1. 下列计算中可采用平方差公式的是().

A.$(x+y)(x-z)$
B.$(-x+2y)(x+2y)$
C.$(-3x-y)(3x+y)$
D.$(2a+3b)(2b-3a)$

1. B

【分析】
首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征的乘法运算才能用平方差公式计算。解题时需要逐个分析每个选项的两个因式，判断是否同时存在相同项和相反项，即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是：两个因式中存在1个相同项$a$，以及一对互为相反数的项$b$与$-b$。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+y)(x-z)$，两个因式的相同项为$x$，剩余项$y$和$-z$既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征；
选项B：$(-x+2y)(x+2y)$可变形为$(2y-x)(2y+x)$，相同项为$2y$，剩余项$-x$和$x$互为相反数，符合平方差公式特征；
选项C：$(-3x-y)(3x+y)$可变形为$-(3x+y)(3x+y)$，两个因式的项全部相同，是完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式特征；
选项D：$(2a+3b)(2b-3a)$，两个因式中没有相同项，也没有互为相反数的项，不符合平方差公式特征。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别
【点评】
本题考查平方差公式的适用条件，解题关键是牢记公式的结构特征，准确辨别两个因式中的相同项和相反项即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 计算结果为$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$的是().

A.$(\frac{2}{5}a +9b)(\frac{2}{5}a -9b)$
B.$(\frac{4}{5}a +3b)(\frac{4}{5}a -3b)$
C.$(\frac{2}{25}a +3b)(\frac{2}{25}a -3b)$
D.$(\frac{2}{5}a +3b)(\frac{2}{5}a -3b)$

2. D

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路为先明确平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，反过来也成立。首先将题干给出的结果$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$变形为两个平方项相减的形式，确定对应的两个底数，再逆用平方差公式写成乘积形式，和选项对比即可；也可以逐个计算选项的乘积，和题干结果比对得到答案。
【解析】
方法一：逆用平方差公式
平方差公式为：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
先将题干中式子改写为平方差形式：
$\frac{4}{25}a^2 -9b^2=(\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2$
逆用平方差公式可得：
$(\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2=(\frac{2}{5}a + 3b)(\frac{2}{5}a - 3b)$，对应选项D。
方法二：逐一计算选项验证
A选项：$(\frac{2}{5}a +9b)(\frac{2}{5}a -9b)=(\frac{2}{5}a)^2 - (9b)^2=\frac{4}{25}a^2 -81b^2$，不符合题意；
B选项：$(\frac{4}{5}a +3b)(\frac{4}{5}a -3b)=(\frac{4}{5}a)^2 - (3b)^2=\frac{16}{25}a^2 -9b^2$，不符合题意；
C选项：$(\frac{2}{25}a +3b)(\frac{2}{25}a -3b)=(\frac{2}{25}a)^2 - (3b)^2=\frac{4}{625}a^2 -9b^2$，不符合题意；
D选项：$(\frac{2}{5}a +3b)(\frac{2}{5}a -3b)=(\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2=\frac{4}{25}a^2 -9b^2$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题核心是掌握平方差公式的结构特征，解题时要注意准确计算平方项的系数，避免因系数计算错误选错答案。
【难度系数】
0.8

3.计算:2 017×1 983=.

3. 3 999 711

【分析】
首先观察两个乘数的特征，发现2017=2000+17，1983=2000-17，两个数恰好是同一个数2000与17的和、差的形式，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式进行简便计算，避免直接进行多位数乘法的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：$2017×1983$
$=(2000+17)×(2000-17)$
$=2000^2 - 17^2$
$=4000000 - 289$
$=3999711$
【答案】
3999711
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题侧重考查对数字特征的敏感度和公式的灵活运用能力，通过合理拆数构造公式适用的形式，可大幅简化计算过程，提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7

4.如图,圆环形绿地的面积为 m²（结果保留π）.

4. $400π$ 解析 圆环形绿地的面积为$π×25^2-π×15^2=π(25+15)(25-15)=400π(\mathrm{m}^2).$

【分析】
本题要求圆环形绿地的面积，解题思路如下：首先明确圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积；其次提取题干给出的已知条件：外圆半径为25m，内圆半径为15m；最后代入圆的面积公式列出算式，计算时可利用平方差公式简化运算，降低计算量。
【解析】
圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入外圆半径25m、内圆半径15m计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆环}}&=π×25^2-π×15^2\\&=π×(25^2-15^2)\\\intertext{利用平方差公式计算：}&=π×(25+15)×(25-15)\\&=π×40×10\\&=400π(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$400π$
【知识点】
圆环面积计算，平方差公式，圆的面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是理解圆环面积的推导逻辑，即外圆面积减去内圆面积，计算时合理运用平方差公式可简化运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.85

5. 计算：
(1)$2026^2 - 2025 × 2027$；
(2)$( \frac{1}{3}x + y )( \frac{1}{3}x - y )( \frac{1}{9}x^2 + y^2 )$；
(3)$(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$。

5. 解 (1)$2\ 026^2 - 2\ 025×2\ 027$
$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)$
$=2\ 026^2-(2\ 026^2-1)$
$=2\ 026^2-2\ 026^2+1$
$=1.$
(2)$(\frac{1}{3}x+y)(\frac{1}{3}x-y)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2-y^2)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4-y^4.$
(3)$(-3x-2y)(2y-3x)-(5y-3x)·(3x+5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2.$

【分析】
(1)观察式子可发现2025=2026-1，2027=2026+1，可将后两个数的乘积转化为平方差公式的形式，避免大数直接计算，简化运算过程。
(2)前两个因式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，先计算前两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式继续使用平方差公式计算即可。
(3)先变形两个乘积项：$(-3x-2y)(2y-3x)$可改写为$(-3x-2y)(-3x+2y)$，$(5y-3x)(3x+5y)$可改写为$(5y-3x)(5y+3x)$，二者均符合平方差公式特征，分别展开后再去括号、合并同类项即可，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) $2026^2 - 2025 × 2027$
$=2026^2-(2026-1)×(2026+1)$
$=2026^2-(2026^2-1)$
$=2026^2-2026^2+1$
$=1$
(2) $(\frac{1}{3}x + y )( \frac{1}{3}x - y )( \frac{1}{9}x^2 + y^2 )$
$=(\frac{1}{9}x^2 - y^2)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4 - y^4$
(3) $(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$
$=9x^2 - 4y^2 - (25y^2 - 9x^2)$
$=9x^2 - 4y^2 -25y^2 +9x^2$
$=18x^2 - 29y^2$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{1}{81}x^4 - y^4}$；(3) $\boxed{18x^2 - 29y^2}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础典型题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是先观察式子结构，将式子变形为符合乘法公式的形式，可大幅简化计算，同时要注意去括号时的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

6. (1)计算下列算式：
$\begin{cases} 8×8=\_\_\_\_\_\_, \\7×9=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=\_\_\_\_\_\_, \\4×6=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=\_\_\_\_\_\_, \\11×13=\_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
(2)从以上过程中，你发现了什么规律？
请用字母表示出来.
(3)请用你学过的数学知识说明你发现的规律的正确性.

6. 解 (1)计算可得
$\begin{cases}8×8=64, \\7×9=63,\end{cases}$$\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24,\end{cases}$$\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143.\end{cases}$
(2)$(n-1)(n+1)=n^2-1.$
(3)由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，
当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立.

【分析】
第(1)问属于基础整数乘法运算，直接计算每组算式的结果即可；第(2)问需要对比每组两个算式的结构和结果：每组第一个算式是两个相同整数n的乘积（即n²），第二个算式是比n小1和大1的两个数的乘积，结果比n²少1，由此可提炼出通用的字母表达式；第(3)问利用已学的平方差公式代入验证，即可证明规律的正确性。
【解析】
(1) 依次计算各乘法算式：
$8×8=64$，$7×9=63$；
$5×5=25$，$4×6=24$；
$12×12=144$，$11×13=143$。
(2) 观察三组算式的共性：每组中两个相差2的整数相乘，结果等于这两个数中间的整数的平方减1，用字母表示为$(n-1)(n+1)=n^2-1$（n为整数）。
(3) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=n$，$b=1$，代入可得$(n+1)(n-1)=n^2-1^2=n^2-1$，因此规律成立。
【答案】
(1) $\begin{cases}8×8=64, \\7×9=63,\end{cases}$$\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24,\end{cases}$$\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143.\end{cases}$
(2) $(n-1)(n+1)=n^2-1$
(3) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
【知识点】
整数乘法，平方差公式，规律探究
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的规律探究类习题，通过简单计算、观察归纳、公式验证三个环节完成探究，能够很好地锻炼归纳推理能力，是代数基础类的常见题型。
【难度系数】
0.8