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典例1
解 (1)$(2x+3y)^2$
$=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2$
$=4x^2+12xy+9y^2.$
(2)$(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2$
$=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2$
$=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2.$
(3)$(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)$
$=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2$
$=8x^2-6xy+5y^2.$
(2)若$(a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,求$a^2+b^2$和$ab$的值.
典例2
解 (1)①$50.01^2=(50+0.01)^2$
$=50^2+2×50×0.01+0.01^2$
$=2500+1+0.0001$
$=2501.0001.$
②$49.9^2=(50-0.1)^2$
$=50^2-2×50×0.1+0.1^2$
$=2500-10+0.01=2490.01.$
(2)$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16,①$
$x^2-2xy+y^2=4,②$
$①-②,得4xy=12,解得xy=3.$
解 (1)$(2x+3y)^2$
$=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2$
$=4x^2+12xy+9y^2.$
(2)$(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2$
$=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2$
$=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2.$
(3)$(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)$
$=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2$
$=8x^2-6xy+5y^2.$
(2)若$(a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,求$a^2+b^2$和$ab$的值.
典例2
解 (1)①$50.01^2=(50+0.01)^2$
$=50^2+2×50×0.01+0.01^2$
$=2500+1+0.0001$
$=2501.0001.$
②$49.9^2=(50-0.1)^2$
$=50^2-2×50×0.1+0.1^2$
$=2500-10+0.01=2490.01.$
(2)$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16,①$
$x^2-2xy+y^2=4,②$
$①-②,得4xy=12,解得xy=3.$
答案
(2) 解 $\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7,$
$\therefore a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
$①+②,得2a^2+2b^2=20,\therefore a^2+b^2=10.$
$①-②,得4ab=6,\therefore ab=\dfrac{3}{2}.$
$\therefore a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
$①+②,得2a^2+2b^2=20,\therefore a^2+b^2=10.$
$①-②,得4ab=6,\therefore ab=\dfrac{3}{2}.$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构，先将已知的两个完全平方式展开，得到两个包含$a^2+b^2$和$ab$的等式。观察两个等式的特点：若将两式相加，含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；若将两式相减，含$a^2$、$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，这种整体消元的思路不需要单独求出$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7,$
根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
$①+②$，得$2a^2+2b^2=20$，等式两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
$①-②$，得$4ab=6$，等式两边同时除以4，得$ab=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$a^2+b^2=10$，$ab=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式；整式加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心考查完全平方公式的变形应用，通过整体加减消元的方法求解目标代数式，避免了单独求解未知量的繁琐运算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的结构，先将已知的两个完全平方式展开，得到两个包含$a^2+b^2$和$ab$的等式。观察两个等式的特点：若将两式相加，含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；若将两式相减，含$a^2$、$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，这种整体消元的思路不需要单独求出$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7,$
根据完全平方公式展开得：
$a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
$①+②$，得$2a^2+2b^2=20$，等式两边同时除以2，得$a^2+b^2=10$。
$①-②$，得$4ab=6$，等式两边同时除以4，得$ab=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$a^2+b^2=10$，$ab=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式；整式加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心考查完全平方公式的变形应用，通过整体加减消元的方法求解目标代数式，避免了单独求解未知量的繁琐运算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
1. 运用乘法公式计算$(m-2)^2$的结果是(
A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
C
).A.$m^2 -4$
B.$m^2 -2m +4$
C.$m^2 -4m +4$
D.$m^2 +4m -4$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，接下来确定公式中对应的项：本题中$a$对应$m$，$b$对应$2$，将其代入公式展开后和选项对比即可得到正确答案，解题时要注意不要和平方差公式混淆，漏写中间的交叉项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
在$(m-2)^2$中，$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2+2^2=m^2-4m+4$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对完全平方公式的记忆与应用，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免出现漏写两数乘积2倍的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，接下来确定公式中对应的项：本题中$a$对应$m$，$b$对应$2$，将其代入公式展开后和选项对比即可得到正确答案，解题时要注意不要和平方差公式混淆，漏写中间的交叉项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
在$(m-2)^2$中，$a=m$，$b=2$，代入公式得：
$(m-2)^2=m^2-2× m×2+2^2=m^2-4m+4$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对完全平方公式的记忆与应用，解题时要注意区分完全平方公式和平方差公式，避免出现漏写两数乘积2倍的错误。
【难度系数】
0.8
2. 运算结果是$x^4y^2 - 2x^2y +1$的是(
A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
C
).A.$(-1 + x^2y^2)^2$
B.$(1 + x^2y^2)^2$
C.$(-1 + x^2y)^2$
D.$(-1 - x^2y)^2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，有两种解题思路：一是逆用完全平方公式，将题干给出的多项式$x^4y^2 - 2x^2y +1$因式分解，匹配对应选项；二是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一展开每个选项的式子，和题干结果对比找到正确答案。展开法更直观，不容易出现符号错误，适合初学者使用。
【解析】
我们采用逐一展开选项的方法验证：
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
A. $(-1+x^2y^2)^2=(x^2y^2)^2 - 2· x^2y^2·1 +1^2=x^4y^4-2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
B. $(1+x^2y^2)^2=1^2 + 2·1· x^2y^2 +(x^2y^2)^2=x^4y^4+2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
C. $(-1+x^2y)^2=(x^2y)^2 - 2· x^2y·1 +1^2=x^4y^2-2x^2y+1$，与题干结果一致，符合要求；
D. $(-1-x^2y)^2=(x^2y+1)^2=(x^2y)^2 + 2· x^2y·1 +1^2=x^4y^2+2x^2y+1$，与题干结果不符，排除。
也可通过因式分解验证：$x^4y^2 - 2x^2y +1=(x^2y)^2-2· x^2y·1 +1^2=(x^2y-1)^2=(-1+x^2y)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算，因式分解
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题时需注意完全平方展开后中间项的符号，以及幂的乘方运算的次数规则，避免因符号或次数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，有两种解题思路：一是逆用完全平方公式，将题干给出的多项式$x^4y^2 - 2x^2y +1$因式分解，匹配对应选项；二是利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一展开每个选项的式子，和题干结果对比找到正确答案。展开法更直观，不容易出现符号错误，适合初学者使用。
【解析】
我们采用逐一展开选项的方法验证：
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
A. $(-1+x^2y^2)^2=(x^2y^2)^2 - 2· x^2y^2·1 +1^2=x^4y^4-2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
B. $(1+x^2y^2)^2=1^2 + 2·1· x^2y^2 +(x^2y^2)^2=x^4y^4+2x^2y^2+1$，与题干结果不符，排除；
C. $(-1+x^2y)^2=(x^2y)^2 - 2· x^2y·1 +1^2=x^4y^2-2x^2y+1$，与题干结果一致，符合要求；
D. $(-1-x^2y)^2=(x^2y+1)^2=(x^2y)^2 + 2· x^2y·1 +1^2=x^4y^2+2x^2y+1$，与题干结果不符，排除。
也可通过因式分解验证：$x^4y^2 - 2x^2y +1=(x^2y)^2-2· x^2y·1 +1^2=(x^2y-1)^2=(-1+x^2y)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算，因式分解
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题时需注意完全平方展开后中间项的符号，以及幂的乘方运算的次数规则，避免因符号或次数计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
