【跟踪练习】
2. 如图,已知有两个完全相同的长和宽分别为$a,b$的小长方形,一个长和宽分别为$m,n$的大长方形,小明把这两个小长方形按图中方式放置在大长方形中,小明经过推理得知,要求出图中阴影部分的周长,只需知道$a,b,m,n$中的一个量即可,则要知道的那个量是 ()

A.$a$
B.$b$
C.$m$
D.$n$

2. D 【解析】如图.
由图和已知可知 $AB=a$,
$EF=b,AC=n-b,GE=n-a$. 阴影部分的周长为
$2(AB+AC)+2(GE+EF)=2(a+n-b)+2(n-a+b)=2a+2n-2b+2n-2a+2b=4n$. 所以要求阴影部分的周长,只需知道 $n$ 一个量即可.

【典型例题3】当$a+b=3$时，代数式$2(a+2b)-(3a+5b)+5$的值为。
【解析】$2(a+2b)-(3a+5b)+5=2a+4b-3a-5b+5=-a-b+5=-(a+b)+5.$当$a+b=3$时，原式$=-3+5=2.$
【答案】2

$\boldsymbol{2}$

解：
$2(a+2b)-(3a+5b)+5$
$=2a+4b-3a-5b+5$
$=-a-b+5$
$=-(a+b)+5$
当$a+b=3$时，
原式$=-3+5=2$

3. 已知代数式 $ A = 2x^2 + 3xy + 2y $，$ B = x^2 - xy + x $。
(1)求 $ A - 2B $；
(2)若 $ |x + 2| + (1 - y)^2 = 0 $，求 $ A - 2B $ 的值。

3. 【解】(1)根据题意,可得 $A-2B=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x=5xy-2x+2y$.
(2)因为$|x+2|+(1-y)^2=0$,
所以$x+2=0,1-y=0$,
所以$x=-2,y=1$,
所以$A-2B=5×(-2)×1-2×(-2)+2×1=-10+4+2=-4$.

在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式$m$，$n$按如下规律进行操作.
第1次操作后得到整式串$m$，$n$，$n-m$；
第2次操作后得到整式串$m$，$n$，$n-m$，$-m$；
第3次操作后……
其操作规则如下：每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去其前一项所得的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏，则该“回头差”游戏第2025次操作后得到的整式串各项之和是（）

A.$m+n$
B.$m$
C.$n-m$
D.$2n-m$

C 【解析】第 1 次操作后得到整式串 $m,n,n-m$;
第 2 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m$;
第 3 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n$;
第 4 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m$;
第 5 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m$;
第 6 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n$;
第 7 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m$;
……
第 2 025 次操作后得到整式串 $m,n,n-m,-m,-n,-n+m,······,m,n,n-m,-m,-n$,共 2 027 个整式.
由上可得,第 2 025 次操作后得到的整式串中$m,n,n-m,-m,-n,-n+m$ 循环出现,最后五项分别为 $m,n,n-m,-m,-n$,又 $m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0,2\ 027÷6=337······5$,所以求第 2 025 次操作后得到的整式串各项之和,即求最后五项之和,所以所求之和为 $m+n+(n-m)+(-m)+(-n)=n-m$.