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一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. 下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （）
A.正方形
B.等边三角形
C.平行四边形
D.圆
1. 下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （）
A.正方形
B.等边三角形
C.平行四边形
D.圆
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再逐一分析每个选项对应的图形的对称性，筛选出满足“是轴对称图形但不是中心对称图形”要求的选项即可。具体思考路径：第一步回忆两类对称图形的判断标准；第二步逐个验证四个选项的对称属性；第三步匹配题干要求选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内绕某一点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。
逐个分析选项：
A. 正方形：有4条对称轴，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意。
B. 等边三角形：有3条对称轴，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后，图形顶点朝向与原图形相反，无法与原图形重合，不属于中心对称图形，符合题意。
C. 平行四边形：沿任意直线折叠后，直线两旁的部分都无法完全重合，不属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形，不符合题意。
D. 圆：有无数条对称轴，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点为容易误将普通平行四边形判定为轴对称图形、将等边三角形判定为中心对称图形，只要牢记两类对称图形的定义，逐一排查选项即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再逐一分析每个选项对应的图形的对称性，筛选出满足“是轴对称图形但不是中心对称图形”要求的选项即可。具体思考路径：第一步回忆两类对称图形的判断标准；第二步逐个验证四个选项的对称属性；第三步匹配题干要求选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心定义：
1. 轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内绕某一点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。
逐个分析选项：
A. 正方形：有4条对称轴，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形，不符合题意。
B. 等边三角形：有3条对称轴，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后，图形顶点朝向与原图形相反，无法与原图形重合，不属于中心对称图形，符合题意。
C. 平行四边形：沿任意直线折叠后，直线两旁的部分都无法完全重合，不属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形，不符合题意。
D. 圆：有无数条对称轴，属于轴对称图形；绕圆心旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点为容易误将普通平行四边形判定为轴对称图形、将等边三角形判定为中心对称图形，只要牢记两类对称图形的定义，逐一排查选项即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体得到的形状图是（）
2
1 1
A
C
D
2
1 1
A
C
D
答案
B
解析
【分析】
要解决这类由俯视图及对应位置小立方块个数判断主视图的问题，核心是掌握三视图的对应规律：主视图的列数和俯视图的列数完全相同，主视图每一列的高度等于俯视图中该列所有位置小立方块个数的最大值，且每列的小正方形从下往上堆叠。首先观察给定的俯视图，确定列数，再分别计算每列的最大层数，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先分析俯视图的列数和各列最大层数：
1. 俯视图从左到右共2列：
左列两个位置的小立方块个数分别为2和1，最大层数为2，因此主视图左列有2个小正方形上下堆叠；
右列仅1个位置，小立方块个数为1，最大层数为1，因此主视图右列有1个小正方形，与左列下层的小正方形对齐。
2. 对比各选项，只有选项B符合上述主视图特征。
【答案】
B
【知识点】
三视图的画法；由俯视图判断主视图
【点评】
本题考查几何体三视图的识别与画法，解题关键是明确俯视图和主视图之间的行列、高度对应关系，属于三视图类的基础考题，掌握对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这类由俯视图及对应位置小立方块个数判断主视图的问题，核心是掌握三视图的对应规律：主视图的列数和俯视图的列数完全相同，主视图每一列的高度等于俯视图中该列所有位置小立方块个数的最大值，且每列的小正方形从下往上堆叠。首先观察给定的俯视图，确定列数，再分别计算每列的最大层数，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：首先分析俯视图的列数和各列最大层数：
1. 俯视图从左到右共2列：
左列两个位置的小立方块个数分别为2和1，最大层数为2，因此主视图左列有2个小正方形上下堆叠；
右列仅1个位置，小立方块个数为1，最大层数为1，因此主视图右列有1个小正方形，与左列下层的小正方形对齐。
2. 对比各选项，只有选项B符合上述主视图特征。
【答案】
B
【知识点】
三视图的画法；由俯视图判断主视图
【点评】
本题考查几何体三视图的识别与画法，解题关键是明确俯视图和主视图之间的行列、高度对应关系，属于三视图类的基础考题，掌握对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的一元二次方程$(x-2)(2x+m)=0$有两个相等的实数根，则$m$的值为 （）
A.2
B.4
C.$-4$
D.$-\dfrac{1}{2}$
A.2
B.4
C.$-4$
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题有两种思路：思路1：该方程已经是因式分解的形式，可直接得到方程的两个根，已知方程有两个相等的实数根，说明两个根相等，据此列等式即可求出m的值；思路2：先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，根据“一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0”列方程求解即可。两种方法均符合九年级知识要求，思路1计算更简便。
【解析】
方法1：利用因式分解的根求解
∵ 方程$(x-2)(2x+m)=0$是因式分解形式
∴ 方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{m}{2}$
∵ 该一元二次方程有两个相等的实数根
∴ $x_1=x_2$，即$2=-\frac{m}{2}$
解得$m=-4$
方法2：利用判别式求解
将方程展开整理为一般形式：
$2x^2 + (m-4)x - 2m = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=m-4$，常数项$c=-2m$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入得：$(m-4)^2 - 4×2×(-2m) = 0$
展开化简：$m^2 -8m +16 +16m = 0$，即$(m+4)^2=0$
解得$m=-4$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判定
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题方法灵活，计算难度低，解题时需注意符号运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题有两种思路：思路1：该方程已经是因式分解的形式，可直接得到方程的两个根，已知方程有两个相等的实数根，说明两个根相等，据此列等式即可求出m的值；思路2：先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，根据“一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0”列方程求解即可。两种方法均符合九年级知识要求，思路1计算更简便。
【解析】
方法1：利用因式分解的根求解
∵ 方程$(x-2)(2x+m)=0$是因式分解形式
∴ 方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{m}{2}$
∵ 该一元二次方程有两个相等的实数根
∴ $x_1=x_2$，即$2=-\frac{m}{2}$
解得$m=-4$
方法2：利用判别式求解
将方程展开整理为一般形式：
$2x^2 + (m-4)x - 2m = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=m-4$，常数项$c=-2m$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
代入得：$(m-4)^2 - 4×2×(-2m) = 0$
展开化简：$m^2 -8m +16 +16m = 0$，即$(m+4)^2=0$
解得$m=-4$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判定
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题方法灵活，计算难度低，解题时需注意符号运算，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 在直角坐标系中,将点$A(1,1)$绕原点沿顺时针方向旋转$45°$到$A'$,则$A'$的坐标是（）
A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,\sqrt{2})$
A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,\sqrt{2})$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此OA'=OA。解题第一步先通过勾股定理计算OA的长度；第二步分析点A的位置，判断OA与x轴正方向的夹角；第三步结合顺时针旋转45°的条件，确定旋转后A'的位置，最终推导得到A'的坐标。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知点A坐标为(1,1)，由勾股定理可得 $ OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $。根据旋转的性质，旋转前后对应点到原点的距离不变，因此 $ OA' = OA = \sqrt{2} $。
2. 判断OA与x轴正半轴的夹角：点A在第一象限，且横、纵坐标数值相等，因此OA与x轴正半轴的夹角为45°。
3. 确定A'的坐标：将OA绕原点顺时针旋转45°后，OA'与x轴正半轴的夹角为 $ 45° - 45° = 0° $，即A'落在x轴正半轴上，因此A'的纵坐标为0，横坐标等于OA'的长度$ \sqrt{2} $，即A'的坐标为$ (\sqrt{2},0) $。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；旋转的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查旋转的性质，结合点的坐标与线段夹角的关系即可快速求解，解题的关键是先判断原线段OA与x轴的夹角度数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此OA'=OA。解题第一步先通过勾股定理计算OA的长度；第二步分析点A的位置，判断OA与x轴正方向的夹角；第三步结合顺时针旋转45°的条件，确定旋转后A'的位置，最终推导得到A'的坐标。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知点A坐标为(1,1)，由勾股定理可得 $ OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $。根据旋转的性质，旋转前后对应点到原点的距离不变，因此 $ OA' = OA = \sqrt{2} $。
2. 判断OA与x轴正半轴的夹角：点A在第一象限，且横、纵坐标数值相等，因此OA与x轴正半轴的夹角为45°。
3. 确定A'的坐标：将OA绕原点顺时针旋转45°后，OA'与x轴正半轴的夹角为 $ 45° - 45° = 0° $，即A'落在x轴正半轴上，因此A'的纵坐标为0，横坐标等于OA'的长度$ \sqrt{2} $，即A'的坐标为$ (\sqrt{2},0) $。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；旋转的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查旋转的性质，结合点的坐标与线段夹角的关系即可快速求解，解题的关键是先判断原线段OA与x轴的夹角度数。
【难度系数】
0.8
5.设反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0).已知当$-6≤x≤-2$时，y的最大值为-1，则当$2≤x≤3$时，y的最大值为（）
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{2}{3}$
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
首先要先确定反比例函数中k的正负，结合给定的x取值范围和y的最大值分析：若k＜0，当x为负数时，y的值为正数，与题目给出的y最大值为-1矛盾，因此k＞0。k＞0时，反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，因此在x∈[-6,-2]（第三象限）时，y的最大值出现在x最小的位置，代入即可求出k的值。再根据k＞0时第一象限的增减性，求出x∈[2,3]时y的最大值即可。
【解析】
第一步：判断k的符号
若$k＜0$，当$x＜0$时，$y=\frac{k}{x}＞0$，与题干中y的最大值为-1矛盾，因此$k＞0$。
第二步：求k的值
当$k＞0$时，反比例函数在第三象限内y随x的增大而减小，因此在$-6≤x≤-2$范围内，x取最小值-6时，y取得最大值-1。
将$x=-6$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-1=\frac{k}{-6}$
解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
第三步：求$2≤x≤3$时y的最大值
当$k＞0$时，反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，因此在$2≤x≤3$范围内，x取最小值2时，y取得最大值。
将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：
$y=\frac{6}{2}=3$
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数解析式的确定
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是先根据已知区间的最值判断k的正负，再结合不同象限的增减性求对应区间的最值，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可跨象限比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
首先要先确定反比例函数中k的正负，结合给定的x取值范围和y的最大值分析：若k＜0，当x为负数时，y的值为正数，与题目给出的y最大值为-1矛盾，因此k＞0。k＞0时，反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，因此在x∈[-6,-2]（第三象限）时，y的最大值出现在x最小的位置，代入即可求出k的值。再根据k＞0时第一象限的增减性，求出x∈[2,3]时y的最大值即可。
【解析】
第一步：判断k的符号
若$k＜0$，当$x＜0$时，$y=\frac{k}{x}＞0$，与题干中y的最大值为-1矛盾，因此$k＞0$。
第二步：求k的值
当$k＞0$时，反比例函数在第三象限内y随x的增大而减小，因此在$-6≤x≤-2$范围内，x取最小值-6时，y取得最大值-1。
将$x=-6$，$y=-1$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$-1=\frac{k}{-6}$
解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
第三步：求$2≤x≤3$时y的最大值
当$k＞0$时，反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，因此在$2≤x≤3$范围内，x取最小值2时，y取得最大值。
将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得：
$y=\frac{6}{2}=3$
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数解析式的确定
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是先根据已知区间的最值判断k的正负，再结合不同象限的增减性求对应区间的最值，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可跨象限比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
6. 如图，OA为$\odot O$的半径，B，C为$\odot O$上的点，连接AB，BC，CD为$\odot O$的切线，C为切点，CD交OA的延长线于点D.若$∠ ABC=25°$，则$∠ CDO$的度数为 （）
A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$75°$
第6小题图
第7小题图
A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$75°$
第6小题图
第7小题图
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 遇到切线相关问题，优先连接过切点的半径，利用切线性质得到直角；2. 已知圆周角∠ABC的度数，依据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出对应圆心角∠COD的度数；3. 在直角三角形OCD中，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算得到∠CDO的度数。
【解析】
连接OC，
∵ CD是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠COD是弧AC所对的圆心角，
∴ ∠COD=2∠ABC=2×25°=50°，
在Rt△OCD中，∠CDO + ∠COD = 90°，
∴ ∠CDO=90°-50°=40°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查核心知识点的综合应用，解题的关键是正确连接辅助线OC，将已知角度和待求角度转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 遇到切线相关问题，优先连接过切点的半径，利用切线性质得到直角；2. 已知圆周角∠ABC的度数，依据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出对应圆心角∠COD的度数；3. 在直角三角形OCD中，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算得到∠CDO的度数。
【解析】
连接OC，
∵ CD是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠COD是弧AC所对的圆心角，
∴ ∠COD=2∠ABC=2×25°=50°，
在Rt△OCD中，∠CDO + ∠COD = 90°，
∴ ∠CDO=90°-50°=40°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查核心知识点的综合应用，解题的关键是正确连接辅助线OC，将已知角度和待求角度转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图，$AD⊥ DB$，原传送带AB与地面DB的夹角为$30°$，长为8 m. 为了缩短货物传送距离，工人师傅想要增大传送带与地面的夹角，将其由$30°$改为$45°$，则新传送带AC的长度为（）
A.4 m
B.$4\sqrt{2}$ m
C.6 m
D.无法计算
A.4 m
B.$4\sqrt{2}$ m
C.6 m
D.无法计算
答案
B
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题核心是抓住传送带调整前后，A点到地面的垂直高度AD保持不变这一隐含条件。首先在原直角三角形ABD中，利用30°角的三角函数值求出高度AD，再在新的直角三角形ACD中，利用45°角的三角函数值计算出新传送带AC的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=8m，
∴$AD = AB·\sin30° = 8×\frac{1}{2} = 4\mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AD=4m，
∵$\sin45°=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC = \frac{AD}{\sin45°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于实际场景下的解直角三角形基础题，解题的关键是准确找到调整前后不变的竖直高度，再结合特殊角的三角函数值计算即可，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题核心是抓住传送带调整前后，A点到地面的垂直高度AD保持不变这一隐含条件。首先在原直角三角形ABD中，利用30°角的三角函数值求出高度AD，再在新的直角三角形ACD中，利用45°角的三角函数值计算出新传送带AC的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=8m，
∴$AD = AB·\sin30° = 8×\frac{1}{2} = 4\mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AD=4m，
∵$\sin45°=\frac{AD}{AC}$，
∴$AC = \frac{AD}{\sin45°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于实际场景下的解直角三角形基础题，解题的关键是准确找到调整前后不变的竖直高度，再结合特殊角的三角函数值计算即可，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
