【变式1】如图，△ABC底边BC上的高为$h_1$，△PQR底边QR上的高为$h_2$，则有()


A.$h_1=h_2$
B.$h_1＜h_2$
C.$h_1＞h_2$
D.以上都有可能

A

【分析】
要比较两个高的大小，我们可以先将两个高用已知的边和角表示出来：首先找到两个三角形长度均为5的边AC和PR，分别过两条边所对的顶点向对应底边作垂线，将高转化为直角三角形的直角边，结合三角函数定义即可表示出两个高的长度，再进行比较。需注意钝角三角形底边上的高要作在底边的延长线上，利用补角的性质得到相等的锐角即可计算。
【解析】
分别作出两个三角形对应底边上的高：
1. 过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$AD=h_1$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=55°$，$AC=5$，根据正弦的定义可得：
$h_1=AD=AC·\sin∠ C=5×\sin55°$。
2. 过点P作$PE⊥ QR$，交QR的延长线于点E，则$PE=h_2$。
$\because∠ PRQ=125°$，$\therefore∠ PRE=180°-∠ PRQ=180°-125°=55°$。
在$Rt△ PRE$中，$PR=5$，根据正弦的定义可得：
$h_2=PE=PR·\sin∠ PRE=5×\sin55°$。
因此$h_1=h_2$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，补角的性质，三角形的高
【点评】
解题的关键是正确作出钝角三角形底边上的高，利用补角性质得到相等的锐角，再结合正弦函数的定义计算高的长度进行比较，要注意钝角三角形的高可能落在底边的延长线上。
【难度系数】
0.7

【变式2】在$△ ABC$中，$AB=12$，$AC=\sqrt{39}$，$∠ B=30°$，则$△ ABC$的面积是________。

21√3或15√3

【分析】
本题是已知三角形两边及其中一边的对角求面积的问题，首先需要明确该条件下三角形形状不唯一，存在锐角、钝角两种可能，因此需分类讨论。解题时可通过作高将斜三角形转化为直角三角形，先利用30°直角三角形的性质求出高和底边的一段长度，再用勾股定理求出底边的另一段长度，最后分两种情况计算底边总长度，代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC，交BC（或BC的延长线）于点D。
① 在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，
∴ AD = AB·sin30° = 12×$\frac{1}{2}$ = 6，
BD = AB·cos30° = 12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6$\sqrt{3}$。
② 在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{39}$，AD=6，
由勾股定理得：CD = $\sqrt{AC^2 - AD^2}$ = $\sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2}$ = $\sqrt{39 - 36}$ = $\sqrt{3}$。
分两种情况计算面积：
情况1：当AD在△ABC内部时，BC = BD + CD = 6$\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ = 7$\sqrt{3}$，
此时$S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$×BC×AD = $\frac{1}{2}$×7$\sqrt{3}$×6 = 21$\sqrt{3}$；
情况2：当AD在△ABC外部时，BC = BD - CD = 6$\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$ = 5$\sqrt{3}$，
此时$S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$×BC×AD = $\frac{1}{2}$×5$\sqrt{3}$×6 = 15$\sqrt{3}$。
【答案】
21$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的两种可能情况导致漏解，解题的核心是运用转化思想，通过作高把斜三角形转化为直角三角形求解，同时要牢固掌握分类讨论的思想，遇到两边及一边对角的三角形问题时优先判断是否存在多解。
【难度系数】
0.6

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$∠ A=α$，那么$BC$的长是（）

A.$\frac{5}{\sinα}$
B.$\frac{5}{\cosα}$
C.$5\tanα$
D.$5\sinα$

1. C

【分析】
本题是直角三角形中已知锐角和一条直角边求另一条直角边的问题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中所求边与已知边、已知角的对应关系：在∠C=90°的Rt△ABC中，∠A=α，BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边；第二步回忆锐角三角函数的定义，正切函数的定义为锐角的对边与邻边的比值，正好关联这三个量，因此选择正切函数列式推导即可求出BC的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切函数的定义可得：
$\tan A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边} = \frac{BC}{AC}$
已知$∠ A=α$，$AC=5$，代入上式得：
$\tanα = \frac{BC}{5}$
变形得$BC = 5\tanα$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正切三角函数定义的理解和应用，解题的关键是准确区分直角三角形中对应锐角的对边与邻边，避免混淆不同三角函数的边的对应关系。
【难度系数】
0.9

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，则$∠ A$的度数为（）

A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$

2. D

【分析】
这是一道解直角三角形求角度的基础题，解题时首先回忆直角三角形中锐角三角函数的定义：要求∠A的度数，已知∠A的对边BC和斜边AB的长度，我们可以先计算∠A的正弦值（正弦值=对边÷斜边），再结合特殊角的三角函数值，就能对应得到∠A的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义可得：$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，
将$BC=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$代入式子计算：
$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$，
因为$\sin30°=\frac{1}{2}$，且$∠ A$是锐角，所以$∠ A=30°$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值的应用，熟记相关定义和常见特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$\tan A=\sqrt{3}$，则$BC$的长为（）

A.3
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

3. D

【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，有两种常用解题思路：思路1：先根据正切的定义得到直角边BC和AC的数量关系，再结合勾股定理，代入已知斜边AB的长度即可求出BC的长；思路2：先根据$\tan A=\sqrt{3}$得出$∠ A=60°$，再利用60°角的正弦值，结合正弦的定义（对边比斜边）直接计算BC的长度，两种方法均符合学段知识要求，可任选一种解题。
【解析】
方法一：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由锐角正切的定义得：$\tan A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{3}$，
$\therefore BC=\sqrt{3}AC$，
根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
将$BC=\sqrt{3}AC$，$AB=4$代入得：
$AC^2+(\sqrt{3}AC)^2=4^2$，
整理得：$4AC^2=16$，解得$AC=2$（边长为正数，舍去负根），
$\therefore BC=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$。
方法二：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan A=\sqrt{3}$，且$∠ A$为锐角，$\therefore ∠ A=60°$，
由锐角正弦的定义得：$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AB=4$，
$\therefore BC=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的常规基础题，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，也可结合特殊角的三角函数值简化计算，熟练掌握相关基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. (2026 菏泽期中)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos B=\dfrac{2}{3}$，$BC=6$，则$AB$的长为。

4. 9

【分析】
要解决这个问题，首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比值。首先确定∠B的邻边和斜边：已知∠C=90°，所以∠B的邻边是BC，斜边是AB，结合已知的cosB的值和BC的长度，代入余弦定义公式即可求出AB的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos B = \frac{∠ B的邻边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$\cos B=\frac{2}{3}$，$BC=6$，将数值代入上式：
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$
交叉相乘求解得：
$AB = \frac{6×3}{2} = 9$
【答案】
9
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角余弦函数的定义应用，解题关键是准确找准锐角对应的邻边和斜边，代入公式计算即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9

5. (2025 无锡月考)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,点 $D$ 在线段 $AC$ 上,且 $∠ A=30°$, $∠ BDC=60°$,$AD=2$,则 $BC=$ .

5. √3

【分析】
解题时首先观察角度关系，利用三角形外角的性质求出∠ABD的度数，可证得∠ABD=∠A，根据等角对等边得到BD=AD=2；再在Rt△BDC中，利用特殊角的三角函数值即可求出BC的长度。
【解析】
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD，
∵∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD=2，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠BDC=60°，
∴$\sin∠BDC = \frac{BC}{BD}$，
∴$BC = BD·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；特殊角的三角函数
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是先通过角度推导得到BD的长度，再结合直角三角形的性质或三角函数求解，考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，根据下列条件解直角三角形。
(1)$∠ B=60°$，$c=8$；
(2)$a=2\sqrt{2}$，$c=4$。

解:(1)
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=180°−∠C−∠B=180°−90°−60°=30°。
∵c=8,
∴sin A=sin 30°=a/c=a/8=1/2，
∴a=4,
∴b=√(c²−a²)=√(8²−4²)=4√3。
(2)
∵a=2√2,c=4，
∴b=√(c²−a²)=√(4²−(2√2)²)=2√2，
∴sin A=a/c=2√2/4=√2/2,sin B=b/c=2√2/4=√2/2，
∴∠A=∠B=45°。

【分析】
解直角三角形需求出所有未知的边和角，可分两小问逐步推导：
(1)已知直角三角形的斜边c和锐角∠B，首先根据三角形内角和为180°，可直接求出未知锐角∠A；再结合特殊角的三角函数值或锐角三角函数的定义求出直角边a，最后用勾股定理求出另一条直角边b即可。
(2)已知直角三角形的直角边a和斜边c，首先利用勾股定理求出未知直角边b，再通过计算锐角的三角函数值，结合特殊角的三角函数值求出两个锐角的度数。
【解析】
(1)
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=180°−∠C−∠B=180°−90°−60°=30°。
∵c=8,
∴sin A=sin 30°=a/c=a/8=1/2，
∴a=4,
∴b=√(c²−a²)=√(8²−4²)=4√3。
(2)
∵a=2√2,c=4，
∴b=√(c²−a²)=√(4²−(2√2)²)=2√2，
∴sin A=a/c=2√2/4=√2/2,sin B=b/c=2√2/4=√2/2，
∴∠A=∠B=45°。
【答案】
(1)∠A=30°，a=4，b=4√3；
(2)b=2√2，∠A=45°，∠B=45°
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，覆盖了已知一边一锐角、已知两边解直角三角形的两类基础考法，熟练掌握三角形内角和性质、勾股定理及特殊角的三角函数值是解题的核心。
【难度系数】
0.8

7. (2025浙江二模)如图,在$△ ABC$中,$\tan B=1,BC=2$,中线$CD$垂直$BC$.
(1)求$AB$的长;
(2)求$\sin A$的值.

解:(1)
∵tan B=1,
∴∠B=45°。
又
∵CD⊥BC，
BC=2,
∴DB=√2 BC=2√2。
∵CD 为中线,
∴AB=2BD=4√2。
(2)如图,过点 C 作 CE⊥DB 于点 E，
∵CE⊥DB,DB=2√2,∠B=∠CDB=45°，
∴DE=CE=BE=√2,
∴AE=AB−BE=3√2，
∴在Rt△ACE 中,AC=√(AE²+CE²)=2√5，
∴sin A=CE/AC=√2/(2√5)=√10/10。

【分析】
(1) 求解AB的长：首先由$\tan B=1$可推出$∠ B=45°$，结合$CD⊥ BC$，可知$△ BCD$是等腰直角三角形，已知$BC$的长度即可求出$BD$的长度；再根据$CD$是$△ ABC$的中线，可知$D$为$AB$中点，即可得到$AB=2BD$，算出$AB$的长。
(2) 求解$\sin A$的值：锐角三角函数的定义需在直角三角形中应用，因此过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，构造$\mathrm{Rt}△ ACE$；先利用等腰直角三角形的性质求出$CE$、$BE$的长度，再计算出$AE$的长度，通过勾股定理求出$AC$的长度，最后根据正弦的定义即可求出$\sin A$的值。
【解析】
(1) $\because \tan B=1$，
$\therefore ∠ B=45°$，
又$\because CD⊥ BC$，即$∠ BCD=90°$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，
$\because BC=2$，
$\therefore BD=\sqrt{2}· BC=2\sqrt{2}$，
$\because CD$是$△ ABC$的中线，即$D$是$AB$的中点，
$\therefore AB=2BD=4\sqrt{2}$。
(2) 如图，过点$C$作$CE⊥ DB$于点$E$，
$\because △ BCD$是等腰直角三角形，$CE⊥ DB$，$∠ B=∠ CDB=45°$，
$\therefore DE=CE=BE=\sqrt{2}$，
$\therefore AE=AB-BE=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
(1) $AB$的长为$4\sqrt{2}$；
(2) $\sin A$的值为$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题重点考查解直角三角形的相关应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质、中线的性质和勾股定理进行计算，对基础知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

8.(2026西安月考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC上一点,连接DE,过A作AF⊥DE于点F,连接BF,若AB=BF,DF=3,$\sin∠ DAF=\frac{3}{5}$,则矩形ABCD的面积是
()


A.$\frac{50}{3}$
B.$\frac{75}{4}$
C.$\frac{65}{4}$
D.$\frac{40}{3}$

8. A

【分析】
解题时先从已知的直角三角形和三角函数值入手，首先在Rt△AFD中利用sin∠DAF的数值和DF的长度求出AD的长，再用勾股定理算出AF的长度；接下来结合AB=BF的条件，作BG⊥AF构造等腰三角形，利用三线合一得到AG的长度，再通过角的互余关系证明△ABG和△DAF相似，利用相似三角形对应边成比例求出AB的长度，最后用矩形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°
在Rt△AFD中，$\sin∠DAF=\frac{DF}{AD}=\frac{3}{5}$，已知$DF=3$
∴$\frac{3}{AD}=\frac{3}{5}$，解得$AD=5$
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
过点B作$BG⊥AF$于点G
∵$AB=BF$，
∴△ABF为等腰三角形，由三线合一得G为AF中点
∴$AG=\frac{1}{2}AF=2$
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠BAD=90°$，即$∠BAG+∠DAF=90°$
又
∵在Rt△AFD中，$∠ADF+∠DAF=90°$
∴$∠BAG=∠ADF$
又
∵$∠AGB=∠AFD=90°$
∴$△ ABG ∽ △ DAF$
∴$\frac{AG}{DF}=\frac{AB}{AD}$
代入$AG=2$，$DF=3$，$AD=5$得：$\frac{2}{3}=\frac{AB}{5}$
解得$AB=\frac{10}{3}$
∴矩形ABCD的面积$=AB×AD=\frac{10}{3}×5=\frac{50}{3}$
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰三角形、解直角三角形和相似三角形的相关知识，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，建立已知边和未知边的数量关系，需要学生具备一定的知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6