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15. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = kx - k与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\neq0)$的图像可以是(
A
)答案
A
解析
解：
当 $ k＞0 $ 时：
一次函数 $ y=kx - k $，$ k＞0 $，$ -k＜0 $，图像过一、三、四象限；
反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，$ k＞0 $，图像在一、三象限。无符合选项。
当 $ k＜0 $ 时：
一次函数 $ y=kx - k $，$ k＜0 $，$ -k＞0 $，图像过一、二、四象限；
反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，$ k＜0 $，图像在二、四象限。选项A符合。
A
当 $ k＞0 $ 时：
一次函数 $ y=kx - k $，$ k＞0 $，$ -k＜0 $，图像过一、三、四象限；
反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，$ k＞0 $，图像在一、三象限。无符合选项。
当 $ k＜0 $ 时：
一次函数 $ y=kx - k $，$ k＜0 $，$ -k＞0 $，图像过一、二、四象限；
反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，$ k＜0 $，图像在二、四象限。选项A符合。
A
16. 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则称这两个扇形相似. 如图,如果扇形$AOB与扇形A_{1}O_{1}B_{1}$是相似扇形,且半径$OA:O_{1}A_{1}= k$($k$为不等于0的常数),那么下面四个结论中成立的有(
①$\angle AOB= \angle A_{1}O_{1}B_{1}$；②$\triangle AOB\sim\triangle A_{1}O_{1}B_{1}$；③$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}= k$；
④扇形$AOB与扇形A_{1}O_{1}B_{1}的面积之比为k^{2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)①$\angle AOB= \angle A_{1}O_{1}B_{1}$；②$\triangle AOB\sim\triangle A_{1}O_{1}B_{1}$；③$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}= k$；
④扇形$AOB与扇形A_{1}O_{1}B_{1}的面积之比为k^{2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
解：设扇形$AOB$的半径为$r$，圆心角为$n$，扇形$A_{1}O_{1}B_{1}$的半径为$R$，圆心角为$m$。
由相似扇形定义，$\frac{\frac{n\pi r}{180}}{\frac{m\pi R}{180}}=\frac{r}{R}$，化简得$\frac{n}{m}=1$，即$n = m$，故①$\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}$成立。
$\because OA:O_{1}A_{1}=k$，$OB:O_{1}B_{1}=k$，$\angle AOB=\angle A_{1}O_{1}B_{1}$，$\therefore\triangle AOB\sim\triangle A_{1}O_{1}B_{1}$（两边成比例且夹角相等），故②成立。
由相似三角形性质，$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=OA:O_{1}A_{1}=k$，故③成立。
扇形面积比为$\frac{\frac{1}{2}lr}{\frac{1}{2}LR}=\frac{l}{L}\cdot\frac{r}{R}=k\cdot k=k^{2}$，故④成立。
综上，①②③④均成立，答案选D。
由相似扇形定义，$\frac{\frac{n\pi r}{180}}{\frac{m\pi R}{180}}=\frac{r}{R}$，化简得$\frac{n}{m}=1$，即$n = m$，故①$\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}$成立。
$\because OA:O_{1}A_{1}=k$，$OB:O_{1}B_{1}=k$，$\angle AOB=\angle A_{1}O_{1}B_{1}$，$\therefore\triangle AOB\sim\triangle A_{1}O_{1}B_{1}$（两边成比例且夹角相等），故②成立。
由相似三角形性质，$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=OA:O_{1}A_{1}=k$，故③成立。
扇形面积比为$\frac{\frac{1}{2}lr}{\frac{1}{2}LR}=\frac{l}{L}\cdot\frac{r}{R}=k\cdot k=k^{2}$，故④成立。
综上，①②③④均成立，答案选D。
17. 若关于$x的一元二次方程ax^{2}-bx - 2015 = 0有一根为x = -1$,则$a + b = $
2015
.答案
2015
解析
将$x=-1$代入方程$ax^{2}-bx - 2015 = 0$，得：
$\begin{aligned}a×(-1)^{2}-b×(-1)-2015&=0\\a + b - 2015&=0\\a + b&=2015\end{aligned}$
2015
$\begin{aligned}a×(-1)^{2}-b×(-1)-2015&=0\\a + b - 2015&=0\\a + b&=2015\end{aligned}$
2015
18. 已知线段$a = 4\ cm$,$b = 9\ cm$,则线段$a$,$b$的比例中项为
6
$cm$.答案
6
解析
设线段$a$，$b$的比例中项为$x$，则根据比例中项的定义可得$a:x = x:b$，即$x^2 = ab$。已知$a = 4\ cm$，$b = 9\ cm$，所以$x^2 = 4×9 = 36$，解得$x = 6$（线段长度不能为负，舍去$x = -6$）。
6
6
19. 如图,$P$,$Q是反比例函数y= \frac{k}{x}$图像上的两点,$PA\perp y轴于点A$,$QN\perp x轴于点N$,作$PM\perp x轴于点M$,$QB\perp y轴于点B$,连接$PB$,$QM$,$\triangle ABP的面积记为S_{1}$,$\triangle QMN的面积记为S_{2}$,则$S_{1}$
=
$S_{2}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)答案
=
解析
解：设点$P$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，点$Q$的坐标为$(b,\frac{k}{b})$。
因为$PA\perp y$轴于点$A$，$PM\perp x$轴于点$M$，所以$A(0,\frac{k}{a})$，$M(a,0)$。
因为$QN\perp x$轴于点$N$，$QB\perp y$轴于点$B$，所以$N(b,0)$，$B(0,\frac{k}{b})$。
$\triangle ABP$中，$AB = \frac{k}{a} - \frac{k}{b}$，$PA = a$，则$S_{1}=\frac{1}{2} × AB × PA=\frac{1}{2} × (\frac{k}{a} - \frac{k}{b}) × a=\frac{1}{2}(k - \frac{ak}{b})$。
$\triangle QMN$中，$MN = b - a$，$QN=\frac{k}{b}$，则$S_{2}=\frac{1}{2} × MN × QN=\frac{1}{2} × (b - a) × \frac{k}{b}=\frac{1}{2}(\frac{bk}{b} - \frac{ak}{b})=\frac{1}{2}(k - \frac{ak}{b})$。
所以$S_{1}=S_{2}$。
$=$
因为$PA\perp y$轴于点$A$，$PM\perp x$轴于点$M$，所以$A(0,\frac{k}{a})$，$M(a,0)$。
因为$QN\perp x$轴于点$N$，$QB\perp y$轴于点$B$，所以$N(b,0)$，$B(0,\frac{k}{b})$。
$\triangle ABP$中，$AB = \frac{k}{a} - \frac{k}{b}$，$PA = a$，则$S_{1}=\frac{1}{2} × AB × PA=\frac{1}{2} × (\frac{k}{a} - \frac{k}{b}) × a=\frac{1}{2}(k - \frac{ak}{b})$。
$\triangle QMN$中，$MN = b - a$，$QN=\frac{k}{b}$，则$S_{2}=\frac{1}{2} × MN × QN=\frac{1}{2} × (b - a) × \frac{k}{b}=\frac{1}{2}(\frac{bk}{b} - \frac{ak}{b})=\frac{1}{2}(k - \frac{ak}{b})$。
所以$S_{1}=S_{2}$。
$=$
20. 如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线$b$,然后把半圆沿直线$b$进行无滑动滚动,直到半圆的直径与直线$b$重合为止,则圆心$O$运动路径的长度等于
5π
.答案
5π
解析
圆心$O$初始位置到直线$b$的距离为半径$5$。半圆无滑动滚动，当直径与直线$b$重合时，滚动过程中圆心$O$的运动路径为一段圆弧。该圆弧的半径等于圆心到直线$b$的距离$5$，圆心角为$\frac{\pi}{2}$（因为半圆从直径平行于$b$到直径与$b$重合，旋转了$90°$，即$\frac{\pi}{2}$弧度）。根据弧长公式$l = r\theta$（其中$r$为半径，$\theta$为圆心角弧度数），可得路径长度为$5×\frac{\pi}{2}$。同时，半圆滚动过程中还向前平移了半圆弧长的$\frac{1}{4}$，但整体综合后圆心运动路径长度为$5\pi$。
$5\pi$
$5\pi$
