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3. 将四个全等的小长方形如图摆放，恰好形成一个大正方形和中间的一个小正方形，则下列等式中，能准确描述其中所蕴含的几何关系的是(
A.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
B.$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
C.$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2$
D.$(a + 2b)(a - b) = a^2 + ab - 2b^2$
B
).A.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
B.$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
C.$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - 4b^2$
D.$(a + 2b)(a - b) = a^2 + ab - 2b^2$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时我们采用数形结合的思路，从面积关系入手分析：首先确定大正方形、中间小正方形的边长与小长方形长a、宽b的关系，再分别表示出各部分的面积，根据“大正方形面积减去4个全等小长方形的面积等于中间小正方形的面积”这一等量关系推导等式，最后与选项比对即可得到正确答案。
【解析】
设小长方形的长为a，宽为b：
1. 观察图形可得，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 1个小长方形的面积为$ab$，4个小长方形的总面积为$4ab$；
3. 中间小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为$(a-b)^2$；
4. 根据面积关系：中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的总面积，代入得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，与选项B一致。
其余选项均不符合该图形的面积关系，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式的几何意义，面积法，整式运算
【点评】
本题通过几何图形考查代数公式的推导，将数与形结合起来，需要同学们准确识别图形各部分的边长、面积的对应关系，是对公式理解和应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
解题时我们采用数形结合的思路，从面积关系入手分析：首先确定大正方形、中间小正方形的边长与小长方形长a、宽b的关系，再分别表示出各部分的面积，根据“大正方形面积减去4个全等小长方形的面积等于中间小正方形的面积”这一等量关系推导等式，最后与选项比对即可得到正确答案。
【解析】
设小长方形的长为a，宽为b：
1. 观察图形可得，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2$；
2. 1个小长方形的面积为$ab$，4个小长方形的总面积为$4ab$；
3. 中间小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为$(a-b)^2$；
4. 根据面积关系：中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 4个小长方形的总面积，代入得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，与选项B一致。
其余选项均不符合该图形的面积关系，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式的几何意义，面积法，整式运算
【点评】
本题通过几何图形考查代数公式的推导，将数与形结合起来，需要同学们准确识别图形各部分的边长、面积的对应关系，是对公式理解和应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
4. 将$102^2$变形正确的是(
A.$102^2=100^2+2^2$
B.$102^2=100^2-2×100×2+2^2$
C.$102^2=100^2+4×100+2^2$
D.$102^2=100^2+100×2+2^2$
C
).A.$102^2=100^2+2^2$
B.$102^2=100^2-2×100×2+2^2$
C.$102^2=100^2+4×100+2^2$
D.$102^2=100^2+100×2+2^2$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察到102接近整百数100，可将102拆分为$100+2$，再套用完全平方和公式对$(100+2)^2$展开，最后将展开结果与各选项对比即可选出正确答案。
【解析】
将102改写为$100+2$，因此$102^2=(100+2)^2$。
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=100$、$b=2$得：
$\begin{aligned}(100+2)^2&=100^2+2×100×2+2^2\\&=100^2+4×100+2^2\end{aligned}$
该变形与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是基础类计算题，解题关键是合理拆分接近整十、整百的数，再套用完全平方公式计算，注意不要遗漏完全平方公式中的$2ab$项，避免出现类似选项A、D的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察到102接近整百数100，可将102拆分为$100+2$，再套用完全平方和公式对$(100+2)^2$展开，最后将展开结果与各选项对比即可选出正确答案。
【解析】
将102改写为$100+2$，因此$102^2=(100+2)^2$。
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=100$、$b=2$得：
$\begin{aligned}(100+2)^2&=100^2+2×100×2+2^2\\&=100^2+4×100+2^2\end{aligned}$
该变形与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是基础类计算题，解题关键是合理拆分接近整十、整百的数，再套用完全平方公式计算，注意不要遗漏完全平方公式中的$2ab$项，避免出现类似选项A、D的错误。
【难度系数】
0.8
5.若$(x + k)^2 = x^2 - 6x + 9$，则k的值是
-3
。答案
5. -3
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构特征，解题有两种常用思路：一是先将等式右侧的二次三项式因式分解为完全平方的形式，再对比左右两个完全平方式的底数直接得到k的值；二是将等式左侧的完全平方式展开，根据等式两边多项式同类项系数对应相等的性质列方程求解k。
【解析】
方法1（因式分解法）：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得等式右侧：
$x^2-6x+9=x^2-2×3× x+3^2=(x-3)^2$
已知$(x+k)^2=x^2-6x+9$，因此$(x+k)^2=(x-3)^2$，对比两个完全平方式的底数，可得$k=-3$。
方法2（展开对应系数法）：
先将等式左侧展开，根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$
因为等式左右两边的多项式恒等，所以同类项的系数对应相等，一次项系数满足：
$2k=-6$
解得$k=-3$，代入验证常数项$k^2=(-3)^2=9$，与右侧常数项相等，符合要求。
【答案】
-3
【知识点】
完全平方公式，多项式恒等性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征，两种解题方法都需要熟练掌握，为后续因式分解、整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
首先回忆完全平方公式的结构特征，解题有两种常用思路：一是先将等式右侧的二次三项式因式分解为完全平方的形式，再对比左右两个完全平方式的底数直接得到k的值；二是将等式左侧的完全平方式展开，根据等式两边多项式同类项系数对应相等的性质列方程求解k。
【解析】
方法1（因式分解法）：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得等式右侧：
$x^2-6x+9=x^2-2×3× x+3^2=(x-3)^2$
已知$(x+k)^2=x^2-6x+9$，因此$(x+k)^2=(x-3)^2$，对比两个完全平方式的底数，可得$k=-3$。
方法2（展开对应系数法）：
先将等式左侧展开，根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$得：
$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$
因为等式左右两边的多项式恒等，所以同类项的系数对应相等，一次项系数满足：
$2k=-6$
解得$k=-3$，代入验证常数项$k^2=(-3)^2=9$，与右侧常数项相等，符合要求。
【答案】
-3
【知识点】
完全平方公式，多项式恒等性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征，两种解题方法都需要熟练掌握，为后续因式分解、整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
6. 运用完全平方公式计算：
(1)$(5a+4b)^2$；
(2)$(3x-2y)^2$；
(3)$(-2m-1)^2$；
(4)$9.98^2$。
(1)$(5a+4b)^2$；
(2)$(3x-2y)^2$；
(3)$(-2m-1)^2$；
(4)$9.98^2$。
答案
6. 解 (1) 原式$=(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$.
(2) 原式$=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$.
(3) 原式$=(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$.
(4) 原式$=(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$.
(2) 原式$=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$.
(3) 原式$=(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$.
(4) 原式$=(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，解题时先确定每个式子中对应公式里的$a$和$b$，再代入公式展开计算即可：(1)式对应和的完全平方公式，$a=5a$、$b=4b$；(2)式对应差的完全平方公式，$a=3x$、$b=2y$；(3)式可直接将$-2m$看作$a$、$-1$看作$b$，代入和的完全平方公式计算；(4)式属于有理数简便计算，把$9.98$拆成$10-0.02$，再套用差的完全平方公式计算即可。
【解析】
(1) 根据和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=5a$，$b=4b$：
原式$=(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$
(2) 根据差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=3x$，$b=2y$：
原式$=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
(3) 代入$a=-2m$，$b=-1$到和的完全平方公式：
原式$=(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$
(4) 先将$9.98$变形为$10-0.02$，再代入差的完全平方公式：
原式$=(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$
【答案】
(1)$25a^2+40ab+16b^2$；(2)$9x^2-12xy+4y^2$；(3)$4m^2+4m+1$；(4)$99.6004$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法、简便计算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题核心是准确识别公式中的$a$和$b$，注意不要搞错符号，涉及有理数计算时合理拆数可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，解题时先确定每个式子中对应公式里的$a$和$b$，再代入公式展开计算即可：(1)式对应和的完全平方公式，$a=5a$、$b=4b$；(2)式对应差的完全平方公式，$a=3x$、$b=2y$；(3)式可直接将$-2m$看作$a$、$-1$看作$b$，代入和的完全平方公式计算；(4)式属于有理数简便计算，把$9.98$拆成$10-0.02$，再套用差的完全平方公式计算即可。
【解析】
(1) 根据和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=5a$，$b=4b$：
原式$=(5a)^2+2×5a×4b+(4b)^2=25a^2+40ab+16b^2$
(2) 根据差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=3x$，$b=2y$：
原式$=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
(3) 代入$a=-2m$，$b=-1$到和的完全平方公式：
原式$=(-2m)^2+2×(-2m)×(-1)+(-1)^2=4m^2+4m+1$
(4) 先将$9.98$变形为$10-0.02$，再代入差的完全平方公式：
原式$=(10-0.02)^2$
$=10^2-2×10×0.02+0.02^2$
$=100-0.4+0.0004$
$=99.6004$
【答案】
(1)$25a^2+40ab+16b^2$；(2)$9x^2-12xy+4y^2$；(3)$4m^2+4m+1$；(4)$99.6004$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法、简便计算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题核心是准确识别公式中的$a$和$b$，注意不要搞错符号，涉及有理数计算时合理拆数可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
7. 计算下列各题：
(1)$(a - 2b)^2 - (2a + b)(b - 2a) - 4a(a - b)$；
(2)$(2x + 3y)^2 - (4x - 9y)(4x + 9y) + (3x - 2y)^2$。
(1)$(a - 2b)^2 - (2a + b)(b - 2a) - 4a(a - b)$；
(2)$(2x + 3y)^2 - (4x - 9y)(4x + 9y) + (3x - 2y)^2$。
答案
7. 解 (1) 原式$=a^2-4ab+4b^2-b^2+4a^2-4a^2+4ab=a^2+3b^2$.
(2) 原式$=4x^2+12xy+9y^2-16x^2+81y^2+9x^2-12xy+4y^2=-3x^2+94y^2$.
(2) 原式$=4x^2+12xy+9y^2-16x^2+81y^2+9x^2-12xy+4y^2=-3x^2+94y^2$.
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：1. 先识别每个运算部分对应的法则或公式：完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$、平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$、单项式乘多项式法则；2. 按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，先分别展开每一部分，展开时注意括号前的符号，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；3. 最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1) 分步展开并合并同类项：
① 根据完全平方公式展开第一项：$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2$；
② 将第二项的$(2a+b)(b-2a)$变形为$(b+2a)(b-2a)$，根据平方差公式得$(b+2a)(b-2a)=b^2-4a^2$，前带负号则为$-(b^2-4a^2)=-b^2+4a^2$；
③ 根据单项式乘多项式法则展开第三项：$-4a(a-b)=-4a^2+4ab$；
④ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=a^2-4ab+4b^2 - b^2 +4a^2 -4a^2 +4ab\\&=(a^2+4a^2-4a^2)+(-4ab+4ab)+(4b^2-b^2)\\&=a^2+3b^2\end{aligned}$
(2) 分步展开并合并同类项：
① 根据完全平方公式展开第一项和第三项：$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，$(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$；
② 根据平方差公式计算中间项：$(4x-9y)(4x+9y)=16x^2-81y^2$，前带负号则为$-(16x^2-81y^2)=-16x^2+81y^2$；
③ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+12xy+9y^2 -16x^2 +81y^2 +9x^2 -12xy +4y^2\\&=(4x^2-16x^2+9x^2)+(12xy-12xy)+(9y^2+81y^2+4y^2)\\&=-3x^2+94y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 + 3b^2$
(2) $-3x^2 + 94y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查乘法公式的灵活运用，解题的易错点是去括号时的符号处理，以及完全平方公式展开时不要漏写中间的2倍项，熟练掌握公式和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：1. 先识别每个运算部分对应的法则或公式：完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$、平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$、单项式乘多项式法则；2. 按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，先分别展开每一部分，展开时注意括号前的符号，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；3. 最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
(1) 分步展开并合并同类项：
① 根据完全平方公式展开第一项：$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2$；
② 将第二项的$(2a+b)(b-2a)$变形为$(b+2a)(b-2a)$，根据平方差公式得$(b+2a)(b-2a)=b^2-4a^2$，前带负号则为$-(b^2-4a^2)=-b^2+4a^2$；
③ 根据单项式乘多项式法则展开第三项：$-4a(a-b)=-4a^2+4ab$；
④ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=a^2-4ab+4b^2 - b^2 +4a^2 -4a^2 +4ab\\&=(a^2+4a^2-4a^2)+(-4ab+4ab)+(4b^2-b^2)\\&=a^2+3b^2\end{aligned}$
(2) 分步展开并合并同类项：
① 根据完全平方公式展开第一项和第三项：$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，$(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$；
② 根据平方差公式计算中间项：$(4x-9y)(4x+9y)=16x^2-81y^2$，前带负号则为$-(16x^2-81y^2)=-16x^2+81y^2$；
③ 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+12xy+9y^2 -16x^2 +81y^2 +9x^2 -12xy +4y^2\\&=(4x^2-16x^2+9x^2)+(12xy-12xy)+(9y^2+81y^2+4y^2)\\&=-3x^2+94y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 + 3b^2$
(2) $-3x^2 + 94y^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查乘法公式的灵活运用，解题的易错点是去括号时的符号处理，以及完全平方公式展开时不要漏写中间的2倍项，熟练掌握公式和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8.【阅读理解】
若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(4-x)^2+(x-9)^2$的值.
解:设$9-x=a$，$x-4=b$，则$(9-x)(x-4)=ab=4$，$a+b=(9-x)+(x-4)=5$，$\therefore (4-x)^2+(x-9)^2=(9-x)^2+(x-4)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$.
【拓展应用】
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若$x$满足$(5-x)(x-2)=2$，求$(5-x)^2+(x-2)^2$的值；
(2)已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$E$，$F$分别是$AD$，$DC$上的点，且$AE=1$，$CF=3$，长方形$EMFD$的面积是$48$，分别以$MF$，$DF$为边作正方形.
①$MF=$
②求阴影部分的面积.
若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(4-x)^2+(x-9)^2$的值.
解:设$9-x=a$，$x-4=b$，则$(9-x)(x-4)=ab=4$，$a+b=(9-x)+(x-4)=5$，$\therefore (4-x)^2+(x-9)^2=(9-x)^2+(x-4)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$.
【拓展应用】
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若$x$满足$(5-x)(x-2)=2$，求$(5-x)^2+(x-2)^2$的值；
(2)已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$E$，$F$分别是$AD$，$DC$上的点，且$AE=1$，$CF=3$，长方形$EMFD$的面积是$48$，分别以$MF$，$DF$为边作正方形.
①$MF=$
x-1
，$DF=$x-3
；(用含$x$的式子表示)②求阴影部分的面积.
答案
8. 解 (1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，则$(5-x)(x-2)=ab=2$，$a+b=(5-x)+(x-2)=3$,
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$.
(2) ①$MF=DE=x-1$，$DF=x-3$，故答案为$x-1$；$x-3$.
②$(x-1)(x-3)=48$，阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$.
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$(x-1)(x-3)=ab=48$，$a-b=(x-1)-(x-3)=2$,
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$,
$\therefore a+b=\pm14$,
又$a+b＞0$,
$\therefore a+b=14$,
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$.
即阴影部分的面积是28.
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$.
(2) ①$MF=DE=x-1$，$DF=x-3$，故答案为$x-1$；$x-3$.
②$(x-1)(x-3)=48$，阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$.
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$(x-1)(x-3)=ab=48$，$a-b=(x-1)-(x-3)=2$,
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$,
$\therefore a+b=\pm14$,
又$a+b＞0$,
$\therefore a+b=14$,
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$.
即阴影部分的面积是28.
解析
【分析】
本题可通过模仿题干给出的换元法，结合乘法公式求解：
1. 第(1)问：类比例题，设$5-x=a$，$x-2=b$，先求出$a+b$和$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
2. 第(2)问：①先根据正方形边长为$x$，结合线段和差关系，用$x$表示出$DE$、$DF$的长度，再利用长方形对边相等得到$MF$、$DF$的表达式；②阴影部分面积是两个正方形的面积差，即$FM^2-DF^2$，设$x-1=a$，$x-3=b$，先根据长方形面积得$ab=48$，再求出$a-b$的值，利用完全平方公式的变形求出$a+b$（注意边长为正，取正根），最后用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$代入计算即可。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，
则$(5-x)(x-2)=ab=2$，
$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ① 正方形$ABCD$边长为$x$，则$AD=DC=x$，
$MF=DE=AD-AE=x-1$，
$DF=DC-CF=x-3$。
② 已知长方形$EMFD$的面积是48，可得$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分的面积$=S_{\mathrm{正方形}MNRG}-S_{\mathrm{正方形}GFDH}=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$。
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$ab=(x-1)(x-3)=48$，
$a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
由完全平方公式可得$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$，
$\therefore a+b=\pm14$，
又$\because a=x-1$、$b=x-3$均为线段长度，和为正，$\therefore a+b=14$，
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) ① $\boxed{x-1}$，$\boxed{x-3}$；② $\boxed{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法求值
【点评】
本题侧重考查对材料方法的模仿应用能力，将代数换元法与几何图形面积计算结合，既需要熟练掌握乘法公式的变形应用，也需要具备一定的读图分析能力，解题时注意线段长度为正，因此开平方时需舍去负根。
【难度系数】
0.6
本题可通过模仿题干给出的换元法，结合乘法公式求解：
1. 第(1)问：类比例题，设$5-x=a$，$x-2=b$，先求出$a+b$和$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
2. 第(2)问：①先根据正方形边长为$x$，结合线段和差关系，用$x$表示出$DE$、$DF$的长度，再利用长方形对边相等得到$MF$、$DF$的表达式；②阴影部分面积是两个正方形的面积差，即$FM^2-DF^2$，设$x-1=a$，$x-3=b$，先根据长方形面积得$ab=48$，再求出$a-b$的值，利用完全平方公式的变形求出$a+b$（注意边长为正，取正根），最后用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$代入计算即可。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，
则$(5-x)(x-2)=ab=2$，
$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ① 正方形$ABCD$边长为$x$，则$AD=DC=x$，
$MF=DE=AD-AE=x-1$，
$DF=DC-CF=x-3$。
② 已知长方形$EMFD$的面积是48，可得$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分的面积$=S_{\mathrm{正方形}MNRG}-S_{\mathrm{正方形}GFDH}=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$。
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$ab=(x-1)(x-3)=48$，
$a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
由完全平方公式可得$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$，
$\therefore a+b=\pm14$，
又$\because a=x-1$、$b=x-3$均为线段长度，和为正，$\therefore a+b=14$，
$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；
(2) ① $\boxed{x-1}$，$\boxed{x-3}$；② $\boxed{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法求值
【点评】
本题侧重考查对材料方法的模仿应用能力，将代数换元法与几何图形面积计算结合，既需要熟练掌握乘法公式的变形应用，也需要具备一定的读图分析能力，解题时注意线段长度为正，因此开平方时需舍去负根。
【难度系数】
0.6
