【典型例题 1】已知$-\dfrac{1}{2}a^2b^{2-m}$是关于$a,b$的六次单项式，$\dfrac{1}{2}a^2b^{n+1}+ab-2a^2+b-5$是关于$a,b$的四次五项式，求$n-m$的值.
思路导引 先根据单项式和多项式的定义求出$m,n$的值，再代入计算即可求解.
【解】因为$-\dfrac{1}{2}a^2b^{2-m}$是关于$a,b$的六次单项式，所以$2+2-m=6$，所以$m=-2$.
因为$\dfrac{1}{2}a^2b^{n+1}+ab-2a^2+b-5$是关于$a,b$的四次五项式，所以$2+n+1=4$，所以$n=1$，所以$n-m=1-(-2)=3$.
规律方法 解答这类问题，一般先根据整式及其相关概念列出关系式，通过关系式得出字母的值，再代入代数式求值.

解：
因为$-\dfrac{1}{2}a^2b^{2-m}$是关于$a,b$的六次单项式，
所以单项式中所有字母的指数和为6，即：
$2 + 2 - m = 6$
解得$m=-2$。
因为$\dfrac{1}{2}a^2b^{n+1}+ab-2a^2+b-5$是关于$a,b$的四次五项式，
所以该多项式的最高次项次数为4，即最高次项$\dfrac{1}{2}a^2b^{n+1}$的次数为4：
$2 + n + 1 = 4$
解得$n=1$。
将$m=-2$，$n=1$代入$n-m$：
$n-m=1 - (-2)=3$
最终$n-m$的值为$\boldsymbol{3}$。

【跟踪练习】

1. 下列说法正确的是 （）

A.$2π mn$的系数是$2π$
B.$-8^2ab^2$的次数是5
C.$xy^3 + 3x^2y -8$的常数项为8
D.$11x^2 -6x +5$是三次三项式

1. A 【解析】$2πmn$的系数是$2π$,故A符合题意.
$-8^2ab^2$的次数是3,故B不符合题意.
$xy^3+3x^2y-8$的常数项为$-8$,故C不符合题意.
$11x^2-6x+5$是二次三项式,故D不符合题意.

【典型例题2】小明在准备化简代数式$3(4x^2+6xy)-\blacksquare(x^2+3xy-2)$时，一不小心将墨水滴在了作业本上，使得$(x^2+3xy-2)$前面的数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测试小明对知识的掌握程度，对小明说：“该题标准答案的结果不含有$y$.”请你通过李老师的话，帮小明解决如下问题：
(1)被墨水遮挡的数为________；
(2)求出该题的标准答案.
【解】(1)6 设被墨水遮挡的数为$a$，
则$3(4x^2+6xy)-a(x^2+3xy-2)=$
$12x^2+18xy-ax^2-3axy+2a=(12-a)x^2+(18-3a)xy+2a$，因为该题标准答案的结果不含有$y$，所以$18-3a=0$，所以$a=6$.
(2)$3(4x^2+6xy)-6(x^2+3xy-2)=$
$12x^2+18xy-6x^2-18xy+12=6x^2+12$.

解：(1) 设被墨水遮挡的数为$a$，
则$3(4x^2+6xy)-a(x^2+3xy-2)$
$=12x^2+18xy-ax^2-3axy+2a$
$=(12-a)x^2+(18-3a)xy+2a$
因为化简结果不含有$y$，所以含$y$的项的系数为0，即$18-3a=0$，
解得$a=6$。
被墨水遮挡的数为$\boldsymbol{6}$。
(2) 将$a=6$代入原式：
$3(4x^2+6xy)-6(x^2+3xy-2)$
$=12x^2+18xy-6x^2-18xy+12$
$=6x^2+12$
所以该题的标准答案为$6x^2+12$。