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1. 已知⊙0的半径为4cm,A为线段0P的中点,当0P= 7cm时,点A与⊙0的位置关系是(
A.点A在⊙0内
B.点A在⊙0上
C.点A在⊙0外
D.不能确定
A
).A.点A在⊙0内
B.点A在⊙0上
C.点A在⊙0外
D.不能确定
答案
解：∵A为线段OP的中点，OP=7cm，
∴OA=OP/2=7/2=3.5cm。
∵⊙O的半径为4cm，3.5cm＜4cm，
∴点A在⊙O内。
答案：A
∴OA=OP/2=7/2=3.5cm。
∵⊙O的半径为4cm，3.5cm＜4cm，
∴点A在⊙O内。
答案：A
2.在△ABC中,∠C= 90°,AC= 2cm,BC=
4cm,CM是中线,以点C为圆心, $\sqrt{5}$cm
长为半径画圆,则A,B,C,M四点中在
圆外的点是点______
______
4cm,CM是中线,以点C为圆心, $\sqrt{5}$cm
长为半径画圆,则A,B,C,M四点中在
圆外的点是点______
B
,在圆上的点是点______
M
,在圆内的点是点______A、C
.答案
【解析】：
本题主要考察点和圆的位置关系。具体地，需要比较点到圆心的距离（即半径）与给定圆的半径之间的大小关系。
点到圆心的距离公式为：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，但在直角三角形中，我们可以直接利用勾股定理或题目给出的边长信息来计算。
在$\triangle ABC$中，已知$\angle C = 90^\circ$，$AC = 2cm$，$BC = 4cm$。
利用勾股定理计算AB的长度：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}cm$，
由于$CM$是$AB$的中线，根据中线的性质，有：
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5}cm$，
现在，比较各点到圆心C的距离与圆的半径$\sqrt{5}cm$：
点C到圆心C的距离为0，小于$\sqrt{5}cm$，所以点C在圆内。
点M到圆心C的距离为$\sqrt{5}cm$，等于圆的半径，所以点M在圆上。
点A到圆心C的距离为$AC = 2cm$，小于$\sqrt{5}cm$，所以点A在圆内。
点B到圆心C的距离为$BC = 4cm$，大于$\sqrt{5}cm$，所以点B在圆外。
【答案】：
B；M；A、C。
本题主要考察点和圆的位置关系。具体地，需要比较点到圆心的距离（即半径）与给定圆的半径之间的大小关系。
点到圆心的距离公式为：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，但在直角三角形中，我们可以直接利用勾股定理或题目给出的边长信息来计算。
在$\triangle ABC$中，已知$\angle C = 90^\circ$，$AC = 2cm$，$BC = 4cm$。
利用勾股定理计算AB的长度：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}cm$，
由于$CM$是$AB$的中线，根据中线的性质，有：
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5}cm$，
现在，比较各点到圆心C的距离与圆的半径$\sqrt{5}cm$：
点C到圆心C的距离为0，小于$\sqrt{5}cm$，所以点C在圆内。
点M到圆心C的距离为$\sqrt{5}cm$，等于圆的半径，所以点M在圆上。
点A到圆心C的距离为$AC = 2cm$，小于$\sqrt{5}cm$，所以点A在圆内。
点B到圆心C的距离为$BC = 4cm$，大于$\sqrt{5}cm$，所以点B在圆外。
【答案】：
B；M；A、C。
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0, 3),B(2,1),C(2, -3),则由作图过程可知,△ABC的外接圆的圆心坐标是
（-2，-1）
.答案
解：设△ABC外接圆的圆心坐标为（x，y）。
因为圆心到三角形三个顶点的距离相等，所以有：
$\begin{cases}\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \\\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\end{cases}$
化简第一个方程：
$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$
$x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
$-6y + 9 = -4x + 5 - 2y$
$4x - 4y + 4 = 0$
$x - y + 1 = 0 \quad (1)$
化简第二个方程：
$(y - 1)^2 = (y + 3)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 6y + 9$
$-8y - 8 = 0$
$y = -1$
将y = -1代入方程(1)：x - (-1) + 1 = 0，解得x = -2。
所以，△ABC外接圆的圆心坐标是（-2，-1）。
答案：（-2，-1）
因为圆心到三角形三个顶点的距离相等，所以有：
$\begin{cases}\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \\\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\end{cases}$
化简第一个方程：
$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$
$x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
$-6y + 9 = -4x + 5 - 2y$
$4x - 4y + 4 = 0$
$x - y + 1 = 0 \quad (1)$
化简第二个方程：
$(y - 1)^2 = (y + 3)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 6y + 9$
$-8y - 8 = 0$
$y = -1$
将y = -1代入方程(1)：x - (-1) + 1 = 0，解得x = -2。
所以，△ABC外接圆的圆心坐标是（-2，-1）。
答案：（-2，-1）
4.如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,
BC= 4,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A在⊙C外？
(2)当r取什么值时,点A在⊙C内,点B
在⊙C外？
BC= 4,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A在⊙C外？
(2)当r取什么值时,点A在⊙C内,点B
在⊙C外？
答案
【解析】：本题主要考查点与圆的位置关系，可根据点与圆的位置关系的判定方法来求解半径$r$的取值范围。
点与圆的位置关系有三种：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则有：
当$d\gt r$时，点在圆外；
当$d = r$时，点在圆上；
当$d\lt r$时，点在圆内。
在本题中，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}=AC = 3$，点$B$到圆心$C$的距离$d_{B}=BC = 4$。
（1）要使点$A$在$\odot C$外，根据上述点与圆的位置关系可知，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}$应大于圆的半径$r$，即$r\lt AC$，已知$AC = 3$，所以$r\lt 3$。
又因为半径$r\gt0$，所以$0\lt r\lt 3$。
（2）要使点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外，根据点与圆的位置关系可知，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}$应小于圆的半径$r$，点$B$到圆心$C$的距离$d_{B}$应大于圆的半径$r$，即$AC\lt r\lt BC$，已知$AC = 3$，$BC = 4$，所以$3\lt r\lt 4$。
【答案】：
(1)$0\lt r\lt 3$；
(2)$3\lt r\lt 4$。
点与圆的位置关系有三种：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则有：
当$d\gt r$时，点在圆外；
当$d = r$时，点在圆上；
当$d\lt r$时，点在圆内。
在本题中，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}=AC = 3$，点$B$到圆心$C$的距离$d_{B}=BC = 4$。
（1）要使点$A$在$\odot C$外，根据上述点与圆的位置关系可知，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}$应大于圆的半径$r$，即$r\lt AC$，已知$AC = 3$，所以$r\lt 3$。
又因为半径$r\gt0$，所以$0\lt r\lt 3$。
（2）要使点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外，根据点与圆的位置关系可知，点$A$到圆心$C$的距离$d_{A}$应小于圆的半径$r$，点$B$到圆心$C$的距离$d_{B}$应大于圆的半径$r$，即$AC\lt r\lt BC$，已知$AC = 3$，$BC = 4$，所以$3\lt r\lt 4$。
【答案】：
(1)$0\lt r\lt 3$；
(2)$3\lt r\lt 4$。
1.平面内有两点P,0,⊙0的半径为1.若 PO= $\sqrt{2}$,则点P与⊙O的位置关系 是(
A.点P在⊙0外
B.点P在⊙0上
C.点P在⊙0内
D.无法判断
A
).A.点P在⊙0外
B.点P在⊙0上
C.点P在⊙0内
D.无法判断
答案
【解析】：
题目考查了点和圆的位置关系。在平面内，点和圆的位置关系可以通过比较点到圆心的距离$PO$与圆的半径来确定。
已知圆的半径为1，点$P$到圆心$O$的距离为$PO = \sqrt{2}$。
比较$PO$与圆的半径：
由于$\sqrt{2} ＞ 1$，即点$P$到圆心$O$的距离大于圆的半径。
根据点和圆的位置关系，当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外。
【答案】：
A. 点$P$在⊙$O$外。
题目考查了点和圆的位置关系。在平面内，点和圆的位置关系可以通过比较点到圆心的距离$PO$与圆的半径来确定。
已知圆的半径为1，点$P$到圆心$O$的距离为$PO = \sqrt{2}$。
比较$PO$与圆的半径：
由于$\sqrt{2} ＞ 1$，即点$P$到圆心$O$的距离大于圆的半径。
根据点和圆的位置关系，当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外。
【答案】：
A. 点$P$在⊙$O$外。
2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为(
A.16cm或6cm
B.3cm或8cm
C.3cm
D.8cm
B
).A.16cm或6cm
B.3cm或8cm
C.3cm
D.8cm
答案
解：当点在圆外时，直径为11-5=6cm，半径为3cm；
当点在圆内时，直径为11+5=16cm，半径为8cm。
答案：B
当点在圆内时，直径为11+5=16cm，半径为8cm。
答案：B
3. 已知⊙O是△ABC的外接圆,若∠BOC=100°,则∠BAC=
50°或130°
.答案
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°
∴当点A在优弧BC上时，∠BAC=1/2∠BOC=50°；
当点A在劣弧BC上时，∠BAC=180°-50°=130°
∴∠BAC=50°或130°
∴当点A在优弧BC上时，∠BAC=1/2∠BOC=50°；
当点A在劣弧BC上时，∠BAC=180°-50°=130°
∴∠BAC=50°或130°
4.如图,点A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,每个小正方形大小一样.过A,B,C三个点的外接圆除经过A,B,C三个点外,还能经过的格点的个数为
4
.答案
解：以格点建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，设A(1,3)，B(2,4)，C(5,3)。
设过A、B、C三点的圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，将A、B、C三点坐标代入得：
$\begin{cases}1 + 9 + D + 3E + F = 0 \\ 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \\ 25 + 9 + 5D + 3E + F = 0\end{cases}$
解得$D = -6$，$E = -2$，$F = 5$，圆的方程为$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0$，化为标准方程$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$，圆心(3,1)，半径$\sqrt{5}$。
在6×6网格中，格点坐标(x,y)满足1≤x≤6，1≤y≤6，且x,y为整数。设格点(x,y)在圆上，则$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$。
整数解有：
$\begin{cases}x - 3 = 1 \\ y - 1 = 2\end{cases}$得(4,3)；
$\begin{cases}x - 3 = 1 \\ y - 1 = -2\end{cases}$（y=-1舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = -1 \\ y - 1 = 2\end{cases}$得(2,3)；
$\begin{cases}x - 3 = -1 \\ y - 1 = -2\end{cases}$（y=-1舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = 2 \\ y - 1 = 1\end{cases}$得(5,2)；
$\begin{cases}x - 3 = 2 \\ y - 1 = -1\end{cases}$（y=0舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = -2 \\ y - 1 = 1\end{cases}$得(1,2)；
$\begin{cases}x - 3 = -2 \\ y - 1 = -1\end{cases}$（y=0舍去）。
除A、B、C外，还有(2,3)、(4,3)、(1,2)、(5,2)共4个格点。
答案：4
设过A、B、C三点的圆的一般方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，将A、B、C三点坐标代入得：
$\begin{cases}1 + 9 + D + 3E + F = 0 \\ 4 + 16 + 2D + 4E + F = 0 \\ 25 + 9 + 5D + 3E + F = 0\end{cases}$
解得$D = -6$，$E = -2$，$F = 5$，圆的方程为$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 5 = 0$，化为标准方程$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$，圆心(3,1)，半径$\sqrt{5}$。
在6×6网格中，格点坐标(x,y)满足1≤x≤6，1≤y≤6，且x,y为整数。设格点(x,y)在圆上，则$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$。
整数解有：
$\begin{cases}x - 3 = 1 \\ y - 1 = 2\end{cases}$得(4,3)；
$\begin{cases}x - 3 = 1 \\ y - 1 = -2\end{cases}$（y=-1舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = -1 \\ y - 1 = 2\end{cases}$得(2,3)；
$\begin{cases}x - 3 = -1 \\ y - 1 = -2\end{cases}$（y=-1舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = 2 \\ y - 1 = 1\end{cases}$得(5,2)；
$\begin{cases}x - 3 = 2 \\ y - 1 = -1\end{cases}$（y=0舍去）；
$\begin{cases}x - 3 = -2 \\ y - 1 = 1\end{cases}$得(1,2)；
$\begin{cases}x - 3 = -2 \\ y - 1 = -1\end{cases}$（y=0舍去）。
除A、B、C外，还有(2,3)、(4,3)、(1,2)、(5,2)共4个格点。
答案：4
5. 已知线段MN= 6cm,P是MN的中点,分别以点M,N为圆心,r1,r2为半径画圆.若点P在⊙M内,又在⊙N外,则r的取值范围是
r₁＞3cm
,r2的取值范围是r₂＜3cm
.答案
解：∵MN=6cm，P是MN的中点，
∴PM=PN=3cm。
∵点P在⊙M内，
∴r₁＞PM=3cm。
∵点P在⊙N外，
∴r₂＜PN=3cm。
r₁的取值范围是r₁＞3cm，r₂的取值范围是r₂＜3cm。
∴PM=PN=3cm。
∵点P在⊙M内，
∴r₁＞PM=3cm。
∵点P在⊙N外，
∴r₂＜PN=3cm。
r₁的取值范围是r₁＞3cm，r₂的取值范围是r₂＜3cm。
6.如图(见下页),要把残破的轮片复制完
整,已知弧上的三点A,B,C.
(1)用尺规作图法找出BAC所在圆的圆心
(保留作图痕迹,不写作法).
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=
8cm,腰AB= 5cm,求圆片的半径R.
整,已知弧上的三点A,B,C.
(1)用尺规作图法找出BAC所在圆的圆心
(保留作图痕迹,不写作法).
(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=
8cm,腰AB= 5cm,求圆片的半径R.
答案
【解析】：
（1）如图所示
（2）本题考查了垂径定理和勾股定理的应用。
在$\bigtriangleup ABC$中，由于它是等腰三角形，并且底边$BC=8cm$，腰$AB=5cm$。
根据等腰三角形的性质，底边上的高（也即中线、角平分线和垂直平分线）将底边平分。
设底边$BC$的中点为$D$，则$BD = \frac{BC}{2} = 4cm$。
由于$AB=5cm$，利用勾股定理，可以求出底边上的高$AD$：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3cm$，
设圆的半径为$R$，圆心为$O$，由于$O$在$AD$上，设$OD = x$，则$OA = R$，且$OD = R - 3$（因为$AD=3cm$）。
在直角三角形$OBD$中，利用勾股定理，有：
$OB^2 = BD^2 + OD^2$，
即：
$R^2 = 4^2 + (R - 3)^2$，
展开并整理得：
$R^2 = 16 + R^2 - 6R + 9$，
$6R = 25$，
$R = \frac{25}{6}cm$。
