【例题2】如图①,$AB是\odot O$的一条弦,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点,$CD是\odot O$的直径,过点$C的直线l交AB所在直线于点E$,交$\odot O于点F$.

(1) 试判定图中$\angle CEB与\angle FDC$的数量关系,直接写出结论.
(2) 将直线$l绕点C$旋转(点$F与点C$,$D$不重合),在旋转过程中,点$E$,$F$的位置也随之变化,如图②、图③所示. (1)中的结论仍然成立吗？选择其中一个图形给予说明.

思路导引 直线$l与AB的交点E$的位置可以分为三类：(1) 点$E在AB$上；(2) 点$E在BA$的延长线上；(3) 点$E在AB$的延长线上. 故要进行分类讨论,由同角的余角相等,得直线$l$在旋转过程中,始终保持着$\angle CEB = \angle FDC$这一不变的结论.
解：(1) $\angle CEB = \angle FDC$.
(2) 以此题图②为例给予说明. $\because CD是\odot O$的直径,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore CD \perp AB$. $\therefore \angle CEB + \angle ECD = 90^{\circ}$. $\because CD是\odot O$的直径,$\therefore \angle CFD = 90^{\circ}$. $\therefore \angle FDC + \angle ECD = 90^{\circ}$. $\therefore \angle CEB = \angle FDC$.

1. 如图,$AB为\odot O$的直径. 若$\angle BED = 20^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数为().
A.$70^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$85^{\circ}$

解：连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠BED=20°，∠BED=∠BCD，
∴∠BCD=20°。
∵∠ACD=∠ACB - ∠BCD，
∴∠ACD=90° - 20°=70°。
答案：A

2. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D$都在$\odot O$的圆周上,$AB // OC$,$OA // BC$,则$\angle BDC$的度数为().

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

证明：连接OB。
∵AB//OC，OA//BC，
∴四边形OABC是平行四边形。
∵OA=OC，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OA=AB。
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=1/2∠AOB=30°。
∵∠BDC=∠ACB，
∴∠BDC=30°。
C

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的两点. 若$\angle D = 130^{\circ}$,则$\angle BAC$的度数为______.

解：连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=130°，
∴∠B=180°-∠D=50°。
∴∠BAC=90°-∠B=40°。
40°

4. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C$,$D是\odot O$上的两点,且$AC = CD$. 求证：$OC // BD$.

【解析】：根据题意，这道题考查的是圆的性质以及平行线的判定。
首先，根据圆的性质，我们知道如果一条弦所对的两条弧相等，那么这条弦所对的圆心角也相等。
由题意知，$AC = CD$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD},$
根据圆心角、弧、弦的关系定理可得：$\angle AOC=\angle COD,$
因为$\angle AOC$和$\angle COD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，$\angle ABD$和$\angle CBD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
根据圆周角定理可得：$\angle AOC=\angle ABD,$$\angle COD=\angle CBD,$
所以$\angle ABD=\angle CBD,$
根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，可知$AB\perp CD,$
再根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},$
所以$\angle OCB=\angle CDB,$
而$\angle CDB+\angle CBD=90^{\circ},$
所以$\angle OCB+\angle CBD=90^{\circ},$
所以$OC\perp BD,$
最后，根据平行线的判定定理，如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线平行。
所以$OC// BD$。
【答案】：证明：
连接$BC$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ},$
$\because AC=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD},$
$\therefore \angle ABC=\angle CBD,$
$\because \angle OCB=\angle ABC,$
$\therefore \angle OCB=\angle CBD,$
$\therefore OC// BD$。

1. 如图,若$\odot O的直径CB长为1 cm$,$\angle ABD = 30^{\circ}$,则弦$DA$的长为().

A.$1 cm$
B.$\sqrt{2} cm$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2} cm$
D.$0.5 cm$

解：连接AC。
∵CB是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°。
∵∠ABD=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°（同弧所对的圆周角相等）。
∵CB=1cm，
∴AB=CB·cos∠ABC，AC=CB·sin∠ABC。
又∵∠ABC=∠ABD=30°，
∴AC=1×sin30°=0.5cm。
∵∠ABD=∠ACD=30°，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACD，
∴AD/AC=AB/AD，
∴AD²=AB·AC。
∵AB=1×cos30°=√3/2 cm，AC=0.5cm，
∴AD²=（√3/2）×0.5=√3/4，
∴AD=√（√3/4）（此步骤错误，正确应为：连接AD，因为∠ABD=30°，直径CB=1，所以半径OB=0.5，过A作AE⊥BD于E，设AD=x，利用三角函数求解较复杂，正确简便方法：连接AD，∠ADB=∠ACB（同弧所对圆周角），∠ACB=30°，所以∠ADB=30°，在△ABD中，由正弦定理AD/sin∠ABD=AB/sin∠ADB，AB=√3/2，∠ABD=30°，∠ADB=30°，所以AD=AB=√3/2 cm。）
正确解法：连接AD，∵CB是直径，∴∠CAB=90°，∠ABC=30°，∴AC=1/2，AB=√3/2。∵∠ABD=∠ACD=30°，∠ADC=∠ABC=30°，∴∠ADC=∠ABD，∴AD=AB=√3/2 cm。
答案：C。

2. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆. 若$\angle ABO = 50^{\circ}$,则$\angle ACB$的度数为().

A.$40^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

解：连接OA。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=50°。
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-50°-50°=80°。
∵∠ACB是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
答案：A

3. 如图(见下页),$\triangle ABC内接于\odot O$. 若$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC = 4$,$BD为\odot O$的直径,则$BD = $______.

解：连接CD。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-120°)/2=30°。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠D=∠BAC=120°（同弧所对的圆周角相等），
∴在Rt△BCD中，∠DBC=180°-∠BCD-∠D=180°-90°-120°= -30°（此处错误，应为∠D=∠ACB=30°，同弧AB所对的圆周角）
修正：
∵∠D与∠ACB所对的弧均为AB，
∴∠D=∠ACB=30°。
在Rt△BCD中，∠D=30°，BC为∠D的对边，BD为斜边。
在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，由余弦定理得：
BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC=4²+4²-2×4×4×cos120°=16+16-32×(-1/2)=32+16=48，
∴BC=√48=4√3。
在Rt△BCD中，sin∠D=BC/BD，即sin30°=4√3/BD，
∴BD=4√3/sin30°=4√3/(1/2)=8√3。
8√3