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典例1 按下列要求,给多项式$3x^3 -5x^2 -3x +4$添括号:
(1)把多项式后三项括起来,括号前面是“＋”号；
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面是“－”号；
(3)把多项式后三项括起来,括号前面是“－”号；
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面是“－”号.
温馨提示 (1)无论添括号还是去括号,只改变式子的形式不改变式子的值；
(2)添括号正确与否,可用去括号法则进行检验；
(3)应特别注意括号前是负号时,括到括号里的各项都改变符号,而不是只改变第一项的符号.
举一反三 在$-3x^2 +2xy + y^2 -2x + y -1$中,不改变代数式的值,把含字母x的项放在前面是“＋”号的括号里,同时把不含字母x的项放在前面是“－”的括号里.
(1)把多项式后三项括起来,括号前面是“＋”号；
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面是“－”号；
(3)把多项式后三项括起来,括号前面是“－”号；
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面是“－”号.
温馨提示 (1)无论添括号还是去括号,只改变式子的形式不改变式子的值；
(2)添括号正确与否,可用去括号法则进行检验；
(3)应特别注意括号前是负号时,括到括号里的各项都改变符号,而不是只改变第一项的符号.
举一反三 在$-3x^2 +2xy + y^2 -2x + y -1$中,不改变代数式的值,把含字母x的项放在前面是“＋”号的括号里,同时把不含字母x的项放在前面是“－”的括号里.
答案
解 (1) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = 3x^3 + (-5x^2 -3x +4).$
(2) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = -(-3x^3 +5x^2) -3x +4.$
(3) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = 3x^3 -(5x^2 +3x -4).$
(4) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = 3x^3 -(5x^2 +3x) +4.$
举一反三 解 $-3x^2 + 2xy + y^2 - 2x + y - 1 = -3x^2 + 2xy - 2x + y^2 + y - 1 = (-3x^2 + 2xy - 2x) - (-y^2 - y + 1).$
(2) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = -(-3x^3 +5x^2) -3x +4.$
(3) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = 3x^3 -(5x^2 +3x -4).$
(4) $3x^3 -5x^2 -3x +4 = 3x^3 -(5x^2 +3x) +4.$
举一反三 解 $-3x^2 + 2xy + y^2 - 2x + y - 1 = -3x^2 + 2xy - 2x + y^2 + y - 1 = (-3x^2 + 2xy - 2x) - (-y^2 - y + 1).$
解析
【分析】
解题核心依据是添括号法则：①若括号前是正号，括到括号里的各项都不变符号；②若括号前是负号，括到括号里的各项都改变符号。解题时先明确每一问要求括起的项，再根据括号前的符号调整对应项的符号，最后可通过去括号法则反向验证结果是否正确。
举一反三题需先拆分多项式：先筛选所有含字母x的项、再筛选所有不含字母x的项，分别按要求添加对应符号的括号即可。
【解析】
典例1解答：
(1) 要括起后三项，括号前为“+”号：后三项$-5x^2、-3x、+4$符号不变，直接放入带“+”的括号，其余项照写。
(2) 要括起前两项，括号前为“-”号：前两项$3x^3、-5x^2$全部变号为$-3x^3、+5x^2$，放入带“-”的括号，其余项照写。
(3) 要括起后三项，括号前为“-”号：后三项$-5x^2、-3x、+4$全部变号为$+5x^2、+3x、-4$，放入带“-”的括号，首项照写。
(4) 要括起中间两项，括号前为“-”号：中间两项$-5x^2、-3x$全部变号为$+5x^2、+3x$，放入带“-”的括号，其余前后项照写。
举一反三解答：
第一步：用加法交换律整理多项式，将含x的项集中：$-3x^2+2xy-2x + y^2+y-1$；
第二步：含x的项放入前带“+”的括号，各项符号不变，得$(-3x^2 + 2xy - 2x)$；
第三步：不含x的项$y^2、+y、-1$放入前带“-”的括号，各项全部变号为$-y^2、-y、+1$，即$-(-y^2 - y + 1)$；
最后合并两部分得到结果。
【答案】
(1) $3x^3 + (-5x^2 -3x +4)$
(2) $-(-3x^3 +5x^2) -3x +4$
(3) $3x^3 -(5x^2 +3x -4)$
(4) $3x^3 -(5x^2 +3x) +4$
举一反三：$(-3x^2 + 2xy - 2x) - (-y^2 - y + 1)$
【知识点】
1.添括号法则
2.整式恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，重点考查添括号法则的应用，需特别注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免仅改变第一项符号的常见错误，养成用去括号法则反向检验的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是添括号法则：①若括号前是正号，括到括号里的各项都不变符号；②若括号前是负号，括到括号里的各项都改变符号。解题时先明确每一问要求括起的项，再根据括号前的符号调整对应项的符号，最后可通过去括号法则反向验证结果是否正确。
举一反三题需先拆分多项式：先筛选所有含字母x的项、再筛选所有不含字母x的项，分别按要求添加对应符号的括号即可。
【解析】
典例1解答：
(1) 要括起后三项，括号前为“+”号：后三项$-5x^2、-3x、+4$符号不变，直接放入带“+”的括号，其余项照写。
(2) 要括起前两项，括号前为“-”号：前两项$3x^3、-5x^2$全部变号为$-3x^3、+5x^2$，放入带“-”的括号，其余项照写。
(3) 要括起后三项，括号前为“-”号：后三项$-5x^2、-3x、+4$全部变号为$+5x^2、+3x、-4$，放入带“-”的括号，首项照写。
(4) 要括起中间两项，括号前为“-”号：中间两项$-5x^2、-3x$全部变号为$+5x^2、+3x$，放入带“-”的括号，其余前后项照写。
举一反三解答：
第一步：用加法交换律整理多项式，将含x的项集中：$-3x^2+2xy-2x + y^2+y-1$；
第二步：含x的项放入前带“+”的括号，各项符号不变，得$(-3x^2 + 2xy - 2x)$；
第三步：不含x的项$y^2、+y、-1$放入前带“-”的括号，各项全部变号为$-y^2、-y、+1$，即$-(-y^2 - y + 1)$；
最后合并两部分得到结果。
【答案】
(1) $3x^3 + (-5x^2 -3x +4)$
(2) $-(-3x^3 +5x^2) -3x +4$
(3) $3x^3 -(5x^2 +3x -4)$
(4) $3x^3 -(5x^2 +3x) +4$
举一反三：$(-3x^2 + 2xy - 2x) - (-y^2 - y + 1)$
【知识点】
1.添括号法则
2.整式恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，重点考查添括号法则的应用，需特别注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免仅改变第一项符号的常见错误，养成用去括号法则反向检验的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
典例2 运用乘法公式计算：
(1)$(x - y + 2)(x + y - 2)$；
(2)$(a - 2b + 3c)^2$。
规律方法 对于含有三项(或三项以上)的两个多项式相乘，要想运用乘法公式，可以通过添括号把它变成符合公式的形式，把括号内的多项式看作一个整体，运用乘法公式计算后，再去括号。注意最终结果必须是最简形式。
(1)$(x - y + 2)(x + y - 2)$；
(2)$(a - 2b + 3c)^2$。
规律方法 对于含有三项(或三项以上)的两个多项式相乘，要想运用乘法公式，可以通过添括号把它变成符合公式的形式，把括号内的多项式看作一个整体，运用乘法公式计算后，再去括号。注意最终结果必须是最简形式。
答案
解 (1) $(x - y +2)(x + y -2)=[x -(y -2)][x + (y -2)]=x^2 -(y -2)^2 = x^2 -(y^2 -4y +4)=x^2 - y^2 +4y -4.$
(2) $(a -2b +3c)^2=[(a -2b)+3c]^2=(a -2b)^2 +6c(a -2b)+9c^2=a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2.$
(2) $(a -2b +3c)^2=[(a -2b)+3c]^2=(a -2b)^2 +6c(a -2b)+9c^2=a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2.$
解析
【分析】
本题考查乘法公式的灵活运用，解题关键是通过添括号将多项式变形为符合乘法公式的结构，再运用整体思想计算：
(1) 观察两个因式，x的符号相同，-y+2和+y-2符号相反，因此把(y-2)看作一个整体，将原式变形为平方差公式的标准形式$(a-b)(a+b)$，先用平方差公式展开，再用完全平方公式展开计算即可。
(2) 三项式的平方，可将其中两项组合看作一个整体，本题将(a-2b)看作一个整体，原式变形为完全平方公式的标准形式$(m+n)^2$，先用完全平方公式展开，再对$(a-2b)^2$展开，最后合并整理为最简形式即可。
【解析】
(1) 添括号凑平方差公式：
$\begin{aligned}(x - y + 2)(x + y - 2)&=[x -(y - 2)][x + (y - 2)]\\&=x^2 -(y - 2)^2\\&= x^2 -(y^2 -4y +4)\\&=x^2 - y^2 +4y -4\end{aligned}$
(2) 添括号凑完全平方公式：
$\begin{aligned}(a -2b +3c)^2&=[(a -2b)+3c]^2\\&=(a -2b)^2 + 2·(a-2b)·3c + (3c)^2\\&=(a -2b)^2 +6c(a -2b)+9c^2\\&=a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^2 - y^2 +4y -4}$；
(2) $\boldsymbol{a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、添括号法则
【点评】
本题重点考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，核心是通过添括号构造符合公式的结构，体现了整体代换的数学思想，解题时要注意添去括号的符号变化，展开计算时不要漏乘项，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
本题考查乘法公式的灵活运用，解题关键是通过添括号将多项式变形为符合乘法公式的结构，再运用整体思想计算：
(1) 观察两个因式，x的符号相同，-y+2和+y-2符号相反，因此把(y-2)看作一个整体，将原式变形为平方差公式的标准形式$(a-b)(a+b)$，先用平方差公式展开，再用完全平方公式展开计算即可。
(2) 三项式的平方，可将其中两项组合看作一个整体，本题将(a-2b)看作一个整体，原式变形为完全平方公式的标准形式$(m+n)^2$，先用完全平方公式展开，再对$(a-2b)^2$展开，最后合并整理为最简形式即可。
【解析】
(1) 添括号凑平方差公式：
$\begin{aligned}(x - y + 2)(x + y - 2)&=[x -(y - 2)][x + (y - 2)]\\&=x^2 -(y - 2)^2\\&= x^2 -(y^2 -4y +4)\\&=x^2 - y^2 +4y -4\end{aligned}$
(2) 添括号凑完全平方公式：
$\begin{aligned}(a -2b +3c)^2&=[(a -2b)+3c]^2\\&=(a -2b)^2 + 2·(a-2b)·3c + (3c)^2\\&=(a -2b)^2 +6c(a -2b)+9c^2\\&=a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^2 - y^2 +4y -4}$；
(2) $\boldsymbol{a^2 -4ab +4b^2 +6ac -12bc +9c^2}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、添括号法则
【点评】
本题重点考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，核心是通过添括号构造符合公式的结构，体现了整体代换的数学思想，解题时要注意添去括号的符号变化，展开计算时不要漏乘项，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
举一反三 运用乘法公式计算：
(1)$(x+2y-3z)(2y+3z+x)$；
(2)$(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2$。
(1)$(x+2y-3z)(2y+3z+x)$；
(2)$(x-\dfrac{1}{2}y+2)^2$。
答案
解 (1) 原式$=[(x+2y)-3z][(x+2y)+3z]=(x+2y)^2-(3z)^2=x^2+4xy+4y^2-9z^2.$
(2) 原式$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2=(x-\dfrac{1}{2}y)^2 + 2×(x-\dfrac{1}{2}y)×2 + 2^2=x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4.$
(2) 原式$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2=(x-\dfrac{1}{2}y)^2 + 2×(x-\dfrac{1}{2}y)×2 + 2^2=x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4.$
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，两个因式中都含有$x$和$2y$，剩余的项$-3z$和$+3z$互为相反数。我们可以把相同部分$x+2y$看作整体，将原式整理为平方差公式的标准形式$(a-b)(a+b)$，先利用平方差公式计算，再展开完全平方即可得到结果。
(2) 这是三项式的平方，不符合完全平方公式的两项结构，我们可以把前两项$x-\dfrac{1}{2}y$看作整体，将原式转化为两数和的平方形式$(a+b)^2$，先套用完全平方和公式展开，再对剩余的完全平方项展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先对原式分组，构造平方差公式形式：
原式$=[(x+2y)-3z][(x+2y)+3z]$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a=x+2y$，$b=3z$，代入得：
$=(x+2y)^2-(3z)^2$
再展开完全平方$(x+2y)^2$，计算得：
$=x^2+4xy+4y^2-9z^2$
(2) 先对原式分组，构造完全平方公式形式：
原式$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2$
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=x-\dfrac{1}{2}y$，$b=2$，代入得：
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2 + 2×(x-\dfrac{1}{2}y)×2 + 2^2$
展开$(x-\dfrac{1}{2}y)^2$并化简各项：
$=x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4$
【答案】
(1) $x^2+4xy+4y^2-9z^2$
(2) $x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题关键是学会合理分组，将多项式中的部分项视为整体转化为公式的标准形式，展开计算时要注意项数和符号，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子结构，两个因式中都含有$x$和$2y$，剩余的项$-3z$和$+3z$互为相反数。我们可以把相同部分$x+2y$看作整体，将原式整理为平方差公式的标准形式$(a-b)(a+b)$，先利用平方差公式计算，再展开完全平方即可得到结果。
(2) 这是三项式的平方，不符合完全平方公式的两项结构，我们可以把前两项$x-\dfrac{1}{2}y$看作整体，将原式转化为两数和的平方形式$(a+b)^2$，先套用完全平方和公式展开，再对剩余的完全平方项展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先对原式分组，构造平方差公式形式：
原式$=[(x+2y)-3z][(x+2y)+3z]$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a=x+2y$，$b=3z$，代入得：
$=(x+2y)^2-(3z)^2$
再展开完全平方$(x+2y)^2$，计算得：
$=x^2+4xy+4y^2-9z^2$
(2) 先对原式分组，构造完全平方公式形式：
原式$=[(x-\dfrac{1}{2}y)+2]^2$
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=x-\dfrac{1}{2}y$，$b=2$，代入得：
$=(x-\dfrac{1}{2}y)^2 + 2×(x-\dfrac{1}{2}y)×2 + 2^2$
展开$(x-\dfrac{1}{2}y)^2$并化简各项：
$=x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4$
【答案】
(1) $x^2+4xy+4y^2-9z^2$
(2) $x^2 -xy +\dfrac{1}{4}y^2 +4x -2y +4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题关键是学会合理分组，将多项式中的部分项视为整体转化为公式的标准形式，展开计算时要注意项数和符号，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
