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21. (本小题满分8分)
(1) 解方程：$x^{2}-1 = 2(x + 1)$.
(2) 计算：$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$.
(1) 解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
- **步骤一：对等式左边因式分解**
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^{2}-1$因式分解可得$(x + 1)(x - 1)$，则原方程变为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$。
- **步骤二：移项并提取公因式**
将$2(x + 1)$移到左边得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$，提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$。
- **步骤三：求解方程**
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$。
所以，方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$。
(2) 计算$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$
解：
- **步骤一：分别计算各项的值**
根据特殊三角函数值可知$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}$，因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\gt1$，所以$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}=\vert1 - \tan60^{\circ}\vert=\tan60^{\circ}-1=\sqrt{3}-1$。
- **步骤二：代入计算**
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-(\sqrt{3}-1)\\=&\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1 - 1)\\=&0\end{aligned}$
综上，(1)方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$；(2)原式的结果为$0$。
(1) 解方程：$x^{2}-1 = 2(x + 1)$.
(2) 计算：$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$.
(1) 解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
- **步骤一：对等式左边因式分解**
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^{2}-1$因式分解可得$(x + 1)(x - 1)$，则原方程变为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$。
- **步骤二：移项并提取公因式**
将$2(x + 1)$移到左边得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$，提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$。
- **步骤三：求解方程**
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$。
所以，方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$。
(2) 计算$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$
解：
- **步骤一：分别计算各项的值**
根据特殊三角函数值可知$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}$，因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\gt1$，所以$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}=\vert1 - \tan60^{\circ}\vert=\tan60^{\circ}-1=\sqrt{3}-1$。
- **步骤二：代入计算**
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-(\sqrt{3}-1)\\=&\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1 - 1)\\=&0\end{aligned}$
综上，(1)方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$；(2)原式的结果为$0$。
答案
$(1)$解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
- **步骤一：对等式左边因式分解
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^{2}-1$因式分解可得$(x + 1)(x - 1)$，则原方程变为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$。
- **步骤二：移项并提取公因式
将$2(x + 1)$移到左边得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$，提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$。
- **步骤三：求解方程
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$。
所以，方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$。
$(2)$计算$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$
解：
- **步骤一：分别计算各项的值
根据特殊三角函数值可知$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}$，因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\gt1$，所以$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}=\vert1 - \tan60^{\circ}\vert=\tan60^{\circ}-1=\sqrt{3}-1$。
- **步骤二：代入计算
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-(\sqrt{3}-1)\\=&\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1 - 1)\\=&0\end{aligned}$
综上，$(1)$方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$；$(2)$原式的结果为$0$。
解：
- **步骤一：对等式左边因式分解
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对$x^{2}-1$因式分解可得$(x + 1)(x - 1)$，则原方程变为$(x + 1)(x - 1)=2(x + 1)$。
- **步骤二：移项并提取公因式
将$2(x + 1)$移到左边得$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$，提取公因式$(x + 1)$得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$。
- **步骤三：求解方程
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
当$x + 1 = 0$时，解得$x=-1$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$。
所以，方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$。
$(2)$计算$2\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan60^{\circ})^{2}}$
解：
- **步骤一：分别计算各项的值
根据特殊三角函数值可知$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}$，因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\gt1$，所以$\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^{2}}=\vert1 - \tan60^{\circ}\vert=\tan60^{\circ}-1=\sqrt{3}-1$。
- **步骤二：代入计算
将上述值代入原式可得：
$\begin{aligned}&2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-(\sqrt{3}-1)\\=&\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1\\=&(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1 - 1)\\=&0\end{aligned}$
综上，$(1)$方程的解为$x_1=-1$，$x_2 = 3$；$(2)$原式的结果为$0$。
22. (本小题满分8分)
某厂生产A,B两种产品,其售价随市场变化而作相应调整,营销人员根据前四次售价变化的情况,绘制了如下统计表：
| |第一次|第二次|第三次|第四次|
|A产品售价/(元/件)|6|5.2|6.5|5.9|
|B产品售价/(元/件)|3.5|4|3|3.5|
营销人员求得A产品四次售价的平均数和方差分别如下：
$\overline{x}_{A}= 5.9$元/件,$s^{2}_{A}= 0.215$(元/件)$^{2}$.
(1) B产品第四次的售价比第二次的售价减少了
(2) A产品四次售价的中位数是
(3) 求B产品四次售价的方差,并比较哪种产品的售价波动小.
某厂生产A,B两种产品,其售价随市场变化而作相应调整,营销人员根据前四次售价变化的情况,绘制了如下统计表：
| |第一次|第二次|第三次|第四次|
|A产品售价/(元/件)|6|5.2|6.5|5.9|
|B产品售价/(元/件)|3.5|4|3|3.5|
营销人员求得A产品四次售价的平均数和方差分别如下：
$\overline{x}_{A}= 5.9$元/件,$s^{2}_{A}= 0.215$(元/件)$^{2}$.
(1) B产品第四次的售价比第二次的售价减少了
12.5
$\%$.(2) A产品四次售价的中位数是
5.95元/件
,B产品四次售价的众数是3.5元/件
.(3) 求B产品四次售价的方差,并比较哪种产品的售价波动小.
$\overline{x}_{B}=(3.5+4+3+3.5)÷4=3.5$(元/件),$s^{2}_{B}=\frac{1}{4}×[(3.5-3.5)^{2}+(4-3.5)^{2}+(3-3.5)^{2}+(3.5-3.5)^{2}]=\frac{1}{8}$(元/件)$^{2}$,因为B产品四次售价的方差比A产品的小,所以B产品四次售价的波动小.
答案
(1)12.5
(2)5.95元/件,3.5元/件
(3)$\overline{x}_{B}=(3.5+4+3+3.5)÷4=3.5$(元/件),$s^{2}_{B}=\frac{1}{4}×[(3.5-3.5)^{2}+(4-3.5)^{2}+(3-3.5)^{2}+(3.5-3.5)^{2}]=\frac{1}{8}$(元/件)$^{2}$,因为B产品四次售价的方差比A产品的小,所以B产品四次售价的波动小.
