8. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,AE与BD相交于点G,则$\frac{BG}{OD}$的值为 （）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

C

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分。观察图形发现AD与BC平行，可得到△ADG和△EBG相似，先通过相似三角形的性质求出BG与GD的比值，再结合OD是BD一半的性质，即可求出BG与OD的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，对角线BD、AC交于点O，故$OD=OB=\frac{1}{2}BD$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$。
∵AD//BE，
∴∠GAD=∠GEB，∠GDA=∠GBE，
∴△ADG∽△EBG。
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$。
设BG=k，则GD=2k，
∴BD=BG+GD=3k，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{3k}{2}$，
∴$\frac{BG}{OD}=\frac{k}{\frac{3k}{2}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何比值计算类题目，解题的核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例、平行四边形对角线互相平分的性质推导比值，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6

9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲行几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步，乙的速度为3步.乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时甲走的步数是（）

A.10.5步
B.16.5步
C.24.5步
D.25.5步

C

【分析】
本题是行程问题与勾股定理结合的实际应用题，解题思路如下：①首先明确两人同时出发到相遇所用时间相同，可设相遇时间为t，分别表示出乙行走的总路程、甲行走的总路程；②分析运动路径：乙向东走的路程、甲向南走的10步、甲斜向走的路程刚好构成直角三角形的三条边，其中甲斜向走的路程为甲总路程减10，乙走的路程和10步为两条直角边；③利用勾股定理列方程求解时间t，再计算甲走的总步数即可。
【解析】
设经过时间t后甲、乙两人相遇。
由两人速度可知：相遇时乙一共向东走了3t步，甲一共走了7t步，因此甲斜向北偏东方向走的路程为$(7t - 10)$步。
根据运动方向可知，甲向南走的10步、乙向东走的3t步、甲斜向走的$(7t-10)$步构成直角三角形，其中$(7t-10)$为斜边，由勾股定理得：
$10^2 + (3t)^2 = (7t - 10)^2$
展开等式右侧：$100 + 9t^2 = 49t^2 - 140t + 100$
移项整理得：$40t^2 - 140t = 0$
提取公因式得：$10t(4t - 14) = 0$
解得$t=0$（不符合实际，舍去）或$t=3.5$
因此相遇时甲走的步数为$7 × 3.5 = 24.5$步。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；行程问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合传统数学典籍命题，将实际行程问题转化为几何模型，考查学生的数学建模能力和方程思想的应用，解题关键是准确梳理运动路径，构造直角三角形并列对等量关系。
【难度系数】
0.65

10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度$ h $（单位：m）与小球运动的时间$ t $（单位：s）之间的函数关系如图所示。下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球运动的时间为6 s；③小球抛出3 s时，速度为0；④当$ t=1.5 $ s时，小球的高度$ h=30 $ m。其中正确的是（）

A.②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

第10小题图

B

【分析】
本题考查二次函数在竖直上抛运动中的应用，解题思路如下：1. 先从图像中提取关键信息：函数顶点为(3,40)，与横轴交点为(0,0)、(6,0)；2. 逐个判断四个结论：①路程是上升和下落的总长度，不是最大高度；②t=6时h=0，说明小球落地，可得运动总时间；③3s是最高点，竖直上抛到最高点时速度为0；④用待定系数法求出二次函数解析式，代入t=1.5计算h的值即可判断。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 分析结论①：由图可知小球上升的最大高度为40m，下落过程也会经过40m回到地面，总路程为$40×2=80\mathrm{m}$，故①错误；
2. 分析结论②：当$t=6\mathrm{s}$时，高度$h=0$，说明小球落回地面，因此小球运动的总时间为6s，故②正确；
3. 分析结论③：$t=3\mathrm{s}$时小球到达最高点，竖直上抛运动到最高点时瞬时速度为0，故③正确；
4. 分析结论④：设高度$h$关于时间$t$的二次函数解析式为顶点式$ h=a(t-3)^2+40(a≠0) $，将点$(0,0)$代入解析式得：
$ 0=a×(0-3)^2+40 $，解得$ a=-\frac{40}{9} $，
因此解析式为$ h=-\frac{40}{9}(t-3)^2+40 $。
当$ t=1.5\ \mathrm{s} $时，代入得：
$ h=-\frac{40}{9}×(1.5-3)^2 +40=-\frac{40}{9}×2.25 +40=-10+40=30\ \mathrm{m} $，故④正确。
综上，②③④正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象与性质
【点评】
本题结合生活中的抛球运动考查二次函数的相关知识，需要学生具备从图象中提取有效信息的能力，同时要注意区分路程和高度两个概念，熟练掌握用顶点式求解二次函数解析式的方法。
【难度系数】
0.7

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.计算：$\tan 60°\sin 60°-\cos^2 45°=$.

解：
原式$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} - ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2$
$=\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
$=1$

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值与实数混合运算的结合，解题思路如下：第一步先准确回忆$\tan60°$、$\sin60°$、$\cos45°$对应的数值；第二步将数值代入原式，按照运算优先级先计算乘法和乘方运算；第三步计算减法得到最终结果，计算过程中注意遵循二次根式的运算规则，避免计算失误。
【解析】
首先代入各特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以原式$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} - ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2$
分别计算乘法和乘方：$\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$，$( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
再计算减法：$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆准确性，运算时按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可，属于考试中的常见得分题型，计算时注意二次根式的乘方、乘法运算规则即可避免失分。
【难度系数】
0.9

12.已知关于$x$的方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，若$x_1+x_2=7$，则$m$的值为________.

解：
∵ 方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
化简得$\Delta=-4m+1≥0$，
解得$m≤ \frac{1}{4}$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-(2m-1)=1-2m$，
又$x_1+x_2=7$，
∴ $1-2m=7$，
解得$m=-3$。
∵ $-3≤ \frac{1}{4}$，符合条件，
∴ $m$的值为$\boldsymbol{-3}$。

【分析】
解题时首先要明确已知条件：该方程是一元二次方程且有两个实数根，因此首先要满足判别式Δ≥0，这是参数m的隐含取值范围，可避免求出增根；其次已知两根之和，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和关于m的表达式，令其等于7建立方程求解m，最后将求出的m代入判别式的范围验证，符合条件的就是最终结果。
【解析】
∵ 方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
化简得$\Delta=-4m+1≥0$，
解得$m≤ \frac{1}{4}$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-(2m-1)=1-2m$，
又已知$x_1+x_2=7$，
∴ $1-2m=7$，
解得$m=-3$。
∵ $-3≤ \frac{1}{4}$，满足方程有两个实根的条件，
∴ $m$的值为$-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系（韦达定理） 3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础考法，核心易错点是容易忽略判别式的验证步骤，若求出的参数不符合判别式要求属于增根需要舍去，掌握判别式和韦达定理的应用规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在△ABC中,四边形ADEF是菱形,AB=15,AC=10,那么CF=.

第13小题图

第14小题图
第15小题图

$\boldsymbol{4}$

【分析】
解题时先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，且对边互相平行。由EF//AB可推出△CFE与△CAB相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，设CF为未知数列方程即可求解。
【解析】
设$CF=x$。
∵四边形ADEF是菱形，
∴$EF=AF$，且$EF// AB$，
∴$∠ CFE=∠ CAB$，$∠ CEF=∠ CBA$，
∴$△ CFE ∽ △ CAB$，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{AB}$。
又
∵$AF=AC-CF=10-x$，
∴$EF=10-x$，
将$AB=15$，$AC=10$代入比例式得：
$\frac{x}{10}=\frac{10-x}{15}$，
交叉相乘得：$15x=10(10-x)$，
整理得：$25x=100$，
解得：$x=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过菱形对边平行的性质构造相似三角形，再结合比例关系列方程求解，能很好地考查学生对几何性质和方程思想的结合应用能力。
【难度系数】
0.7

14.如图,在正方形网格中,点A,B,C是小正方形的顶点,那么$\tan∠ BAC$的值为.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
要求∠BAC的正切值，我们可以先构造包含∠BAC的三角形：首先设每个小正方形的边长为1，连接BC，利用勾股定理分别计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，得到∠BAC的度数，最后代入特殊角的三角函数值即可求解。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，连接BC。
根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AB^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，$BC^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，$AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
∴$AB^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AC^2$，且$AB=BC=\sqrt{5}$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴$\tan∠BAC=\tan45°=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的关键是通过连接格点构造三角形，利用勾股定理及逆定理判断三角形的形状，是三角函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=36°$，动点$P$从点$A$出发，沿折线$A\rightarrow B\rightarrow C$匀速运动至点$C$停止.若点$P$的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$AP$的长度为$y\ \mathrm{cm}$，$y$与$t$的函数图象如图所示.当$AP$恰好平分$∠ BAC$时，$t$的值为$\mathrm{s}$.

$\boldsymbol{2+2\sqrt{5}}$

【分析】
解题可按以下步骤思考：①先分析动点运动过程与函数图象的对应关系：P沿A→B→C运动，第一段对应P在AB上，AP长度等于运动路程，可得AB=4cm；第二段对应P在BC上，总运动时间为8s，可得BC=4cm，因此AB=BC，△ABC为等腰三角形。②当AP平分∠BAC时，通过角度计算可推导出△ABP和△APC均为等腰三角形，得到BP=AC的等量关系。③证明△CAP与△CBA相似，利用相似三角形的性质列方程求出BP的长度，最后用总路程除以速度即可得到t的值。
【解析】
1. 由函数图象和动点运动规律可知：P从A到B的运动时间为4s，从B到C的运动时间也为4s，运动速度为1cm/s，因此$AB=1×4=4\ \mathrm{cm}$，$BC=1×4=4\ \mathrm{cm}$，即$AB=BC$。
2. 在$△ ABC$中，$∠ B=36°$，$AB=BC$，因此底角$∠ BAC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
3. 当$AP$平分$∠ BAC$时，$∠ BAP=∠ CAP=\frac{72°}{2}=36°$，因此$∠ BAP=∠ B=36°$，由等角对等边得$AP=BP$。
4. 由三角形外角性质得$∠ APC=∠ B+∠ BAP=36°+36°=72°$，因此$∠ APC=∠ C=72°$，由等角对等边得$AC=AP$，故$BP=AC$。
5. 设$BP=x$，则$AC=x$，$PC=BC-BP=4-x$。
6. 在$△ CAP$和$△ CBA$中：$∠ C$为公共角，$∠ CAP=∠ B=36°$，因此$△ CAP ∽ △ CBA$（两角对应相等，两三角形相似）。
7. 由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AC}{BC}=\frac{PC}{AC}$，即$AC^2=BC· PC$，代入得$x^2=4(4-x)$，整理得$x^2+4x-16=0$。
8. 解一元二次方程得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}$，舍去负根得$x=2\sqrt{5}-2$，即$BP=2\sqrt{5}-2\ \mathrm{cm}$。
9. 点P运动的总路程为$AB+BP=4+(2\sqrt{5}-2)=2+2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，因此$t=\frac{2+2\sqrt{5}}{1}=2+2\sqrt{5}\ \mathrm{s}$。
【答案】
$\boldsymbol{2+2\sqrt{5}}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象
【点评】
本题综合考查了动点函数图象、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是准确提取函数图象中的线段长度信息，通过角度推导得到线段等量关系，结合相似列方程求解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(5分)计算：$4×\sqrt{\frac{1}{2}}-(2-\sqrt{3})^0+|4-\sqrt{8}|.$

解：
原式$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + |4 - 2\sqrt{2}|$
$=2\sqrt{2} - 1 + 4 - 2\sqrt{2}$
$=3$

【分析】
本题属于实数混合运算题，解题遵循“先拆分运算项分别化简，再合并计算”的思路：第一步逐一处理每个运算单元：①二次根式乘法项：先将√(1/2)化为最简二次根式，再和4相乘；②零指数幂项：根据非零数的零次幂等于1，可得(2-√3)⁰=1；③绝对值项：先将√8化简为2√2，判断得4＞2√2，因此绝对值内结果为正，去绝对值后等于本身4-2√2；第二步将化简后的各项合并，消去同类二次根式，计算常数项的和即可得到结果。
【解析】
原式$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + |4 - 2\sqrt{2}|$
$=2\sqrt{2} - 1 + 4 - 2\sqrt{2}$
$=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(-1+4)$
$=3$
【答案】
$3$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂运算，绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，核心考查多个基础运算规则的综合应用，解题时注意先判断绝对值内代数式的正负，牢记零指数幂的适用条件，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8