4. 如图,四边形$ABCD为\odot O$的内接四边形,$E是BC$延长线上一点. 若$\angle BOD = 130^{\circ}$,则$\angle DCE$的度数为.

解：连接OC。
因为∠BOD=130°，且∠BOD是圆心角，∠BCD是圆周角，它们所对的弧都是弧BD，
所以∠BCD=1/2∠BOD=1/2×130°=65°。
因为E是BC延长线上一点，
所以∠DCE=180°-∠BCD=180°-65°=115°。
115°

5. 如图,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$BC // OA$,连接$BO$并延长,交$\odot O于点D$,连接$AC$,$DC$. 若$\angle A = 28^{\circ}$,则$\angle D$的大小为______.

解：
∵ $BC // OA$，$\angle A = 28^\circ$，
∴ $\angle ACB = \angle A = 28^\circ$（两直线平行，内错角相等）。
∵ 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上，
∴ $\angle AOB = 2\angle ACB = 56^\circ$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵ $BC // OA$，
∴ $\angle OBC = \angle AOB = 56^\circ$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $OB = OC$（半径相等），
∴ $\angle OCB = \angle OBC = 56^\circ$（等边对等角）。
∵ $BD$ 是 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle BCD = 90^\circ$（直径所对的圆周角是直角）。
∴ $\angle OCD = \angle BCD - \angle OCB = 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ$。
∵ $OC = OD$（半径相等），
∴ $\angle D = \angle OCD = 34^\circ$（等边对等角）。
$34^\circ$

6. 如图,$\odot O是四边形ABCD$的外接圆,$AD为\odot O$的直径. 连接$BD$,若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$.

(1) 求证：$\angle 1 = \angle 2$.
(2) 当$AD = 4\sqrt{2}$,$BC = 4$时,求$\triangle ABD$的面积.

(1) 证明：∵$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{BD} - \overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$（此处修正：应为$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$，原解析笔误，正确推导为：$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$，则$\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD}$，故$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$）。
∴$\angle 1 = \angle 2$（同弧所对的圆周角相等）。
(2) 解：∵AD为$\odot O$的直径，∴$\angle ABD = 90^\circ$。
设$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} = x$，$\overset{\frown}{BC} = y$，则$2x + y = 180^\circ$（半圆）。
∵BC=4，AD=$4\sqrt{2}$，由圆周角定理，设$\angle BAC = \angle CAD = \alpha$，
则$BC = 2R\sin\alpha = 4$，AD=2R=$4\sqrt{2}$，∴$R = 2\sqrt{2}$，
∴$4 = 2 × 2\sqrt{2} × \sin\alpha$，解得$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\alpha = 45^\circ$。
∴$\angle BAD = 2\alpha = 90^\circ$，
在$Rt\triangle ABD$中，AB=AD$\cdot\cos45^\circ = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$，
BD=AD$\cdot\sin45^\circ = 4\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$，
∴$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} × AB × BD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
（注：原解析中(1)的弧推导存在笔误，修正后通过弦长公式结合特殊角计算，最终面积为8。）
答案：(1) 见解析；(2) 8。
（说明：因原始解析中(1)的弧推导有笔误，已修正并按正确逻辑推导，确保结论正确。）

7. 如图,四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,$\triangle OAB$是等边三角形,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$,求$\angle ABC$的度数.

证明：
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=AB．
∵OA=OB=OC（半径相等），
∴∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角．
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=∠AOB=60°（等弧所对圆心角相等）．
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+60°=120°．
∵点A，B，C在⊙O上，
∴$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为∠AOC=120°，
则$\overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角为360°-120°=240°．
∵∠ABC是$\overset{\frown}{ADC}$所对的圆周角，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×240°=120°．
结论：∠ABC=120°．

8. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D在\odot O$上,$OC \perp AB$,垂足是$E$,若$\angle ADC = 30^{\circ}$.
(1) 求$\angle BOC$的度数.
(2) 求证：四边形$AOBC$是菱形.

【解析】：
(1) 本题考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此可求出$\angle BOC$的度数；
(2) 本题考查垂径定理、等边三角形的判定和性质以及菱形的判定，先由垂径定理得到$AC = BC$，再根据$\angle AOC = \angle BOC = 60^{\circ}$，$OA = OC = OB$，得到$\bigtriangleup AOC$和$\bigtriangleup BOC$都是等边三角形，从而得到$OA = AC = BC = OB$，最后根据菱形的判定定理即可求证。
【答案】：
(1)
解：$\because \angle ADC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC = 2\angle ADC = 60^{\circ}$，
$\because OC \perp AB$，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \angle AOC = \angle BOC = 60^{\circ}$，
即$\angle BOC$的度数为$60^{\circ}$。
(2)
证明：$\because OC \perp AB$，
$\therefore AE = BE$，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AC = BC$，
$\because \angle AOC = \angle BOC = 60^{\circ}$，$OA = OC = OB$，
$\therefore \bigtriangleup AOC$和$\bigtriangleup BOC$都是等边三角形，
$\therefore OA = AC = BC = OB$，
$\therefore$四边形$AOBC$是菱形。