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1. (★)一坡面的坡角为$60^{\circ}$,则坡度$i= $
$\sqrt{3}:1$
。答案
$\sqrt{3}:1$
解析
坡度$i$是坡面的铅直高度与水平宽度的比，即坡角的正切值。已知坡角为$60^{\circ}$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以坡度$i=\sqrt{3}:1$。
2. (★)如图28.2 - 32,在坡屋顶的设计图中,$AB = AC$,屋顶的宽度$l$为10米,坡角$\alpha为35^{\circ}$,则坡屋顶高度$h$约为
3.5
米。(结果保留小数点后一位。参考数据：$\tan35^{\circ}\approx0.7002$)答案
3.5
解析
设坡屋顶的高度为 $h$，屋顶的宽度 $l = 10$ 米，坡角 $\alpha = 35°$。
由于 $AB = AC$，屋顶呈等腰三角形，故底边 $BC$ 的中点 $D$（即高 $AD$ 垂直于 $BC$ 的点）将 $BC$ 平分，因此 $BD = \frac{l}{2} = 5$ 米。
在直角三角形 $ABD$ 中，$\tan \alpha = \frac{h}{BD}$，即 $\tan 35° = \frac{h}{5}$。
由题中给出的参考数据，$\tan 35° \approx 0.7002$，因此：
$h = 5 × \tan 35° = 5 × 0.7002 = 3.501 \approx 3.5 米$。
由于 $AB = AC$，屋顶呈等腰三角形，故底边 $BC$ 的中点 $D$（即高 $AD$ 垂直于 $BC$ 的点）将 $BC$ 平分，因此 $BD = \frac{l}{2} = 5$ 米。
在直角三角形 $ABD$ 中，$\tan \alpha = \frac{h}{BD}$，即 $\tan 35° = \frac{h}{5}$。
由题中给出的参考数据，$\tan 35° \approx 0.7002$，因此：
$h = 5 × \tan 35° = 5 × 0.7002 = 3.501 \approx 3.5 米$。
3. (★)某河堤横断面如图28.2 - 33,堤高$BC = 5$米,迎水坡$AB的坡度为1:\sqrt{3}$(坡度是坡面的铅直高度$BC与水平宽度AC$之比),则$AC$的长是【
A.$5\sqrt{3}$米
B.10米
C.15米
D.$10\sqrt{3}$米
A
】A.$5\sqrt{3}$米
B.10米
C.15米
D.$10\sqrt{3}$米
答案
A
解析
∵迎水坡AB的坡度为1:$\sqrt{3}$，坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
∵BC=5米，
∴$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得AC=5$\sqrt{3}$米。
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
∵BC=5米，
∴$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得AC=5$\sqrt{3}$米。
4. (★)某防洪大堤的横断面堤高$BC$是5米,迎水坡$AB$的长是13米,那么迎水坡$AB的坡度i$是【
A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$
C
】A.$1:3$
B.$1:2.6$
C.$1:2.4$
D.$1:2$
答案
C
解析
已知堤高$BC = 5$米，迎水坡$AB = 13$米，根据勾股定理，水平距离$AC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（米）。
坡度$i$为垂直高度与水平距离的比值，即$i = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} = 1:2.4$。
坡度$i$为垂直高度与水平距离的比值，即$i = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} = 1:2.4$。
5. (★)如图28.2 - 34,学校校园内有一小山坡,经测量,坡角$\angle ABC = 30^{\circ}$,斜坡$AB$的长为12米。为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡$BD$的坡度(即$CD与BC$的长度之比)是$1:3$,$A$,$D$两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度$AD$。
答案
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=12米。
∵∠ABC=30°，∴AC=AB·sin30°=12×$\frac{1}{2}$=6米，
BC=AB·cos30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$米。
斜坡BD坡度为1:3，即$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$米。
∵A，D在同一铅垂线上，∴AD=AC-CD=6-2$\sqrt{3}$米。
答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2$\sqrt{3}$）米。
∵∠ABC=30°，∴AC=AB·sin30°=12×$\frac{1}{2}$=6米，
BC=AB·cos30°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$米。
斜坡BD坡度为1:3，即$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$米。
∵A，D在同一铅垂线上，∴AD=AC-CD=6-2$\sqrt{3}$米。
答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2$\sqrt{3}$）米。
6. (★★)某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中,发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患。该斜坡横断面示意图如图28.2 - 35所示,水平线$l_{1}// l_{2}$,点$A$,$B分别在l_{1}$,$l_{2}$上,斜坡$AB$的长为18米,过点$B作BC\perp l_{1}于点C$,且线段$AC的长为2\sqrt{6}$米。
(1)求该斜坡的坡高$BC$；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险,该管理部门计划对该斜坡进行改造,改造后的斜坡坡角$\alpha为60^{\circ}$,过点$M作MN\perp l_{1}于点N$,求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米。
(1)求该斜坡的坡高$BC$；(结果用最简根式表示)
(2)为降低落石风险,该管理部门计划对该斜坡进行改造,改造后的斜坡坡角$\alpha为60^{\circ}$,过点$M作MN\perp l_{1}于点N$,求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米。
答案
(1) 设 $ BC = x $ 米，
在 $Rt \bigtriangleup ABC$ 中，$AB = 18$ 米，$AC = 2\sqrt{6}$ 米，
根据勾股定理，有：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
$18^2 = (2\sqrt{6})^2 + x^2$，
$324 = 24 + x^2$，
$x^2 = 300$，
$x = 10\sqrt{3}$，
答：该斜坡的坡高 $ BC $ 为 $ 10\sqrt{3} $ 米。
(2) 由题意知 $ \angle \alpha = 60° $，
在 $Rt \bigtriangleup MNA$ 中，
$MN = BC = 10\sqrt{3}$，
根据三角函数，有：
$\sin 60° = \frac{MN}{AM}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{AM}$，
$AM = 20$，
改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了：
$AM - AB = 20 - 18 = 2$（米），
答：改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了 $ 2 $ 米。
在 $Rt \bigtriangleup ABC$ 中，$AB = 18$ 米，$AC = 2\sqrt{6}$ 米，
根据勾股定理，有：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
$18^2 = (2\sqrt{6})^2 + x^2$，
$324 = 24 + x^2$，
$x^2 = 300$，
$x = 10\sqrt{3}$，
答：该斜坡的坡高 $ BC $ 为 $ 10\sqrt{3} $ 米。
(2) 由题意知 $ \angle \alpha = 60° $，
在 $Rt \bigtriangleup MNA$ 中，
$MN = BC = 10\sqrt{3}$，
根据三角函数，有：
$\sin 60° = \frac{MN}{AM}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{AM}$，
$AM = 20$，
改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了：
$AM - AB = 20 - 18 = 2$（米），
答：改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了 $ 2 $ 米。
