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17.(6分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是AB的中点.过D点作AB的垂线交AC于点E,若$BC=6$,$\sin A=\dfrac{3}{5}$,求DE的长.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore AB=6÷\dfrac{3}{5}=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=90°=∠ ACB$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{5}{8}$，
解得$DE=\dfrac{15}{4}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore AB=6÷\dfrac{3}{5}=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=90°=∠ ACB$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{5}{8}$，
解得$DE=\dfrac{15}{4}$。
解析
【分析】
本题可按以下思路逐步求解：第一步，先在Rt△ABC中，结合已知的sinA的值与BC的长度，利用锐角三角函数的定义求出斜边AB的长；第二步，运用勾股定理计算出直角边AC的长度；第三步，根据D是AB中点的条件求出AD的长度；第四步，通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADE与△ACB相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出DE的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore AB=6÷\dfrac{3}{5}=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=90°=∠ ACB$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{5}{8}$，
解得$DE=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将解直角三角形与相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等式求解，解题时需注意边长计算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题可按以下思路逐步求解：第一步，先在Rt△ABC中，结合已知的sinA的值与BC的长度，利用锐角三角函数的定义求出斜边AB的长；第二步，运用勾股定理计算出直角边AC的长度；第三步，根据D是AB中点的条件求出AD的长度；第四步，通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADE与△ACB相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出DE的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，
$\therefore AB=6÷\dfrac{3}{5}=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\because ED⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=90°=∠ ACB$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{DE}{6}=\dfrac{5}{8}$，
解得$DE=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将解直角三角形与相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等式求解，解题时需注意边长计算的准确性。
【难度系数】
0.7
18.(6分)为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动.学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计，发现各班参加夏令营的学生分别有1名、2名、3名、4名、5名、6名，共六种情况，并制成了两幅不完整的统计图.
(1)有3名学生参加夏令营的班级所对应的扇形圆心角度数为；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有80个班级，估计全校有名参加夏令营的学生；
(4)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选2名学生参加活动总结会.请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率.
A E C
第17小题图
第18小题图
(1)有3名学生参加夏令营的班级所对应的扇形圆心角度数为；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有80个班级，估计全校有名参加夏令营的学生；
(4)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选2名学生参加活动总结会.请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率.
A E C
第17小题图
第18小题图
答案
解：
(1) 总班级数为 $4÷20\% = 20$，
有3名学生参加夏令营的班级对应的扇形圆心角度数为 $\frac{3}{20}×360° = 54°$。
答案：$\boldsymbol{54°}$
(2) 人数为2名的班级个数为 $20 - 2 - 3 - 4 - 5 - 4 = 2$，
在条形统计图中，横坐标为“2名”的位置绘制高度为2的条形，与纵轴刻度2对齐，补全图形即可。
(3) 样本中20个班级参加夏令营的总人数为：
$1×2 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×4 = 80$，
平均每班参加人数为 $80÷20 = 4$，
估计全校参加夏令营的学生总数为 $80×4 = 320$。
答案：$\boldsymbol{320}$
(4) 由题意，只有2名学生参加夏令营的班级共2个，共4名学生，设第一个班的两名学生为A、B，第二个班的两名学生为C、D。
画树状图如下：
```
开始
|
+---第一个学生：A
| |
| +---第二个学生：B、C、D
|
+---第一个学生：B
| |
| +---第二个学生：A、C、D
|
+---第一个学生：C
| |
| +---第二个学生：A、B、D
|
+---第一个学生：D
|
+---第二个学生：A、B、C
```
共有12种等可能的结果，其中两名学生来自同一个班级的结果有4种：$(A,B),(B,A),(C,D),(D,C)$。
所以所选两名学生恰好来自同一个班级的概率为 $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(1) 总班级数为 $4÷20\% = 20$，
有3名学生参加夏令营的班级对应的扇形圆心角度数为 $\frac{3}{20}×360° = 54°$。
答案：$\boldsymbol{54°}$
(2) 人数为2名的班级个数为 $20 - 2 - 3 - 4 - 5 - 4 = 2$，
在条形统计图中，横坐标为“2名”的位置绘制高度为2的条形，与纵轴刻度2对齐，补全图形即可。
(3) 样本中20个班级参加夏令营的总人数为：
$1×2 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×4 = 80$，
平均每班参加人数为 $80÷20 = 4$，
估计全校参加夏令营的学生总数为 $80×4 = 320$。
答案：$\boldsymbol{320}$
(4) 由题意，只有2名学生参加夏令营的班级共2个，共4名学生，设第一个班的两名学生为A、B，第二个班的两名学生为C、D。
画树状图如下：
```
开始
|
+---第一个学生：A
| |
| +---第二个学生：B、C、D
|
+---第一个学生：B
| |
| +---第二个学生：A、C、D
|
+---第一个学生：C
| |
| +---第二个学生：A、B、D
|
+---第一个学生：D
|
+---第二个学生：A、B、C
```
共有12种等可能的结果，其中两名学生来自同一个班级的结果有4种：$(A,B),(B,A),(C,D),(D,C)$。
所以所选两名学生恰好来自同一个班级的概率为 $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题是统计与概率结合的综合题，解题思路如下：
(1) 求3名学生参加的班级对应扇形圆心角，需先根据“4名学生的班级有4个、占比20%”算出统计的总班级数，再用3名学生的班级数占总班级数的比例乘360°即可得到圆心角度数；
(2) 补全条形图，需用总班级数减去其余五种情况的班级数，得到2名学生参加的班级个数，再绘制对应高度的条形即可；
(3) 估计全校参加人数，先计算抽取的20个班级的总参加人数，算出平均每班参加人数，再乘全校总班级数80即可；
(4) 求概率，先确定2名学生参加的班级共2个、合计4名学生，通过树状图列出所有等可能的结果，再找出两名学生来自同一班级的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 首先计算统计的总班级数：已知有4名学生参加的班级共4个，占比20%，因此总班级数为 $4÷20\%=20$ 个；
有3名学生参加的班级共3个，其对应扇形圆心角度数为 $\frac{3}{20}×360°=54°$。
(2) 计算有2名学生参加的班级个数：$20-2-3-4-5-4=2$ 个，在条形统计图中对应“2名”的位置绘制高度为2的条形，与纵轴刻度2对齐即可补全图形。
(3) 先计算抽取的20个班级参加夏令营的总人数：$1×2 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×4=80$ 人，
平均每班参加人数为 $80÷20=4$ 人，
全校共80个班级，因此估计全校参加夏令营的学生总数为 $80×4=320$ 人。
(4) 由题可知，只有2名学生参加夏令营的班级共2个，合计4名学生，设第一个班的两名学生为A、B，第二个班的两名学生为C、D，画树状图如下：
```
开始
|
+---第一个学生：A
| |
| +---第二个学生：B、C、D
|
+---第一个学生：B
| |
| +---第二个学生：A、C、D
|
+---第一个学生：C
| |
| +---第二个学生：A、B、D
|
+---第一个学生：D
|
+---第二个学生：A、B、C
```
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种：$(A,B),(B,A),(C,D),(D,C)$，
因此所选两名学生恰好来自同一个班级的概率 $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{54°}$
(2) 在条形统计图“2名”对应位置绘制高度为2的条形即可
(3) $\boldsymbol{320}$
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 统计图的应用
2. 用样本估计总体
3. 概率计算
【点评】
本题结合校园实际活动场景命题，综合考查统计与概率的核心知识点，要求学生具备从统计图中提取有效信息的能力，计算过程需细心，概率求解部分要注意等可能结果的枚举不要遗漏或重复，考查内容贴合课标要求，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题是统计与概率结合的综合题，解题思路如下：
(1) 求3名学生参加的班级对应扇形圆心角，需先根据“4名学生的班级有4个、占比20%”算出统计的总班级数，再用3名学生的班级数占总班级数的比例乘360°即可得到圆心角度数；
(2) 补全条形图，需用总班级数减去其余五种情况的班级数，得到2名学生参加的班级个数，再绘制对应高度的条形即可；
(3) 估计全校参加人数，先计算抽取的20个班级的总参加人数，算出平均每班参加人数，再乘全校总班级数80即可；
(4) 求概率，先确定2名学生参加的班级共2个、合计4名学生，通过树状图列出所有等可能的结果，再找出两名学生来自同一班级的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 首先计算统计的总班级数：已知有4名学生参加的班级共4个，占比20%，因此总班级数为 $4÷20\%=20$ 个；
有3名学生参加的班级共3个，其对应扇形圆心角度数为 $\frac{3}{20}×360°=54°$。
(2) 计算有2名学生参加的班级个数：$20-2-3-4-5-4=2$ 个，在条形统计图中对应“2名”的位置绘制高度为2的条形，与纵轴刻度2对齐即可补全图形。
(3) 先计算抽取的20个班级参加夏令营的总人数：$1×2 + 2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×5 + 6×4=80$ 人，
平均每班参加人数为 $80÷20=4$ 人，
全校共80个班级，因此估计全校参加夏令营的学生总数为 $80×4=320$ 人。
(4) 由题可知，只有2名学生参加夏令营的班级共2个，合计4名学生，设第一个班的两名学生为A、B，第二个班的两名学生为C、D，画树状图如下：
```
开始
|
+---第一个学生：A
| |
| +---第二个学生：B、C、D
|
+---第一个学生：B
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| +---第二个学生：A、C、D
|
+---第一个学生：C
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| +---第二个学生：A、B、D
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+---第一个学生：D
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+---第二个学生：A、B、C
```
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种：$(A,B),(B,A),(C,D),(D,C)$，
因此所选两名学生恰好来自同一个班级的概率 $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{54°}$
(2) 在条形统计图“2名”对应位置绘制高度为2的条形即可
(3) $\boldsymbol{320}$
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 统计图的应用
2. 用样本估计总体
3. 概率计算
【点评】
本题结合校园实际活动场景命题，综合考查统计与概率的核心知识点，要求学生具备从统计图中提取有效信息的能力，计算过程需细心，概率求解部分要注意等可能结果的枚举不要遗漏或重复，考查内容贴合课标要求，实用性较强。
【难度系数】
0.7
19.(10分)如图，直线$y_1=-x+4$，$y_2=\frac{3}{4}x+b$都与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于点$A(1,m)$，这两条直线分别与$x$轴交于$B$，$C$两点.
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)直接写出当$x＞0$时，不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集；
(3)若点$P$在$x$轴上，连接$AP$，把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，求此时点$P$的坐标.
第19小题图
(1)求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)直接写出当$x＞0$时，不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集；
(3)若点$P$在$x$轴上，连接$AP$，把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，求此时点$P$的坐标.
第19小题图
答案
解：
(1) 把$A(1,m)$代入$y_1=-x+4$，得$m=-1+4=3$，
$\therefore A(1,3)$，
将$A(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$。
(3) 对于$y_1=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，$\therefore B(4,0)$，
对于$y_2=\frac{3}{4}x+b$，代入$A(1,3)$得$b=\frac{9}{4}$，令$y=0$，得$x=-3$，$\therefore C(-3,0)$，
$\therefore BC=4-(-3)=7$，
$\because AP$把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，且$△ APC$与$△ APB$同高（高为点$A$到$x$轴的距离），
$\therefore CP:PB=1:3$或$CP:PB=3:1$，
① 当$CP:PB=1:3$时，$CP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$，点$P$的横坐标为$-3+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$，即$P(-\frac{5}{4},0)$；
② 当$CP:PB=3:1$时，$CP=\frac{3}{4}BC=\frac{21}{4}$，点$P$的横坐标为$-3+\frac{21}{4}=\frac{9}{4}$，即$P(\frac{9}{4},0)$。
综上，点$P$的坐标为$(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$。
(1) 把$A(1,m)$代入$y_1=-x+4$，得$m=-1+4=3$，
$\therefore A(1,3)$，
将$A(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$。
(3) 对于$y_1=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，$\therefore B(4,0)$，
对于$y_2=\frac{3}{4}x+b$，代入$A(1,3)$得$b=\frac{9}{4}$，令$y=0$，得$x=-3$，$\therefore C(-3,0)$，
$\therefore BC=4-(-3)=7$，
$\because AP$把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，且$△ APC$与$△ APB$同高（高为点$A$到$x$轴的距离），
$\therefore CP:PB=1:3$或$CP:PB=3:1$，
① 当$CP:PB=1:3$时，$CP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$，点$P$的横坐标为$-3+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$，即$P(-\frac{5}{4},0)$；
② 当$CP:PB=3:1$时，$CP=\frac{3}{4}BC=\frac{21}{4}$，点$P$的横坐标为$-3+\frac{21}{4}=\frac{9}{4}$，即$P(\frac{9}{4},0)$。
综上，点$P$的坐标为$(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$。
解析
【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需先求其经过的点A的坐标：已知点A在直线$y_1=-x+4$上，代入x=1即可求出m，得到A点坐标后再代入反比例函数表达式即可求出k，得到解析式。
(2) 不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是x＞0时，直线$y_2$的图像在反比例函数图像上方对应的x的取值范围，结合两函数交点A的横坐标，观察图像可直接得到解集。
(3) 先求B、C两点坐标：令$y_1=0$求出B点坐标，将A点坐标代入$y_2$求出b后，再令$y_2=0$求出C点坐标，得到BC的长度。由于△APC和△APB同高（高为点A到x轴的距离），因此面积比等于底CP与PB的比，分$CP:PB=1:3$和$CP:PB=3:1$两种情况计算P点坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(1,m)$代入$y_1=-x+4$，得$m=-1+4=3$，
$\therefore A(1,3)$，
将$A(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 观察图像可知，当x＞0时，直线$y_2$在反比例函数图像上方的区域对应的x取值为$x＞1$，因此不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$。
(3) 对于$y_1=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，$\therefore B(4,0)$，
对于$y_2=\frac{3}{4}x+b$，代入$A(1,3)$得$\frac{3}{4}+b=3$，解得$b=\frac{9}{4}$，令$y=0$，得$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}=0$，解得$x=-3$，$\therefore C(-3,0)$，
$\therefore BC=4-(-3)=7$，
$\because AP$把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，且$△ APC$与$△ APB$同高，同高三角形的面积比等于底的比，
$\therefore CP:PB=1:3$或$CP:PB=3:1$，
① 当$CP:PB=1:3$时，$CP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$，点P的横坐标为$-3+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$，即$P(-\frac{5}{4},0)$；
② 当$CP:PB=3:1$时，$CP=\frac{3}{4}BC=\frac{21}{4}$，点P的横坐标为$-3+\frac{21}{4}=\frac{9}{4}$，即$P(\frac{9}{4},0)$。
综上，点P的坐标为$(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}$；
(2) $x＞1$；
(3) $(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$
【知识点】
反比例函数解析式求解，函数与不等式，三角形面积比例
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数解析式的求法、数形结合思想和分类讨论思想，解题时要注意结合图像分析不等式的解集，分情况讨论面积比例对应的线段关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 要确定反比例函数解析式，需先求其经过的点A的坐标：已知点A在直线$y_1=-x+4$上，代入x=1即可求出m，得到A点坐标后再代入反比例函数表达式即可求出k，得到解析式。
(2) 不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是x＞0时，直线$y_2$的图像在反比例函数图像上方对应的x的取值范围，结合两函数交点A的横坐标，观察图像可直接得到解集。
(3) 先求B、C两点坐标：令$y_1=0$求出B点坐标，将A点坐标代入$y_2$求出b后，再令$y_2=0$求出C点坐标，得到BC的长度。由于△APC和△APB同高（高为点A到x轴的距离），因此面积比等于底CP与PB的比，分$CP:PB=1:3$和$CP:PB=3:1$两种情况计算P点坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把$A(1,m)$代入$y_1=-x+4$，得$m=-1+4=3$，
$\therefore A(1,3)$，
将$A(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2) 观察图像可知，当x＞0时，直线$y_2$在反比例函数图像上方的区域对应的x取值为$x＞1$，因此不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$。
(3) 对于$y_1=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，$\therefore B(4,0)$，
对于$y_2=\frac{3}{4}x+b$，代入$A(1,3)$得$\frac{3}{4}+b=3$，解得$b=\frac{9}{4}$，令$y=0$，得$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}=0$，解得$x=-3$，$\therefore C(-3,0)$，
$\therefore BC=4-(-3)=7$，
$\because AP$把$△ ABC$的面积分成$1:3$两部分，且$△ APC$与$△ APB$同高，同高三角形的面积比等于底的比，
$\therefore CP:PB=1:3$或$CP:PB=3:1$，
① 当$CP:PB=1:3$时，$CP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$，点P的横坐标为$-3+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$，即$P(-\frac{5}{4},0)$；
② 当$CP:PB=3:1$时，$CP=\frac{3}{4}BC=\frac{21}{4}$，点P的横坐标为$-3+\frac{21}{4}=\frac{9}{4}$，即$P(\frac{9}{4},0)$。
综上，点P的坐标为$(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{x}$；
(2) $x＞1$；
(3) $(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$
【知识点】
反比例函数解析式求解，函数与不等式，三角形面积比例
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数解析式的求法、数形结合思想和分类讨论思想，解题时要注意结合图像分析不等式的解集，分情况讨论面积比例对应的线段关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65
20.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证:$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$.
(2)若BD=2,BE=3,求$\tan∠ BAC$的值.
第20小题图
(1)求证:$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$.
(2)若BD=2,BE=3,求$\tan∠ BAC$的值.
第20小题图
答案
(1) 证明：
连接$AE$，
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
$\therefore \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$。
---
(2) 解：
连接$CD$，
由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，得$CE=BE=3$，
$\therefore BC=BE+CE=6$。
$\because$ 四边形$ADEC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BDE=∠ ACB$，
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
代入$BD=2$，$BC=6$，$BE=3$，得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BA}$，解得$BA=9$。
$\therefore AC=AB=9$，$AD=AB-BD=9-2=7$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$，即$CD⊥ AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \tan∠ BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
答：$\tan∠ BAC$的值为$\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
连接$AE$，
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
$\therefore \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$。
---
(2) 解：
连接$CD$，
由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，得$CE=BE=3$，
$\therefore BC=BE+CE=6$。
$\because$ 四边形$ADEC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BDE=∠ ACB$，
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
代入$BD=2$，$BC=6$，$BE=3$，得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BA}$，解得$BA=9$。
$\therefore AC=AB=9$，$AD=AB-BD=9-2=7$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$，即$CD⊥ AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \tan∠ BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
答：$\tan∠ BAC$的值为$\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
解析
【分析】
(1)要证明弧相等，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可先证明两角对应的圆周角相等。首先连接AE，利用直径所对的圆周角是直角得到AE⊥BC，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得AE平分∠BAC，进而得到两个圆周角相等，即可证得弧相等。
(2)要求$\tan∠BAC$的值，需要将∠BAC放在直角三角形中求解，因此连接CD，利用直径所对的圆周角是直角得到$\mathrm{Rt}△ADC$，只需求出CD和AD的长度即可。首先由第一问的弧相等可得CE=BE，得到BC的长度；再利用圆内接四边形的外角等于内对角，证明$△BDE∽△BCA$，通过相似比求出AB的长度，进而得到AD的长度，最后用勾股定理求出CD的长度，即可计算正切值。
【解析】
(1)证明：
连接$AE$，
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$。
(2)解：
连接$CD$，
由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，得$CE=BE=3$，
$\therefore BC=BE+CE=6$。
$\because$ 四边形$ADEC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BDE=∠ ACB$，
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
代入$BD=2$，$BC=6$，$BE=3$，得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BA}$，解得$BA=9$。
$\therefore AC=AB=9$，$AD=AB-BD=9-2=7$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$，即$CD⊥ AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \tan∠ BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$得证；
(2) $\frac{4\sqrt{2}}{7}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆中常见辅助线的构造方法，解题时可通过直径构造直角、利用相似三角形转化线段关系求解，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明弧相等，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可先证明两角对应的圆周角相等。首先连接AE，利用直径所对的圆周角是直角得到AE⊥BC，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得AE平分∠BAC，进而得到两个圆周角相等，即可证得弧相等。
(2)要求$\tan∠BAC$的值，需要将∠BAC放在直角三角形中求解，因此连接CD，利用直径所对的圆周角是直角得到$\mathrm{Rt}△ADC$，只需求出CD和AD的长度即可。首先由第一问的弧相等可得CE=BE，得到BC的长度；再利用圆内接四边形的外角等于内对角，证明$△BDE∽△BCA$，通过相似比求出AB的长度，进而得到AD的长度，最后用勾股定理求出CD的长度，即可计算正切值。
【解析】
(1)证明：
连接$AE$，
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$。
(2)解：
连接$CD$，
由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，得$CE=BE=3$，
$\therefore BC=BE+CE=6$。
$\because$ 四边形$ADEC$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BDE=∠ ACB$，
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ BDE ∽ △ BCA$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
代入$BD=2$，$BC=6$，$BE=3$，得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BA}$，解得$BA=9$。
$\therefore AC=AB=9$，$AD=AB-BD=9-2=7$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$，即$CD⊥ AB$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore \tan∠ BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{4\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$得证；
(2) $\frac{4\sqrt{2}}{7}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆中常见辅助线的构造方法，解题时可通过直径构造直角、利用相似三角形转化线段关系求解，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
21.(8分)随着移动互联网的普及,外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分.某天,小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品,外卖骑手收到商家派单后,立即赶往点K处取餐,然后进行配送.根据导航显示,点K在点A的南偏西$30°$方向$800\sqrt{2}$米处,点A在点B的北偏东$75°$方向,B,K两地相距$400\sqrt{5}$米($∠ ABK＜90°$),点C在点K的正西方向,点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{6}\approx2.45$)
(1)求AB的长度;
(2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送,由于道路K－A正在维修,骑手有两条送餐路线可选择:①$K-B-A$,速度为每分钟320米;②$K-D-A$,速度为每分钟240米.请通过计算说明:骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家?
第21小题图
(1)求AB的长度;
(2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送,由于道路K－A正在维修,骑手有两条送餐路线可选择:①$K-B-A$,速度为每分钟320米;②$K-D-A$,速度为每分钟240米.请通过计算说明:骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家?
第21小题图
答案
解：(1) 过点B作BE⊥AK于点E，
由题意得：∠BAK = 75° - 30° = 45°，
在Rt△ABE中，∠ABE = 45°，故AE = BE，
设AE = BE = x，
∵AK = 800√2，
∴KE = AK - AE = 800√2 - x，
在Rt△BKE中，由勾股定理得：
$BE^2 + KE^2 = BK^2$
代入已知BK = 400√5，得：
$x^2 + (800\sqrt{2} - x)^2 = (400\sqrt{5})^2$
整理得：$x^2 - 800\sqrt{2}x + 240000 = 0$，
解得：$x_1 = 600\sqrt{2}$，$x_2 = 200\sqrt{2}$。
∵∠ABK ＜ 90°，
∴$x_2 = 200\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴$AB = \sqrt{2} · AE = \sqrt{2} × 600\sqrt{2} = 1200$米。
(2) 路线①$K-B-A$的总路程为：
$KB + AB = 400\sqrt{5} + 1200$
所用时间：
$t_1 = \frac{400\sqrt{5} + 1200}{320} \approx \frac{400 × 2.24 + 1200}{320} = 6.55 \mathrm{ 分钟}$
在Rt△ADK中，∠KAD = 30°，∠ADK = 90°，AK = 800√2，
∴$KD = AK · \sin30° = 800\sqrt{2} × \frac{1}{2} = 400\sqrt{2}$，
$AD = AK · \cos30° = 800\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{6}$，
路线②$K-D-A$的总路程为：
$KD + AD = 400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}$
所用时间：
$t_2 = \frac{400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}}{240} \approx \frac{400 × 1.41 + 400 × 2.45}{240} \approx 6.43 \mathrm{ 分钟}$
∵$6.43 ＜ 6.55$，且两段路线从C到K的路程相同，时间一致，
∴骑手选择路线②$K-D-A$能更快地将外卖送到小惠家。
答：(1) AB的长度为1200米；(2) 骑手选择路线②$K-D-A$送餐更快。
由题意得：∠BAK = 75° - 30° = 45°，
在Rt△ABE中，∠ABE = 45°，故AE = BE，
设AE = BE = x，
∵AK = 800√2，
∴KE = AK - AE = 800√2 - x，
在Rt△BKE中，由勾股定理得：
$BE^2 + KE^2 = BK^2$
代入已知BK = 400√5，得：
$x^2 + (800\sqrt{2} - x)^2 = (400\sqrt{5})^2$
整理得：$x^2 - 800\sqrt{2}x + 240000 = 0$，
解得：$x_1 = 600\sqrt{2}$，$x_2 = 200\sqrt{2}$。
∵∠ABK ＜ 90°，
∴$x_2 = 200\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
∴$AB = \sqrt{2} · AE = \sqrt{2} × 600\sqrt{2} = 1200$米。
(2) 路线①$K-B-A$的总路程为：
$KB + AB = 400\sqrt{5} + 1200$
所用时间：
$t_1 = \frac{400\sqrt{5} + 1200}{320} \approx \frac{400 × 2.24 + 1200}{320} = 6.55 \mathrm{ 分钟}$
在Rt△ADK中，∠KAD = 30°，∠ADK = 90°，AK = 800√2，
∴$KD = AK · \sin30° = 800\sqrt{2} × \frac{1}{2} = 400\sqrt{2}$，
$AD = AK · \cos30° = 800\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{6}$，
路线②$K-D-A$的总路程为：
$KD + AD = 400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}$
所用时间：
$t_2 = \frac{400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}}{240} \approx \frac{400 × 1.41 + 400 × 2.45}{240} \approx 6.43 \mathrm{ 分钟}$
∵$6.43 ＜ 6.55$，且两段路线从C到K的路程相同，时间一致，
∴骑手选择路线②$K-D-A$能更快地将外卖送到小惠家。
答：(1) AB的长度为1200米；(2) 骑手选择路线②$K-D-A$送餐更快。
解析
【分析】
(1) 求AB长度时，先根据方位角关系算出∠BAK=45°，过B作BE⊥AK，将△ABK拆分为两个直角三角形：等腰Rt△ABE和Rt△BKE。设AE=BE=x，用AK的长度表示KE，再在Rt△BKE中利用勾股定理列方程求解x，结合∠ABK＜90°的条件舍去不符合题意的解，最后根据等腰直角三角形的边长关系求出AB即可。
(2) 比较两条路线快慢时，因C到K的路程、速度均相同，只需比较K到A段的耗时：先算出路线①K-B-A的总路程，除以速度得到时间t₁；再在Rt△ADK中利用30°角的三角函数分别求出KD、AD的长度，得到路线②的总路程，除以速度得到时间t₂，比较t₁和t₂的大小，时间短的路线更快。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AK于点E，
由方位角的性质可得：$∠ BAK = 75° - 30° = 45°$，
在Rt△ABE中，$∠ BAE=45°$，故$∠ ABE=45°$，即$AE = BE$，
设$AE = BE = x$米，
$\because AK = 800\sqrt{2}$米，
$\therefore KE = AK - AE = 800\sqrt{2} - x$，
在Rt△BKE中，由勾股定理得：$BE^2 + KE^2 = BK^2$，
将$BK = 400\sqrt{5}$代入得：
$x^2 + (800\sqrt{2} - x)^2 = (400\sqrt{5})^2$，
整理得：$x^2 - 800\sqrt{2}x + 240000 = 0$，
解得：$x_1 = 600\sqrt{2}$，$x_2 = 200\sqrt{2}$。
$\because ∠ ABK ＜ 90°$，经检验$x_2 = 200\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
$\therefore$在等腰Rt△ABE中，$AB = \sqrt{2} · AE = \sqrt{2} × 600\sqrt{2} = 1200$（米）。
(2) 两条路线均包含C到K的路程，该段路程、速度均相同，因此只需比较K到A段的耗时即可：
路线①$K-B-A$的总路程为：$KB + AB = 400\sqrt{5} + 1200$，
所用时间：
$t_1 = \frac{400\sqrt{5} + 1200}{320} \approx \frac{400 × 2.24 + 1200}{320} = 6.55$（分钟）。
在Rt△ADK中，$∠ KAD = 30°$，$∠ ADK = 90°$，$AK = 800\sqrt{2}$，
$\therefore KD = AK · \sin30° = 800\sqrt{2} × \frac{1}{2} = 400\sqrt{2}$，
$AD = AK · \cos30° = 800\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{6}$，
路线②$K-D-A$的总路程为：$KD + AD = 400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}$，
所用时间：
$t_2 = \frac{400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}}{240} \approx \frac{400 × 1.41 + 400 × 2.45}{240} \approx 6.43$（分钟）。
$\because 6.43 ＜ 6.55$，
$\therefore$骑手选择路线②$K-D-A$能更快送达。
【答案】
(1) AB的长度为1200米；(2) 骑手选择路线②$K-D-A$送餐更快。
【知识点】
方位角应用，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合外卖配送的生活场景，考查了方位角识别、勾股定理、解直角三角形的综合应用，需要学生能结合几何图形梳理角度与边长的数量关系，合理设未知数建立方程求解，同时要根据题设条件筛选符合要求的解，最后通过计算比较得出最优方案，对学生的逻辑分析能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求AB长度时，先根据方位角关系算出∠BAK=45°，过B作BE⊥AK，将△ABK拆分为两个直角三角形：等腰Rt△ABE和Rt△BKE。设AE=BE=x，用AK的长度表示KE，再在Rt△BKE中利用勾股定理列方程求解x，结合∠ABK＜90°的条件舍去不符合题意的解，最后根据等腰直角三角形的边长关系求出AB即可。
(2) 比较两条路线快慢时，因C到K的路程、速度均相同，只需比较K到A段的耗时：先算出路线①K-B-A的总路程，除以速度得到时间t₁；再在Rt△ADK中利用30°角的三角函数分别求出KD、AD的长度，得到路线②的总路程，除以速度得到时间t₂，比较t₁和t₂的大小，时间短的路线更快。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AK于点E，
由方位角的性质可得：$∠ BAK = 75° - 30° = 45°$，
在Rt△ABE中，$∠ BAE=45°$，故$∠ ABE=45°$，即$AE = BE$，
设$AE = BE = x$米，
$\because AK = 800\sqrt{2}$米，
$\therefore KE = AK - AE = 800\sqrt{2} - x$，
在Rt△BKE中，由勾股定理得：$BE^2 + KE^2 = BK^2$，
将$BK = 400\sqrt{5}$代入得：
$x^2 + (800\sqrt{2} - x)^2 = (400\sqrt{5})^2$，
整理得：$x^2 - 800\sqrt{2}x + 240000 = 0$，
解得：$x_1 = 600\sqrt{2}$，$x_2 = 200\sqrt{2}$。
$\because ∠ ABK ＜ 90°$，经检验$x_2 = 200\sqrt{2}$不符合题意，舍去，
$\therefore$在等腰Rt△ABE中，$AB = \sqrt{2} · AE = \sqrt{2} × 600\sqrt{2} = 1200$（米）。
(2) 两条路线均包含C到K的路程，该段路程、速度均相同，因此只需比较K到A段的耗时即可：
路线①$K-B-A$的总路程为：$KB + AB = 400\sqrt{5} + 1200$，
所用时间：
$t_1 = \frac{400\sqrt{5} + 1200}{320} \approx \frac{400 × 2.24 + 1200}{320} = 6.55$（分钟）。
在Rt△ADK中，$∠ KAD = 30°$，$∠ ADK = 90°$，$AK = 800\sqrt{2}$，
$\therefore KD = AK · \sin30° = 800\sqrt{2} × \frac{1}{2} = 400\sqrt{2}$，
$AD = AK · \cos30° = 800\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{6}$，
路线②$K-D-A$的总路程为：$KD + AD = 400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}$，
所用时间：
$t_2 = \frac{400\sqrt{2} + 400\sqrt{6}}{240} \approx \frac{400 × 1.41 + 400 × 2.45}{240} \approx 6.43$（分钟）。
$\because 6.43 ＜ 6.55$，
$\therefore$骑手选择路线②$K-D-A$能更快送达。
【答案】
(1) AB的长度为1200米；(2) 骑手选择路线②$K-D-A$送餐更快。
【知识点】
方位角应用，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合外卖配送的生活场景，考查了方位角识别、勾股定理、解直角三角形的综合应用，需要学生能结合几何图形梳理角度与边长的数量关系，合理设未知数建立方程求解，同时要根据题设条件筛选符合要求的解，最后通过计算比较得出最优方案，对学生的逻辑分析能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
