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【例1】(2026长春月考)如图,为了测量旗杆BC的高度,在距离旗杆底部11 m的A处,用高1.50 m的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=49°.求旗杆BC的高(结果精确到0.1 m.参考数据:$\sin 49° \approx 0.75,\cos 49° \approx 0.66,\tan 49° \approx 1.15$).
答案
解:如图,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,
则∠DEB=∠DEC=∠B=∠A=90°,
∴四边形 ABED 是矩形,
∴DE=AB=11 m.
在 Rt△CDE 中,CE=DE·tan 49°≈11×1.15≈12.7(m),
故 BC=BE+CE≈1.5+12.7=14.2(m).
答:旗杆 BC 的高约为 14.2 m.
解析
【分析】
要计算旗杆BC的高度，可将BC拆分为BE和CE两段求解：首先过D作DE⊥BC，可得到矩形ABED和Rt△CDE；利用矩形的性质可知BE等于测角仪高度AD，DE等于A到旗杆底部的距离AB；再在Rt△CDE中，已知仰角α和邻边DE的长度，选择正切三角函数即可求出CE的长度，最后将两段长度相加即为旗杆总高度。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E，
则∠DEB=∠DEC=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=11 m，BE=AD=1.5m。
在Rt△CDE中，∠CDE=α=49°，
∴CE=DE·tan49°≈11×1.15≈12.7(m)，
∴BC=BE+CE≈1.5+12.7=14.2(m)。
【答案】
旗杆BC的高约为14.2 m。
【知识点】
仰角问题，解直角三角形，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际测量问题转化为几何计算问题，需要熟练掌握锐角三角函数的应用场景。
【难度系数】
0.7
要计算旗杆BC的高度，可将BC拆分为BE和CE两段求解：首先过D作DE⊥BC，可得到矩形ABED和Rt△CDE；利用矩形的性质可知BE等于测角仪高度AD，DE等于A到旗杆底部的距离AB；再在Rt△CDE中，已知仰角α和邻边DE的长度，选择正切三角函数即可求出CE的长度，最后将两段长度相加即为旗杆总高度。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E，
则∠DEB=∠DEC=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=11 m，BE=AD=1.5m。
在Rt△CDE中，∠CDE=α=49°，
∴CE=DE·tan49°≈11×1.15≈12.7(m)，
∴BC=BE+CE≈1.5+12.7=14.2(m)。
【答案】
旗杆BC的高约为14.2 m。
【知识点】
仰角问题，解直角三角形，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的基础题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际测量问题转化为几何计算问题，需要熟练掌握锐角三角函数的应用场景。
【难度系数】
0.7
【变式】某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为$10°$，已知两楼的间距CE为50 m，教学楼高BC为16 m(图中所有点均在同一平面内)，求实验楼的高度AE(结果保留整数，参考数据：$\sin 10° \approx 0.17$，$\cos 10° \approx 0.98$，$\tan 10° \approx 0.18$)。
答案
解:根据题意得,四边形 BCED 是矩形,
∴BD=CE=50 m,DE=BC=16 m.
∵∠ABD=10°,
∴AD=BD·tan 10°=50×tan 10°≈9(m),
∴AE=DE+AD≈16+9=25(m).
答:实验楼的高度 AE 约为 25 m.
∴BD=CE=50 m,DE=BC=16 m.
∵∠ABD=10°,
∴AD=BD·tan 10°=50×tan 10°≈9(m),
∴AE=DE+AD≈16+9=25(m).
答:实验楼的高度 AE 约为 25 m.
解析
【分析】
本题是仰角相关的实际应用问题，解题思路如下：首先将实际问题转化为几何图形问题，观察图形可知，实验楼高度AE可分为AD、DE两段，其中DE与教学楼高度BC相等，因此只需计算AD的长度即可。过B作的水平线段BD与两楼间距CE相等，由此可得到直角三角形ABD的一条直角边BD的长度，再结合仰角10°，选择合适的锐角三角函数即可求出AD的长度，最后将AD与DE相加就能得到实验楼的总高度。
【解析】
解：根据题意得，四边形BCED是矩形，
∴BD=CE=50 m，DE=BC=16 m。
在Rt△ABD中，∠ABD=10°，
∴$AD = BD·\tan10° ≈ 50×0.18 = 9$（m），
∴$AE = DE + AD ≈ 16 + 9 = 25$（m）。
【答案】
实验楼的高度AE约为25 m。
【知识点】
仰角俯角应用，矩形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题的关键是将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中边角的对应关系，通过构造直角三角形结合三角函数求解，贴近生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是仰角相关的实际应用问题，解题思路如下：首先将实际问题转化为几何图形问题，观察图形可知，实验楼高度AE可分为AD、DE两段，其中DE与教学楼高度BC相等，因此只需计算AD的长度即可。过B作的水平线段BD与两楼间距CE相等，由此可得到直角三角形ABD的一条直角边BD的长度，再结合仰角10°，选择合适的锐角三角函数即可求出AD的长度，最后将AD与DE相加就能得到实验楼的总高度。
【解析】
解：根据题意得，四边形BCED是矩形，
∴BD=CE=50 m，DE=BC=16 m。
在Rt△ABD中，∠ABD=10°，
∴$AD = BD·\tan10° ≈ 50×0.18 = 9$（m），
∴$AE = DE + AD ≈ 16 + 9 = 25$（m）。
【答案】
实验楼的高度AE约为25 m。
【知识点】
仰角俯角应用，矩形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题的关键是将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中边角的对应关系，通过构造直角三角形结合三角函数求解，贴近生活实际，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
【例2】(2026 襄阳期末)如图,小聪在 B 处操作无人机,无人机于空中 A 处探测到目标 C,此时飞行高度 AC=100 m,从无人机上观测地平面 B 处的俯角 α=23.6°.求此时无人机与小聪的距离 AB(参考数据:$\sin 23.6° \approx 0.4$).
答案
解:如图,
∵AD//BC,
∴∠B=α=23.6°,
在 Rt△ABC 中,
∵sin B=$\frac{AC}{AB}$,
∴AB=$\frac{AC}{\sin B}$≈$\frac{100}{0.4}$=250(m).
∴此时无人机与小聪的距离 AB 约为 250 m.
解析
【分析】
首先根据平行线的性质，将无人机观测B处的俯角α转化为直角三角形ABC的内角∠B，得到∠B=23.6°；再观察Rt△ABC的边角关系：已知∠B的对边AC的长度，待求边AB是Rt△ABC的斜边，因此选择正弦函数的定义列式，代入已知数据即可计算出AB的长度。
【解析】
解：由题意得水平直线AD//BC，
∴∠B=α=23.6°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=100 m，
根据三角函数定义：$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
变形可得$AB=\frac{AC}{\sin B}$，
代入参考数据计算得：$AB\approx\frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$。
【答案】
此时无人机与小聪的距离AB约为250 m。
【知识点】
俯角的定义、解直角三角形、平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合边角关系选择合适的三角函数求解，贴近生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先根据平行线的性质，将无人机观测B处的俯角α转化为直角三角形ABC的内角∠B，得到∠B=23.6°；再观察Rt△ABC的边角关系：已知∠B的对边AC的长度，待求边AB是Rt△ABC的斜边，因此选择正弦函数的定义列式，代入已知数据即可计算出AB的长度。
【解析】
解：由题意得水平直线AD//BC，
∴∠B=α=23.6°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=100 m，
根据三角函数定义：$\sin B=\frac{AC}{AB}$，
变形可得$AB=\frac{AC}{\sin B}$，
代入参考数据计算得：$AB\approx\frac{100}{0.4}=250(\mathrm{m})$。
【答案】
此时无人机与小聪的距离AB约为250 m。
【知识点】
俯角的定义、解直角三角形、平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际场景中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合边角关系选择合适的三角函数求解，贴近生活实际，能锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
