7. (★)如图28.2 - 36,在高为2m、坡角为$30^{\circ}$的楼梯上铺地毯,估计地毯的长度至少应为【】

A.4m
B.6m
C.$4\sqrt{2}$m
D.$(2 + 2\sqrt{3})$m

D

在直角三角形中，楼梯高为对边2m，坡角30°，则斜边（楼梯斜面）长为2÷sin30°=4m，邻边（水平宽度）长为2÷tan30°=2√3m。地毯长度为高与水平宽度之和，即2 + 2√3 m。

8. (★)拦水坝的横断面如图28.2 - 37所示,迎水坡$AB的坡度是1:\sqrt{3}$,坝高$BC = 10$m,则坡面$AB$的长度是【】

A.15m
B.$20\sqrt{3}$m
C.$10\sqrt{3}$m
D.20m

D

题目给出迎水坡$AB$的坡度为$1:\sqrt{3}$，即表示坝高$BC$与水平距离$AC$的比为$1:\sqrt{3}$。
已知坝高$BC = 10$米，根据坡度比，可以得出水平距离：
$AC = BC × \sqrt{3} = 10\sqrt{3} $米，
利用勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = \sqrt{400} = 20 $米。
因此，坡面$AB$的长度是20米。

9. (★★)如图28.2 - 38,在坡顶$B处的同一水平面上有一座纪念碑CD$垂直于水平面,小明在斜坡底$A处测得该纪念碑顶部D的仰角为45^{\circ}$,然后他沿着坡度$i = 5:12的斜坡AB$攀行了39米到达坡顶,在坡顶$B处又测得该纪念碑顶部的仰角为68^{\circ}$,求纪念碑$CD$的高度。(结果精确到1米。参考数据：$\sin68^{\circ}\approx0.9$,$\cos68^{\circ}\approx0.4$,$\tan68^{\circ}\approx2.5$)

过点B作BF⊥AE于点F，∵斜坡AB的坡度i=5:12，∴设BF=5k，AF=12k，由勾股定理得AB=13k，∵AB=39米，∴13k=39，解得k=3，∴BF=15米，AF=36米。
设BC=m米，CD=y米，∵B、C在同一水平面，∴BF=CC'=15米（C'为C在AE上的投影），则D点高度为15+y米，AD在AE上的投影AC'=AF+FC'=36+m米。
在Rt△AD C'中，∠DAC'=45°，∴tan45°=(15+y)/(36+m)=1，即36+m=15+y①。
在Rt△BCD中，∠DBC=68°，∴tan68°=y/m≈2.5，即y≈2.5m②。
将②代入①：36+m=15+2.5m，解得m=14，∴y≈2.5×14=35。
答：纪念碑CD的高度约为35米。