登录
典例1 运用完全平方公式计算：
(1)$(2x+3y)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{3}m - \dfrac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$。
规律方法 求二项式的平方时，当所给的二项式中两项的符号相同时，一般选“和”的完全平方公式，当所给的二项式中两项的符号相反时，一般选“差”的完全平方公式。
(1)$(2x+3y)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{3}m - \dfrac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$。
规律方法 求二项式的平方时，当所给的二项式中两项的符号相同时，一般选“和”的完全平方公式，当所给的二项式中两项的符号相反时，一般选“差”的完全平方公式。
答案
(1) 解 $(2x+3y)^2=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2.$
(2) 解 $(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2.$
(3) 解 $(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2=8x^2-6xy+5y^2.$
(2) 解 $(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2.$
(3) 解 $(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2=8x^2-6xy+5y^2.$
解析
【分析】
解题前先回忆整式乘法的核心公式：①完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$；②平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
第(1)题是两式和的平方，直接套用“和”的完全平方公式，将$a=2x$、$b=3y$代入展开即可；
第(2)题是两式差的平方，套用“差”的完全平方公式，将$a=\frac{1}{3}m$、$b=\frac{1}{2}n$代入展开即可，注意系数要一并乘方；
第(3)题先分别用完全平方公式展开$(3x-y)^2$，用平方差公式计算$(x-2y)(x+2y)$，再去括号、合并同类项得到结果，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 套用和的完全平方公式：
$(2x+3y)^2=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
(2) 套用差的完全平方公式：
$(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2$
(3) 先展开再合并同类项：
$(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)$
$=9x^2-6xy+y^2-(x^2-4y^2)$
$=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2$
$=8x^2-6xy+5y^2$
【答案】
(1) $4x^2+12xy+9y^2$
(2) $\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2$
(3) $8x^2-6xy+5y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，找准公式中对应的$a$、$b$项，计算时注意不要漏写中间项、不要遗漏系数的乘方运算，合并同类项时要注意符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆整式乘法的核心公式：①完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$；②平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
第(1)题是两式和的平方，直接套用“和”的完全平方公式，将$a=2x$、$b=3y$代入展开即可；
第(2)题是两式差的平方，套用“差”的完全平方公式，将$a=\frac{1}{3}m$、$b=\frac{1}{2}n$代入展开即可，注意系数要一并乘方；
第(3)题先分别用完全平方公式展开$(3x-y)^2$，用平方差公式计算$(x-2y)(x+2y)$，再去括号、合并同类项得到结果，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 套用和的完全平方公式：
$(2x+3y)^2=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
(2) 套用差的完全平方公式：
$(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2$
(3) 先展开再合并同类项：
$(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)$
$=9x^2-6xy+y^2-(x^2-4y^2)$
$=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2$
$=8x^2-6xy+5y^2$
【答案】
(1) $4x^2+12xy+9y^2$
(2) $\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2$
(3) $8x^2-6xy+5y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，找准公式中对应的$a$、$b$项，计算时注意不要漏写中间项、不要遗漏系数的乘方运算，合并同类项时要注意符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
举一反三 运用完全平方公式计算：
(1)$(-cd+\dfrac{1}{2})^2$；
(2)$(-a-b)^2$；
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$。
(1)$(-cd+\dfrac{1}{2})^2$；
(2)$(-a-b)^2$；
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$。
答案
(1) 解 $(-cd+\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2}-cd)^2=(\dfrac{1}{2})^2-2·(cd)·(\dfrac{1}{2})+(cd)^2=\dfrac{1}{4}-cd+c^2d^2.$
(2) 解 $(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
(3) 解 $(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2=-32x^2-24xy.$
(2) 解 $(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
(3) 解 $(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2=-32x^2-24xy.$
解析
【分析】
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：
(1) 先将式子变形为符合完全平方差公式的形式$(\dfrac{1}{2}-cd)^2$，确定公式中$a=\dfrac{1}{2}$，$b=cd$，再代入完全平方差公式展开计算即可；
(2) 先对底数提取负号，利用平方的非负性消去负号，变形为$(a+b)^2$，再代入完全平方和公式展开；
(3) 前半部分式子符合平方差公式的结构，先用平方差公式展开，后半部分用完全平方和公式展开，注意完全平方部分前面是减号，展开后所有项要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) $(-cd+\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2}-cd)^2$
$=(\dfrac{1}{2})^2-2·\dfrac{1}{2}·cd+(cd)^2$
$=\dfrac{1}{4}-cd+c^2d^2$
(2) $(-a-b)^2=[-(a+b)]^2$
$=(a+b)^2$
$=a^2+2ab+b^2$
(3) 先分别展开两部分：
前半部分：$(4x+3y)(3y-4x)=(3y+4x)(3y-4x)=(3y)^2-(4x)^2=9y^2-16x^2$
后半部分：$(4x+3y)^2=16x^2+24xy+9y^2$
代入原式得：
$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-(16x^2+24xy+9y^2)$
$=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2$
$=-32x^2-24xy$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}-cd+c^2d^2$
(2) $a^2+2ab+b^2$
(3) $-32x^2-24xy$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时需先观察代数式的结构特征，匹配对应的乘法公式可以简化计算，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查整式乘法公式的应用，解题思路如下：
(1) 先将式子变形为符合完全平方差公式的形式$(\dfrac{1}{2}-cd)^2$，确定公式中$a=\dfrac{1}{2}$，$b=cd$，再代入完全平方差公式展开计算即可；
(2) 先对底数提取负号，利用平方的非负性消去负号，变形为$(a+b)^2$，再代入完全平方和公式展开；
(3) 前半部分式子符合平方差公式的结构，先用平方差公式展开，后半部分用完全平方和公式展开，注意完全平方部分前面是减号，展开后所有项要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) $(-cd+\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2}-cd)^2$
$=(\dfrac{1}{2})^2-2·\dfrac{1}{2}·cd+(cd)^2$
$=\dfrac{1}{4}-cd+c^2d^2$
(2) $(-a-b)^2=[-(a+b)]^2$
$=(a+b)^2$
$=a^2+2ab+b^2$
(3) 先分别展开两部分：
前半部分：$(4x+3y)(3y-4x)=(3y+4x)(3y-4x)=(3y)^2-(4x)^2=9y^2-16x^2$
后半部分：$(4x+3y)^2=16x^2+24xy+9y^2$
代入原式得：
$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-(16x^2+24xy+9y^2)$
$=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2$
$=-32x^2-24xy$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}-cd+c^2d^2$
(2) $a^2+2ab+b^2$
(3) $-32x^2-24xy$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时需先观察代数式的结构特征，匹配对应的乘法公式可以简化计算，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
典例2 (1)运用完全平方公式计算：
①$50.01^2$；
②$49.9^2$。
(2)已知$(x+y)^2=16,(x-y)^2=4$，求$xy$的值。
规律方法 (1)运用完全平方公式进行计算时，关键是把已知数拆成适当两数(容易平方的数)的和或差的形式。
(2)完全平方公式的常见变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$；
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$。
举一反三 (1)计算：
①$105^2$；
②$199^2$。
①$50.01^2$；
②$49.9^2$。
(2)已知$(x+y)^2=16,(x-y)^2=4$，求$xy$的值。
规律方法 (1)运用完全平方公式进行计算时，关键是把已知数拆成适当两数(容易平方的数)的和或差的形式。
(2)完全平方公式的常见变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$；
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$。
举一反三 (1)计算：
①$105^2$；
②$199^2$。
答案
(1)① 解 $50.01^2=(50+0.01)^2=50^2+2×50×0.01+0.01^2=2500+1+0.0001=2501.0001.$
② 解 $49.9^2=(50-0.1)^2=50^2-2×50×0.1+0.1^2=2500-10+0.01=2490.01.$
(2) 解 $\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16,①$
$x^2-2xy+y^2=4,②$
$①-②,得4xy=12,解得xy=3.$
举一反三(1)① 解 $105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10 000+1 000+25=11 025.$
② 解 $199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40 000-400+1=39 601.$
② 解 $49.9^2=(50-0.1)^2=50^2-2×50×0.1+0.1^2=2500-10+0.01=2490.01.$
(2) 解 $\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16,①$
$x^2-2xy+y^2=4,②$
$①-②,得4xy=12,解得xy=3.$
举一反三(1)① 解 $105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10 000+1 000+25=11 025.$
② 解 $199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40 000-400+1=39 601.$
解析
【分析】
(1) 计算接近整十、整百数的平方时，解题思路是将原数拆分为整十/整百数与一个较小数的和或差的形式，再套用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$计算，可避免复杂的大数乘法，简化运算，拆数时要保证拆分后的两个数的平方、乘积都便于计算。
(2) 已知$(x+y)^2$和$(x-y)^2$求$xy$的解题思路：先将两个完全平方公式展开，观察到两个展开式都含有$x^2+y^2$项，将两式相减即可消去$x^2$和$y^2$，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
举一反三的计算题解题思路与(1)一致，拆分为整百数加/减较小数后套用完全平方公式计算即可。
【解析】
(1)① 将$50.01$拆为$50+0.01$，套用完全平方和公式：
$50.01^2=(50+0.01)^2=50^2+2×50×0.01+0.01^2=2500+1+0.0001=2501.0001$
② 将$49.9$拆为$50-0.1$，套用完全平方差公式：
$49.9^2=(50-0.1)^2=50^2-2×50×0.1+0.1^2=2500-10+0.01=2490.01$
(2) 先将已知的完全平方展开：
$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16 \quad ①$
$x^2-2xy+y^2=4 \quad ②$
用①$-$②得：$4xy=12$，解得$xy=3$。
举一反三(1)① 将$105$拆为$100+5$，套用完全平方和公式：
$105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025$
② 将$199$拆为$200-1$，套用完全平方差公式：
$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601$
【答案】
(1)①$\boxed{2501.0001}$；②$\boxed{2490.01}$
(2)$\boxed{3}$
举一反三(1)①$\boxed{11025}$；②$\boxed{39601}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.完全平方公式变形应用
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，拆分数字时优先选择易计算的整十、整百数可大幅简化运算；变形类问题熟记完全平方展开式的结构差异，通过加减消元可快速求解目标代数式，是整式乘法的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 计算接近整十、整百数的平方时，解题思路是将原数拆分为整十/整百数与一个较小数的和或差的形式，再套用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$计算，可避免复杂的大数乘法，简化运算，拆数时要保证拆分后的两个数的平方、乘积都便于计算。
(2) 已知$(x+y)^2$和$(x-y)^2$求$xy$的解题思路：先将两个完全平方公式展开，观察到两个展开式都含有$x^2+y^2$项，将两式相减即可消去$x^2$和$y^2$，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
举一反三的计算题解题思路与(1)一致，拆分为整百数加/减较小数后套用完全平方公式计算即可。
【解析】
(1)① 将$50.01$拆为$50+0.01$，套用完全平方和公式：
$50.01^2=(50+0.01)^2=50^2+2×50×0.01+0.01^2=2500+1+0.0001=2501.0001$
② 将$49.9$拆为$50-0.1$，套用完全平方差公式：
$49.9^2=(50-0.1)^2=50^2-2×50×0.1+0.1^2=2500-10+0.01=2490.01$
(2) 先将已知的完全平方展开：
$\because (x+y)^2=16,(x-y)^2=4,$
$\therefore x^2+2xy+y^2=16 \quad ①$
$x^2-2xy+y^2=4 \quad ②$
用①$-$②得：$4xy=12$，解得$xy=3$。
举一反三(1)① 将$105$拆为$100+5$，套用完全平方和公式：
$105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025$
② 将$199$拆为$200-1$，套用完全平方差公式：
$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601$
【答案】
(1)①$\boxed{2501.0001}$；②$\boxed{2490.01}$
(2)$\boxed{3}$
举一反三(1)①$\boxed{11025}$；②$\boxed{39601}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.完全平方公式变形应用
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，拆分数字时优先选择易计算的整十、整百数可大幅简化运算；变形类问题熟记完全平方展开式的结构差异，通过加减消元可快速求解目标代数式，是整式乘法的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
