
又∵ $∠ AOB=∠ COF$，
∴ $∠ ABE=∠ ACF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CAF \\AB=AC \\∠ ABE=∠ ACF\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=AF$。
∵ $∠ EAF=90°$，$AH⊥ EF$，
∴ $△ AEF$是等腰直角三角形，AH是斜边EF上的高，
∴ $AH=EH$。
∵ $OE=EH+OH$，且$EH=AH=CF$，$OH=OF$，
∴ $OE=CF+OF$。