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1. 某校机器人编程团队参加创意机器人大赛,7位评委给出的分数为95,95,95,94,95,88,95.这组数据的中位数、众数分别是()
A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
答案
B
解析
先将这组数据从小到大重新排序：88，94，95，95，95，95，95。7个数据的中位数是排序后位于第4位的数，即95；这组数据里95出现的次数最多，共出现5次，因此众数是95。
2. 若正比例函数的图象经过点(2,3)，则这个图象一定也经过点()
A.(3,2)
B.(-3,2)
C.(-2,3)
D.(-2,-3)
A.(3,2)
B.(-3,2)
C.(-2,3)
D.(-2,-3)
答案
D
解析
设正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(2,3)$代入解析式得$3=2k$，解得$k=\frac{3}{2}$，因此函数解析式为$y=\frac{3}{2}x$。将各选项的点逐一代入验证：
选项A：代入$x=3$，得$y=\frac{3}{2}×3=\frac{9}{2}≠2$，不满足解析式；
选项B：代入$x=-3$，得$y=\frac{3}{2}×(-3)=-\frac{9}{2}≠2$，不满足解析式；
选项C：代入$x=-2$，得$y=\frac{3}{2}×(-2)=-3≠3$，不满足解析式；
选项D：代入$x=-2$，得$y=\frac{3}{2}×(-2)=-3$，满足解析式。
因此该图象一定经过点$(-2,-3)$。
选项A：代入$x=3$，得$y=\frac{3}{2}×3=\frac{9}{2}≠2$，不满足解析式；
选项B：代入$x=-3$，得$y=\frac{3}{2}×(-3)=-\frac{9}{2}≠2$，不满足解析式；
选项C：代入$x=-2$，得$y=\frac{3}{2}×(-2)=-3≠3$，不满足解析式；
选项D：代入$x=-2$，得$y=\frac{3}{2}×(-2)=-3$，满足解析式。
因此该图象一定经过点$(-2,-3)$。
3. 已知变量$x,y$之间的关系式为$y=\begin{cases}2x+1(x≥0), \\4x(x＜0),\end{cases}$当$x=2$时，$y$的值是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A
解析
首先判断x=2的取值范围，因为2≥0，所以将x=2代入对应的关系式y=2x+1中，计算得y=2×2+1=5。
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=5$，$∠ B=30°$. 以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则BD的长是()
A.$4\sqrt{3}-3$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}-4$
D.$3$
A.$4\sqrt{3}-3$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}-4$
D.$3$
答案
A
解析
过点A作AE⊥BC于点E。
1. 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=8，可得AE=½AB=4，由勾股定理得BE=√(AB²-AE²)=√(8²-4²)=4√3。
2. 由作图可知AD=AC=5，在等腰△ADC中，AE⊥DC，因此DE=CE。
3. 在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，由勾股定理得DE=√(AD²-AE²)=√(5²-4²)=3。
4. 因此BD=BE-DE=4√3-3。
1. 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=8，可得AE=½AB=4，由勾股定理得BE=√(AB²-AE²)=√(8²-4²)=4√3。
2. 由作图可知AD=AC=5，在等腰△ADC中，AE⊥DC，因此DE=CE。
3. 在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，由勾股定理得DE=√(AD²-AE²)=√(5²-4²)=3。
4. 因此BD=BE-DE=4√3-3。
5. 实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}-\sqrt{(a+b)^2}$的结果是。
答案
解：
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，且$|a|＞|b|$，因此$a+b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，
$\sqrt{b^2}=|b|=b$，
$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|=-(a+b)$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a|+|b|-|a+b|\\&=-a + b - [-(a+b)]\\&=-a + b + a + b\\&=2b\end{aligned}$
最终结果是$\boldsymbol{2b}$。
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，且$|a|＞|b|$，因此$a+b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，
$\sqrt{b^2}=|b|=b$，
$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|=-(a+b)$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a|+|b|-|a+b|\\&=-a + b - [-(a+b)]\\&=-a + b + a + b\\&=2b\end{aligned}$
最终结果是$\boldsymbol{2b}$。
6. 如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,BC=6,CD=4,G为线段BC的中点,连接AG,E,F分别为AG,AD的中点,则EF的长为.
答案
$\frac{5}{2}$（或2.5）
解析
解：连接DG，
∵ G为线段BC的中点，BC=6，
∴ $GC=\frac{1}{2}BC=3$，
∵ $∠ C=90°$，$CD=4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{GC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ E，F分别为AG，AD的中点，
∴ EF是$△ AGD$的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}DG=\frac{5}{2}$。
∵ G为线段BC的中点，BC=6，
∴ $GC=\frac{1}{2}BC=3$，
∵ $∠ C=90°$，$CD=4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中，由勾股定理得：
$DG=\sqrt{GC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ E，F分别为AG，AD的中点，
∴ EF是$△ AGD$的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}DG=\frac{5}{2}$。
7. 如图，已知等腰直角三角形ABC的顶点B,C分别在x轴、y轴上，∠ABC=90°，点B的坐标是(1,0)，点C的坐标是(0,3)，则直线AC的函数解析式为。
答案
解：过点A作AD⊥x轴于点D，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC + ∠ABD = 90°，
又∵∠OBC + ∠OCB = 90°，
∴∠OCB = ∠ABD，
在△BOC和△ADB中：
$\begin{cases}∠BOC = ∠ADB = 90° \\∠OCB = ∠ABD \\BC = AB\end{cases}$
∴△BOC ≌ △ADB（AAS）
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴OB=1，OC=3，
∴BD=OC=3，AD=OB=1，
∴OD = OB + BD = 1 + 3 = 4，
∴点A的坐标为(4,1)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将A(4,1)、C(0,3)代入解析式得：
$\begin{cases}b=3 \\4k + b = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2} \\b=3\end{cases}$
∴直线AC的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x + 3}$。
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC + ∠ABD = 90°，
又∵∠OBC + ∠OCB = 90°，
∴∠OCB = ∠ABD，
在△BOC和△ADB中：
$\begin{cases}∠BOC = ∠ADB = 90° \\∠OCB = ∠ABD \\BC = AB\end{cases}$
∴△BOC ≌ △ADB（AAS）
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴OB=1，OC=3，
∴BD=OC=3，AD=OB=1，
∴OD = OB + BD = 1 + 3 = 4，
∴点A的坐标为(4,1)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将A(4,1)、C(0,3)代入解析式得：
$\begin{cases}b=3 \\4k + b = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2} \\b=3\end{cases}$
∴直线AC的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x + 3}$。
8. 观察下列各式,发现规律: $\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
(1)填空: $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=$，$\sqrt{2023+\frac{1}{2025}}=$；
(2)请用含自然数$n(n≥1)$的代数式把你所发现的规律表示出来.
(1)填空: $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=$，$\sqrt{2023+\frac{1}{2025}}=$；
(2)请用含自然数$n(n≥1)$的代数式把你所发现的规律表示出来.
答案
解：
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{2023+\frac{1}{2025}}=2024\sqrt{\frac{1}{2025}}$；
(2) 规律为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \quad (n≥1, n为自然数)$
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{2023+\frac{1}{2025}}=2024\sqrt{\frac{1}{2025}}$；
(2) 规律为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \quad (n≥1, n为自然数)$
