【变式】(2025广安)随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为$30°$，A，C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为$36.9°$.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m，点O，A，B，C在同一平面内.参考数据：$\sin 36.9° \approx 0.60$，$\cos 36.9° \approx 0.80$，$\tan 36.9° \approx 0.75$，$\sqrt{3} \approx 1.73$).

解:根据题意得,∠AOC=90°,∠ACO=30°,∠BCO=36.9°,AC=24 m,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=12 m,OC=$\sqrt{AC^2-AO^2}$=$\sqrt{24^2-12^2}$=$12\sqrt{3}$(m),
在 Rt△BOC 中,∠BCO=36.9°,
∴BO=CO·tan∠BCO=CO·tan 36.9°≈$12\sqrt{3}×0.75$=$9\sqrt{3}$(m),
∴AB=BO-AO=$9\sqrt{3}-12$≈9×1.73-12=3.57≈3.6(m).
答:无人机从 A 点到 B 点的上升高度 AB 约为 3.6 m.

【分析】
解题时先结合俯角的定义，将题目中的俯角转化为直角三角形的内角：由题意可知△AOC和△BOC均为直角三角形，且共享水平边OC。第一步先在Rt△AOC中，利用30°直角三角形的性质求出AO的长度，再用勾股定理求出公共边OC的长度；第二步在Rt△BOC中，利用36.9°的正切值求出BO的长度；最后用BO减去AO即可得到上升高度AB。
【解析】
根据题意得，$∠ AOC=90°$，$∠ ACO=30°$，$∠ BCO=36.9°$，$AC=24\ \mathrm{m}$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AC=12\ \mathrm{m}$，$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{24^2-12^2}=12\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BCO=36.9°$，
$\therefore BO=CO·\tan∠ BCO=CO·\tan36.9°\approx12\sqrt{3}×0.75=9\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore AB=BO-AO=9\sqrt{3}-12\approx9×1.73-12=3.57\approx3.6(\mathrm{m})$。
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m。
【答案】
$\boxed{3.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
俯角的应用、直角三角形的性质、锐角三角函数计算
【点评】
本题结合无人机应用的实际场景考查解直角三角形的相关计算，解题关键是利用两个直角三角形的公共边OC建立联系，将已知条件转化到直角三角形中求解，属于基础的实际应用类题型，计算时要注意参考数据的正确使用。
【难度系数】
0.7

1. 如图,塔底B与观测点A在同一水平线上.为了测量铁塔的高度,在A处测得塔顶C的仰角为α,塔底B与观测点A的距离AB=80 m,则铁塔的高BC为 ()

A.80sin α m
B.$\frac{80}{\tan α}$ m
C.80tan α m
D.$\frac{80}{\sin α}$ m

1. C

【分析】
首先根据题意判断△ABC为直角三角形，∠B=90°，已知水平距离AB是∠α的邻边，长度为80m，要求的铁塔高BC是∠α的对边。已知直角三角形的一个锐角和邻边，求对边，可选用正切函数求解，结合正切的定义列式变形即可得到BC的长度。
【解析】
由题意得：BC⊥AB，即△ABC是直角三角形，∠B=90°，∠BAC=α，AB=80m。
在Rt△ABC中，根据正切函数的定义：$\tanα = \frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{∠α的邻边}} = \frac{BC}{AB}$，
变形可得$BC = AB · \tanα$，
将AB=80m代入，得$BC = 80\tanα \mathrm{ m}$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正切函数的定义
【点评】
本题是仰角问题的基础题型，核心是结合仰角构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义建立边长关系求解，熟练掌握三角函数的对应边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图,某梯子长10 m,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A处,底端落在水平地面的点B处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知$\sinα=\cosβ=\frac{3}{5}$,则梯子的顶端上升了（）

A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m

2. C

【分析】
解题时首先抓住梯子长度始终为10m这个不变量，分别计算两次梯子顶端的高度，再作差得到上升高度即可。第一步：根据锐角正弦的定义，用梯子长度乘sinα算出初始状态下顶端的高度；第二步：根据同角三角函数的平方关系，由cosβ的值算出sinβ的值，再乘梯子长度得到调整后顶端的高度；第三步：用调整后的高度减去初始高度，就是顶端上升的距离。
【解析】
已知梯子长度恒为10m：
1. 当梯子与地面夹角为α时，顶端高度$h_1 = 10×\sinα$，代入$\sinα=\frac{3}{5}$，得$h_1=10×\frac{3}{5}=6\ \mathrm{m}$。
2. 当梯子与地面夹角为β时，β为锐角故$\sinβ＞0$，根据$\sin^2β+\cos^2β=1$，可得$\sinβ=\sqrt{1-\cos^2β}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$，此时顶端高度$h_2=10×\sinβ=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{m}$。
3. 顶端上升的高度为$h_2-h_1=8-6=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，同角三角函数关系，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合三角函数的相关性质计算高度差，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

3.如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为$30°$,看这栋楼底部C的俯角β为$60°$,无人机与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高度为（）


A.$140\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B.$160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$180\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$

3. B

【分析】
遇到仰角、俯角求高度的问题，首先要将实际问题转化为解直角三角形问题。我们可以过点A作BC的垂线，将BC分为上下两段，分别放到两个含特殊角的直角三角形中，利用锐角三角函数的正切定义，结合已知的水平距离，分别求出两段的长度，相加即可得到楼的总高度。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D，由题意可知$AD=120\ \mathrm{m}$，$∠ BAD=α=30°$，$∠ CAD=β=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
$\therefore BD=AD·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore CD=AD·\tan60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore$楼的高度$BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，锐角三角函数计算
【点评】
本题是仰角俯角类的典型基础题，解题核心是构造合适的直角三角形，将所求线段拆分为两个直角三角形的边长分别求解，熟练掌握特殊角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.7

4. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB.如图,他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°,然后在距离C处2 m的D处测得点A的仰角∠AFG=45°,若测倾器的高度为1.6 m,点C,D,B在同一水平线上,则车辆限高杆的高度AB为 m(结果保留根号).

4. $\sqrt{3}+2.6$

【分析】
这是仰角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：1. 先明确图中各线段的等量关系：测倾器高度$GB=FD=EC=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=FE=2\ \mathrm{m}$，$AG$是$AB$与测倾器高度的差值；2. 设$AG$的长度为$x$，利用45°角的直角三角形性质可得$GF=AG=x$，进而表示出$GE$的长度；3. 在含30°角的直角三角形$AGE$中，利用30°角的正切值列方程求解$x$，最后$AB=AG+$测倾器高度即可得到结果。
【解析】
设$AG$的长度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$∠ AGF=90°$，$GB=FD=EC=1.6\ \mathrm{m}$，$FE=CD=2\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，$∠ AFG=45°$，
$\therefore △ AGF$为等腰直角三角形，$GF=AG=x\ \mathrm{m}$，
则$GE=GF+FE=(x+2)\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AGE$中，$∠ AEG=30°$，根据正切的定义：
$\tan∠ AEG=\frac{AG}{GE}$，即$\tan30°=\frac{x}{x+2}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$得：$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+2}$，
交叉相乘得：$\sqrt{3}(x+2)=3x$，
整理得：$x(3-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$，
分母有理化求解得：$x=\frac{2\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1$。
3. 计算限高杆高度$AB$：
$AB=AG+GB=(\sqrt{3}+1)+1.6=\sqrt{3}+2.6\ (\mathrm{m})$。
【答案】
$\sqrt{3}+2.6$
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角问题，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是构造合适的直角三角形，利用特殊角的三角函数性质建立方程求解，计算时注意不要遗漏测倾器的高度。
【难度系数】
0.7

5. (2025岳阳月考)如图，一枚运载火箭从地面A处发射.当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4 km，仰角为$30°$；当火箭到达C点时，测得仰角为$45°$，这时，C点距离雷达站D有多远(结果保留根号)？

5. 解:在 Rt△ABD 中,$\cos∠BDA=\frac{AD}{BD}$,
∴$AD=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$.
在 Rt△ACD 中,$\cos∠CDA=\frac{AD}{CD}$,
∴$CD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}(\mathrm{km})$.
∴这时,C点距离雷达站D是$2\sqrt{6}\ \mathrm{km}$.

【分析】
本题属于解直角三角形的仰角应用问题，解题思路可按以下步骤梳理：1、观察图形可知火箭飞行路线垂直于地面，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，两个三角形共用直角边AD，这是连接已知条件的关键中间量；2、先在Rt△ABD中，已知斜边BD的长度和30°仰角，利用余弦函数的定义即可求出公共边AD的长度；3、再在Rt△ACD中，已知45°仰角和已求出的AD长度，再次利用余弦函数定义就能求出CD的长度，即C点到雷达站D的距离。
【解析】
由题意得$CA⊥ DA$，因此$∠ BAD=∠ CAD=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=30°$，$BD=4\mathrm{km}$，
根据余弦函数定义：$\cos∠ BDA=\frac{AD}{BD}$
$\therefore AD=BD·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CDA=45°$，
根据余弦函数定义：$\cos∠ CDA=\frac{AD}{CD}$
$\therefore CD=\frac{AD}{\cos45°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}(\mathrm{km})$
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{km}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是仰角类实际应用的基础题型，解题核心是找到两个直角三角形的公共边作为中间量，结合特殊角的三角函数值计算，考查学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力。
【难度系数】
0.7