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典例1为了比较线段AB和线段CD的长短，把线段CD移到线段AB上，使点C与点A重合.（填“＞”“=”或“＜”）
（1）当点D落在线段AB上，且点D与点B不重合时，AB
（2）当点D与点B重合时，AB
（3）当点D落在线段AB的延长线上时，AB
（1）当点D落在线段AB上，且点D与点B不重合时，AB
＞
CD；（2）当点D与点B重合时，AB
＝
CD；（3）当点D落在线段AB的延长线上时，AB
＜
CD.答案
(1) ＞
(2) ＝
(3) ＜
(2) ＝
(3) ＜
解析
【分析】
本题采用叠合法比较两条线段的长短，解题时先明确叠合法的判断规则：把两条线段的一个端点重合，将两条线段放在同一条直线上，根据另一个端点的位置判断线段长短：①若另一个端点落在被比较线段的内部，则被比较线段更长；②若另一个端点与被比较线段的另一端点重合，则两条线段长度相等；③若另一个端点落在被比较线段的延长线上，则被比较线段更短。接下来结合题中给出的D点的三种位置，对应规则判断即可。
【解析】
按照叠合法的规则逐一分析：
（1）当点C与点A重合，点D落在线段AB上且不与B重合时，说明线段CD的长度小于线段AB的长度，因此AB＞CD；
（2）当点D与点B重合时，线段AB和线段CD完全重合，说明二者长度相等，因此AB＝CD；
（3）当点D落在线段AB的延长线上时，说明线段CD的长度大于线段AB的长度，因此AB＜CD。
【答案】
(1) ＞
(2) ＝
(3) ＜
【知识点】
1. 叠合法比较线段
2. 线段大小判断
【点评】
本题是线段长短比较的基础题型，核心考查叠合法的应用规则，熟练掌握叠合法的判断逻辑即可快速得分，为后续线段的运算类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
本题采用叠合法比较两条线段的长短，解题时先明确叠合法的判断规则：把两条线段的一个端点重合，将两条线段放在同一条直线上，根据另一个端点的位置判断线段长短：①若另一个端点落在被比较线段的内部，则被比较线段更长；②若另一个端点与被比较线段的另一端点重合，则两条线段长度相等；③若另一个端点落在被比较线段的延长线上，则被比较线段更短。接下来结合题中给出的D点的三种位置，对应规则判断即可。
【解析】
按照叠合法的规则逐一分析：
（1）当点C与点A重合，点D落在线段AB上且不与B重合时，说明线段CD的长度小于线段AB的长度，因此AB＞CD；
（2）当点D与点B重合时，线段AB和线段CD完全重合，说明二者长度相等，因此AB＝CD；
（3）当点D落在线段AB的延长线上时，说明线段CD的长度大于线段AB的长度，因此AB＜CD。
【答案】
(1) ＞
(2) ＝
(3) ＜
【知识点】
1. 叠合法比较线段
2. 线段大小判断
【点评】
本题是线段长短比较的基础题型，核心考查叠合法的应用规则，熟练掌握叠合法的判断逻辑即可快速得分，为后续线段的运算类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
举一反三 如图，已知$AN=BM$，则下列选项正确的是(
A.$AM＞BN$
B.$AM＜BN$
C.$AM=BN$
D.$AM,BN$的大小关系与点$M,N$的位置有关
C
).A.$AM＞BN$
B.$AM＜BN$
C.$AM=BN$
D.$AM,BN$的大小关系与点$M,N$的位置有关
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察线段的组成：线段AN由AM和MN两部分组成，线段BM由BN和MN两部分组成，两条线段包含公共部分MN。已知AN=BM，我们可以利用等式的基本性质，在两个相等的量中同时减去公共部分MN，就能得到AM和BN的大小关系。
【解析】
由图可得线段的和差关系：
$\because AN = AM + MN$，$BM = BN + MN$，
又已知$AN=BM$，
$\therefore AM + MN = BN + MN$，
根据等式的基本性质，等式两边同时减去MN，得：
$AM = BN$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.线段的和差运算 2.等式的基本性质
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的核心是识别出两条相等线段共有的公共部分，通过等式性质消去公共部分即可快速得出结论，掌握线段和差关系是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察线段的组成：线段AN由AM和MN两部分组成，线段BM由BN和MN两部分组成，两条线段包含公共部分MN。已知AN=BM，我们可以利用等式的基本性质，在两个相等的量中同时减去公共部分MN，就能得到AM和BN的大小关系。
【解析】
由图可得线段的和差关系：
$\because AN = AM + MN$，$BM = BN + MN$，
又已知$AN=BM$，
$\therefore AM + MN = BN + MN$，
根据等式的基本性质，等式两边同时减去MN，得：
$AM = BN$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.线段的和差运算 2.等式的基本性质
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的核心是识别出两条相等线段共有的公共部分，通过等式性质消去公共部分即可快速得出结论，掌握线段和差关系是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
典例2 下列说法正确的个数为(
①两点之间,直线最短
②两点之间的线段就是这两点之间的距离
③把弯曲的公路改直,能缩短路程
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
举一反三 如图,从学校A到书店B有两条路线,①号路线是A→B,②号路线是A→C→B.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线,得出这个结论依据的数学原理是
B
).①两点之间,直线最短
②两点之间的线段就是这两点之间的距离
③把弯曲的公路改直,能缩短路程
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
举一反三 如图,从学校A到书店B有两条路线,①号路线是A→B,②号路线是A→C→B.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线,得出这个结论依据的数学原理是
两点之间,线段最短
.答案
1. B
2. 两点之间,线段最短
2. 两点之间,线段最短
解析
【分析】
先解决第一题的判断类选择题，需逐个核对每个说法对应的数学概念：首先回忆线段的基本性质、两点间距离的定义。①说法要注意直线和线段的区别：直线是无限延伸的，没有长度，不可能“最短”，正确结论是两点之间线段最短；②说法要区分几何图形和数量的区别：两点之间的线段是图形，而两点间的距离是线段的长度，是数值，二者不能等同；③说法中弯曲公路改直，本质是让两地之间的路线变成线段，符合线段最短的性质，是正确的，统计正确的个数即可选出答案。
再解决第二道填空题：对比两条路线，①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号是经过C点的折线，选择更短的①号路线的依据就是线段的基本性质。
【解析】
选择题部分：
对三个说法逐一判断：
1. ①“两点之间，直线最短”：直线没有端点，可向两端无限延伸，无法度量长度，正确表述为“两点之间，线段最短”，因此①错误；
2. ②“两点之间的线段就是这两点之间的距离”：两点之间的距离是指两点之间线段的长度，属于量化的数值，而线段是几何图形，二者概念不同，因此②错误；
3. ③“把弯曲的公路改直，能缩短路程”：改直后两地的路线为连接两点的线段，根据两点之间线段最短的性质，路程会缩短，因此③正确。
综上，正确的说法只有1个，选B。
填空题部分：
观察路线可知，①号路线是连接学校A和书店B的线段，②号路线是折线，根据“两点之间，线段最短”的性质，①号路线长度更短，因此得出结论的依据是两点之间，线段最短。
【答案】
1. B
2. 两点之间，线段最短
【知识点】
线段的基本性质，两点间距离的定义
【点评】
这类题目是线段性质的基础应用，解题的关键是准确区分易混淆的概念，如直线与线段、线段与两点间距离，熟练掌握线段性质在实际生活中的应用场景。
【难度系数】
0.8
先解决第一题的判断类选择题，需逐个核对每个说法对应的数学概念：首先回忆线段的基本性质、两点间距离的定义。①说法要注意直线和线段的区别：直线是无限延伸的，没有长度，不可能“最短”，正确结论是两点之间线段最短；②说法要区分几何图形和数量的区别：两点之间的线段是图形，而两点间的距离是线段的长度，是数值，二者不能等同；③说法中弯曲公路改直，本质是让两地之间的路线变成线段，符合线段最短的性质，是正确的，统计正确的个数即可选出答案。
再解决第二道填空题：对比两条路线，①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号是经过C点的折线，选择更短的①号路线的依据就是线段的基本性质。
【解析】
选择题部分：
对三个说法逐一判断：
1. ①“两点之间，直线最短”：直线没有端点，可向两端无限延伸，无法度量长度，正确表述为“两点之间，线段最短”，因此①错误；
2. ②“两点之间的线段就是这两点之间的距离”：两点之间的距离是指两点之间线段的长度，属于量化的数值，而线段是几何图形，二者概念不同，因此②错误；
3. ③“把弯曲的公路改直，能缩短路程”：改直后两地的路线为连接两点的线段，根据两点之间线段最短的性质，路程会缩短，因此③正确。
综上，正确的说法只有1个，选B。
填空题部分：
观察路线可知，①号路线是连接学校A和书店B的线段，②号路线是折线，根据“两点之间，线段最短”的性质，①号路线长度更短，因此得出结论的依据是两点之间，线段最短。
【答案】
1. B
2. 两点之间，线段最短
【知识点】
线段的基本性质，两点间距离的定义
【点评】
这类题目是线段性质的基础应用，解题的关键是准确区分易混淆的概念，如直线与线段、线段与两点间距离，熟练掌握线段性质在实际生活中的应用场景。
【难度系数】
0.8
典例3 如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线AM；②在射线AM上顺次截取$AC=CD=a$；③在射线DM上截取$DE=b$；④在线段EA上截取$EB=c$，发现点B在线段CD上。由操作可知，线段$AB=$(
A.$a+b-c$
B.$a+b+c$
C.$2a+b+c$
D.$2a+b-c$
D
).A.$a+b-c$
B.$a+b+c$
C.$2a+b+c$
D.$2a+b-c$
答案
D
解析
【分析】
我们可以先根据作图步骤梳理各线段的长度关系，先求出线段AE的总长度，再结合AB与AE、EB的和差关系计算AB的长度。首先根据顺次截取AC=CD=a求出AD的长度，再加上DE的长度得到AE的长度，最后因为B在线段EA上，用AE的长度减去EB的长度即可得到AB的长度。
【解析】
1. 由操作②可知，在射线AM上顺次截取$AC=CD=a$，因此$AD=AC+CD=a+a=2a$；
2. 由操作③可知，在射线DM上截取$DE=b$，因此$AE=AD+DE=2a+b$；
3. 由操作④可知，在线段EA上截取$EB=c$，因此$AB=AE-EB$，代入得$AB=2a+b-c$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算
【点评】
本题考查线段和差的实际应用，解题的核心是根据作图描述准确理清各线段的位置关系和和差逻辑，避免出现加减方向混淆的错误。
【难度系数】
0.7
我们可以先根据作图步骤梳理各线段的长度关系，先求出线段AE的总长度，再结合AB与AE、EB的和差关系计算AB的长度。首先根据顺次截取AC=CD=a求出AD的长度，再加上DE的长度得到AE的长度，最后因为B在线段EA上，用AE的长度减去EB的长度即可得到AB的长度。
【解析】
1. 由操作②可知，在射线AM上顺次截取$AC=CD=a$，因此$AD=AC+CD=a+a=2a$；
2. 由操作③可知，在射线DM上截取$DE=b$，因此$AE=AD+DE=2a+b$；
3. 由操作④可知，在线段EA上截取$EB=c$，因此$AB=AE-EB$，代入得$AB=2a+b-c$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算
【点评】
本题考查线段和差的实际应用，解题的核心是根据作图描述准确理清各线段的位置关系和和差逻辑，避免出现加减方向混淆的错误。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，点C为线段AB上的一点，若$AB=7$，$BC=3$，则$AC=(\ )$.
A.10
B.7
C.5
D.4
A.10
B.7
C.5
D.4
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察图形确定点C的位置：点C在线段AB上，因此线段AB被点C分为AC和BC两段，三条线段满足数量关系$AC + BC = AB$。要求AC的长度，只需将该关系式变形为$AC = AB - BC$，再代入已知的AB、BC的数值计算即可。
【解析】
因为点C是线段AB上的点，根据线段的和差关系可得：
$AC + BC = AB$
将$AB=7$，$BC=3$代入上式，变形得：
$AC = AB - BC = 7 - 3 = 4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是明确线段上的点分原线段得到的各段与原线段的和差关系，计算难度低，只要找准数量关系代入即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形确定点C的位置：点C在线段AB上，因此线段AB被点C分为AC和BC两段，三条线段满足数量关系$AC + BC = AB$。要求AC的长度，只需将该关系式变形为$AC = AB - BC$，再代入已知的AB、BC的数值计算即可。
【解析】
因为点C是线段AB上的点，根据线段的和差关系可得：
$AC + BC = AB$
将$AB=7$，$BC=3$代入上式，变形得：
$AC = AB - BC = 7 - 3 = 4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是明确线段上的点分原线段得到的各段与原线段的和差关系，计算难度低，只要找准数量关系代入即可正确解答。
【难度系数】
0.9
典例4 如图，M，P，N三点在直线l上.
(1)尺规作图:在线段PN的延长线上作NB=NP，在线段NP的延长线上作PA=2PN；
(2)若AM=PM+8，PA=20，求MN的长.
(1)尺规作图:在线段PN的延长线上作NB=NP，在线段NP的延长线上作PA=2PN；
(2)若AM=PM+8，PA=20，求MN的长.
答案
解：
(1) 作图：
① 以点N为圆心，NP长为半径画弧，交PN的延长线于点B，得到NB=NP；
② 以点P为圆心，PN长为半径画弧，在NP的延长线上连续截取两段长度等于PN的线段，得到点A，使得PA=2PN，点A、B即为所求。
(2)
∵ PA=2PN，PA=20，
∴ 2PN=20，
∴ PN=10。
由点的位置关系可得：$AM + PM = PA = 20$，
又∵ $AM = PM + 8$，
代入得：$PM + 8 + PM = 20$，
解得 $PM=6$。
∵ $MN = PM + PN$，
∴ $MN = 6 + 10 = 16$。
答：MN的长为16。
(1) 作图：
① 以点N为圆心，NP长为半径画弧，交PN的延长线于点B，得到NB=NP；
② 以点P为圆心，PN长为半径画弧，在NP的延长线上连续截取两段长度等于PN的线段，得到点A，使得PA=2PN，点A、B即为所求。
(2)
∵ PA=2PN，PA=20，
∴ 2PN=20，
∴ PN=10。
由点的位置关系可得：$AM + PM = PA = 20$，
又∵ $AM = PM + 8$，
代入得：$PM + 8 + PM = 20$，
解得 $PM=6$。
∵ $MN = PM + PN$，
∴ $MN = 6 + 10 = 16$。
答：MN的长为16。
解析
【分析】
（1）尺规作相等线段的核心是用圆规截取已知线段长度，再以指定端点为圆心画弧与对应延长线相交即可：①作NB=NP时，以N为圆心、NP长为半径画弧，和PN延长线的交点就是点B；②作PA=2PN时，以P为圆心、PN长为半径，在NP延长线上连续截取2次PN的长度即可得到点A。
（2）线段计算需先梳理已知等量关系：首先根据PA=2PN和PA的长度求出PN的长度；再结合点的位置关系得到AM+PM=PA，将AM=PM+8代入即可求出PM的长度；最后根据M、P、N顺次共线，MN=PM+PN，代入数值就能得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点N为圆心，NP的长度为半径画弧，交PN的延长线于点B，此时NB=NP；
② 以点P为圆心，PN的长度为半径画弧，在NP的延长线上连续截取两段长度等于PN的线段，得到点A，此时PA=2PN，点A、B即为所求作的点。
(2) 计算过程：
∵ PA=2PN，且PA=20，
∴ 2PN=20，解得PN=10。
根据点A、M、P的位置关系可得：$AM + PM = PA = 20$，
又已知$AM = PM + 8$，将其代入上式得：
$PM + 8 + PM = 20$，
解得$PM=6$。
∵ M、P、N三点顺次在直线l上，
∴ $MN = PM + PN$，
代入数值得$MN = 6 + 10 = 16$。
【答案】
(1) 作图见解析步骤；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
1. 尺规作等长线段
2. 线段和差运算
3. 方程法求线段长
【点评】
本题综合考查尺规作图基本操作和线段长度计算，既要求掌握作相等线段的基本技能，又要求能结合线段位置关系做等量代换，通过建立方程求解未知线段，是线段章节的基础常考题型，对夯实几何学习基础有重要作用。
【难度系数】
0.7
（1）尺规作相等线段的核心是用圆规截取已知线段长度，再以指定端点为圆心画弧与对应延长线相交即可：①作NB=NP时，以N为圆心、NP长为半径画弧，和PN延长线的交点就是点B；②作PA=2PN时，以P为圆心、PN长为半径，在NP延长线上连续截取2次PN的长度即可得到点A。
（2）线段计算需先梳理已知等量关系：首先根据PA=2PN和PA的长度求出PN的长度；再结合点的位置关系得到AM+PM=PA，将AM=PM+8代入即可求出PM的长度；最后根据M、P、N顺次共线，MN=PM+PN，代入数值就能得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以点N为圆心，NP的长度为半径画弧，交PN的延长线于点B，此时NB=NP；
② 以点P为圆心，PN的长度为半径画弧，在NP的延长线上连续截取两段长度等于PN的线段，得到点A，此时PA=2PN，点A、B即为所求作的点。
(2) 计算过程：
∵ PA=2PN，且PA=20，
∴ 2PN=20，解得PN=10。
根据点A、M、P的位置关系可得：$AM + PM = PA = 20$，
又已知$AM = PM + 8$，将其代入上式得：
$PM + 8 + PM = 20$，
解得$PM=6$。
∵ M、P、N三点顺次在直线l上，
∴ $MN = PM + PN$，
代入数值得$MN = 6 + 10 = 16$。
【答案】
(1) 作图见解析步骤；
(2) $\boxed{16}$
【知识点】
1. 尺规作等长线段
2. 线段和差运算
3. 方程法求线段长
【点评】
本题综合考查尺规作图基本操作和线段长度计算，既要求掌握作相等线段的基本技能，又要求能结合线段位置关系做等量代换，通过建立方程求解未知线段，是线段章节的基础常考题型，对夯实几何学习基础有重要作用。
【难度系数】
0.7
