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12. 若抛物线$y=ax^2+c$经过点$(1,2)$，且与y轴的交点到x轴的距离为3，求这个抛物线的表达式.
答案
12. 根据题意，得
$\begin{cases}2=a×1^2 +c,\\3=a×0^2 +|c|,\end{cases}$得$\begin{cases}a_1=-1,\\c_1=3\end{cases}$ 或$\begin{cases}a_2=5,\\c_2=-3.\end{cases}$
所以这个抛物线的表达式为$y=-x^2+3$ 或 $y=5x^2-3$.
$\begin{cases}2=a×1^2 +c,\\3=a×0^2 +|c|,\end{cases}$得$\begin{cases}a_1=-1,\\c_1=3\end{cases}$ 或$\begin{cases}a_2=5,\\c_2=-3.\end{cases}$
所以这个抛物线的表达式为$y=-x^2+3$ 或 $y=5x^2-3$.
13. 如果把抛物线$y=mx^2 +n$向上平移2个单位后得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 +1$，试确定m、n的值.
答案
13. 根据题意向上平移,m不变，得$m=\frac{1}{2}$，$n+2=1$,得$n=-1$.
14. 已知抛物线$y=ax^2+c$的图像与$x$轴交于点$A$、$B$，与$y$轴交于点$C$.若$OA=2$，$OC=4$，求这个二次函数的表达式.
答案
14. $\because y=ax^2+c$无一次项,$\therefore$函数关于y轴对称,$\therefore OA=OB=2$,
$\therefore$与x轴交点为$(2,0)$、$(-2,0)$.
$\because$与y轴交于点C,$\therefore C(0,4)$或$(0,-4)$,$\therefore$将A、B、C三点代入得$y=-x^2+4$或$y=x^2-4$.
$\therefore$与x轴交点为$(2,0)$、$(-2,0)$.
$\because$与y轴交于点C,$\therefore C(0,4)$或$(0,-4)$,$\therefore$将A、B、C三点代入得$y=-x^2+4$或$y=x^2-4$.
桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示.上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 m(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱)，CO=1 m，FG=2 m.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)求柱子AD的高度.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)求柱子AD的高度.
答案
(1) 由题意可知:点C的坐标为$(0,1)$,点F的坐标为$(-4,2)$,设抛物线的表达式为$y=ax^2 +c$,
所以$\begin{cases}1=c,\\2=16a+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{1}{16},\\c=1.\end{cases}$
所以抛物线的表达式为$y=\frac{1}{16}x^2+1.$
(2) 因为点A的横坐标为$-8$,当$x=-8$时,$y=5$,所以柱子AD的高度为5 m.
所以$\begin{cases}1=c,\\2=16a+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{1}{16},\\c=1.\end{cases}$
所以抛物线的表达式为$y=\frac{1}{16}x^2+1.$
(2) 因为点A的横坐标为$-8$,当$x=-8$时,$y=5$,所以柱子AD的高度为5 m.
