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22. (10分)某公司销售一款新型产品,该产品销售量y(万件)与售价x(元/件)之间存在图1(一条线段)所示的变化趋势,总成本P(万元)与销售量y(万件)之间存在图2所示的变化趋势.在图2中,当$6≤y＜10$时,图象可看成一条线段;当$10≤y≤16$时,图象可看成抛物线$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +m$图象的一部分.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)若销售量不超过10万件时,利润为42万元,求此时的售价为多少元/件;
(3)当售价为多少元时,利润最大?最大值是多少?(利润=销售总额－总成本)
第22小题图
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)若销售量不超过10万件时,利润为42万元,求此时的售价为多少元/件;
(3)当售价为多少元时,利润最大?最大值是多少?(利润=销售总额－总成本)
第22小题图
答案
解：
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$，将点$(6,16)$、$(16,6)$代入得：
$\begin{cases}6k + b = 16 \\16k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=22 \end{cases}$
∴ $y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)$
(2) 将点$(10,90)$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +m$，得：
$90 = -\frac{1}{5}×10^2 + 10×10 + m$
解得$m=10$。
当$6≤ y＜10$时，设$P$与$y$的函数解析式为$P=k_1y + b_1$，将点$(6,50)$、$(10,90)$代入得：
$\begin{cases}6k_1 + b_1 = 50 \\10k_1 + b_1 = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10 \\b_1=-10 \end{cases}$
∴ $P=10y -10 \quad (6≤ y＜10)$。
由题意，利润$W=xy-P=42$，将$y=-x+22$代入得：
$x(-x+22) - 10(-x+22) + 10 = 42$
整理得$x^2 -32x +252 = 0$，解得$x_1=14$，$x_2=18$。
∵ $y≤10$，即$-x+22≤10$，得$x≥12$，结合$6≤ x≤16$，$x=18$不符合题意舍去。
∴ 此时的售价为14元/件。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$6≤ y＜10$，即$12＜x≤16$时：
$W = xy - P = x(-x+22) - (10(-x+22)-10) = -x^2 +32x -210 = -(x-16)^2 +46$
∵ $-1＜0$，对称轴为$x=16$，
∴ 当$x=16$时，$W$取得最大值46。
② 当$10≤ y≤16$，即$6≤ x≤12$时：
将$y=-x+22$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +10$，得：
$W = xy - P = x(-x+22) - [-\frac{1}{5}(-x+22)^2 +10(-x+22)+10]$
整理得$W = -\frac{4}{5}(x-\frac{29}{2})^2 +30$，
∵ $-\frac{4}{5}＜0$，对称轴$x=14.5$在区间$6≤ x≤12$右侧，
∴ $W$在$6≤ x≤12$上随$x$增大而增大，当$x=12$时，$W$取得最大值30。
∵ $46＞30$，
∴ 当售价为16元/件时，利润最大，最大值是46万元。
答：(2) 此时售价为14元/件；(3) 当售价为16元时，利润最大，最大值为46万元。
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$，将点$(6,16)$、$(16,6)$代入得：
$\begin{cases}6k + b = 16 \\16k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=22 \end{cases}$
∴ $y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)$
(2) 将点$(10,90)$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +m$，得：
$90 = -\frac{1}{5}×10^2 + 10×10 + m$
解得$m=10$。
当$6≤ y＜10$时，设$P$与$y$的函数解析式为$P=k_1y + b_1$，将点$(6,50)$、$(10,90)$代入得：
$\begin{cases}6k_1 + b_1 = 50 \\10k_1 + b_1 = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10 \\b_1=-10 \end{cases}$
∴ $P=10y -10 \quad (6≤ y＜10)$。
由题意，利润$W=xy-P=42$，将$y=-x+22$代入得：
$x(-x+22) - 10(-x+22) + 10 = 42$
整理得$x^2 -32x +252 = 0$，解得$x_1=14$，$x_2=18$。
∵ $y≤10$，即$-x+22≤10$，得$x≥12$，结合$6≤ x≤16$，$x=18$不符合题意舍去。
∴ 此时的售价为14元/件。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$6≤ y＜10$，即$12＜x≤16$时：
$W = xy - P = x(-x+22) - (10(-x+22)-10) = -x^2 +32x -210 = -(x-16)^2 +46$
∵ $-1＜0$，对称轴为$x=16$，
∴ 当$x=16$时，$W$取得最大值46。
② 当$10≤ y≤16$，即$6≤ x≤12$时：
将$y=-x+22$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +10$，得：
$W = xy - P = x(-x+22) - [-\frac{1}{5}(-x+22)^2 +10(-x+22)+10]$
整理得$W = -\frac{4}{5}(x-\frac{29}{2})^2 +30$，
∵ $-\frac{4}{5}＜0$，对称轴$x=14.5$在区间$6≤ x≤12$右侧，
∴ $W$在$6≤ x≤12$上随$x$增大而增大，当$x=12$时，$W$取得最大值30。
∵ $46＞30$，
∴ 当售价为16元/件时，利润最大，最大值是46万元。
答：(2) 此时售价为14元/件；(3) 当售价为16元时，利润最大，最大值为46万元。
解析
【分析】
(1) 求y与x的一次函数解析式，已知图象过(6,16)和(16,6)两个点，采用待定系数法，设y=kx+b，代入两点坐标解二元一次方程组即可，注意标注x的取值范围。
(2) 先求总成本P的两段解析式：首先将(10,90)代入抛物线形式的P的表达式求出m的值，再用待定系数法求6≤y＜10时P的一次函数解析式。根据“利润=销售总额-总成本”，已知销售量y≤10万件，对应选用6≤y＜10的P的解析式，将y=-x+22代入利润公式列一元二次方程求解，最后结合x的取值范围舍去不符合题意的解。
(3) 分两种情况讨论利润最大值：第一种对应6≤y＜10（即12＜x≤16），代入对应段的P的解析式，将利润整理为关于x的二次函数，结合开口方向和自变量范围求最值；第二种对应10≤y≤16（即6≤x≤12），代入抛物线形式的P的解析式，整理为关于x的二次函数，结合开口方向、对称轴和自变量范围求最值，最后比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$，将点$(6,16)$、$(16,6)$代入得：
$\begin{cases}6k + b = 16 \\16k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=22 \end{cases}$
∴ $y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)$
(2) 将点$(10,90)$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +m$，得：
$90 = -\frac{1}{5}×10^2 + 10×10 + m$
解得$m=10$。
当$6≤ y＜10$时，设$P$与$y$的函数解析式为$P=k_1y + b_1$，将点$(6,50)$、$(10,90)$代入得：
$\begin{cases}6k_1 + b_1 = 50 \\10k_1 + b_1 = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10 \\b_1=-10 \end{cases}$
∴ $P=10y -10 \quad (6≤ y＜10)$。
由题意，利润$W=xy-P=42$，将$y=-x+22$代入得：
$x(-x+22) - [10(-x+22) -10] = 42$
整理得$x^2 -32x +252 = 0$，解得$x_1=14$，$x_2=18$。
∵ $y≤10$，即$-x+22≤10$，得$x≥12$，结合$6≤ x≤16$，$x=18$不符合题意舍去。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$6≤ y＜10$，即$12＜x≤16$时：
$W = xy - P = x(-x+22) - (10(-x+22)-10) = -x^2 +32x -210 = -(x-16)^2 +46$
∵ $-1＜0$，对称轴为$x=16$，
∴ 当$x=16$时，$W$取得最大值46万元。
② 当$10≤ y≤16$，即$6≤ x≤12$时：
将$y=-x+22$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +10$，得：
$W = x(-x+22) - [-\frac{1}{5}(-x+22)^2 +10(-x+22)+10]$
整理得$W = -\frac{4}{5}(x-\frac{29}{2})^2 +30$，
∵ $-\frac{4}{5}＜0$，对称轴$x=14.5$在区间$6≤ x≤12$右侧，
∴ $W$在$6≤ x≤12$上随$x$增大而增大，当$x=12$时，$W$取得最大值30万元。
∵ $46＞30$，
∴ 当售价为16元/件时，利润最大，最大值是46万元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)}$；
(2) $\boldsymbol{14}$元/件；
(3) 当售价为$\boldsymbol{16}$元/件时，利润最大，最大值为$\boldsymbol{46}$万元。
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数最值应用，利润问题计算
【点评】
本题是函数实际应用的综合题，结合图象考查了待定系数法求函数解析式、一元二次方程求解、二次函数最值的计算，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，结合函数性质分析最值，对信息提取和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 求y与x的一次函数解析式，已知图象过(6,16)和(16,6)两个点，采用待定系数法，设y=kx+b，代入两点坐标解二元一次方程组即可，注意标注x的取值范围。
(2) 先求总成本P的两段解析式：首先将(10,90)代入抛物线形式的P的表达式求出m的值，再用待定系数法求6≤y＜10时P的一次函数解析式。根据“利润=销售总额-总成本”，已知销售量y≤10万件，对应选用6≤y＜10的P的解析式，将y=-x+22代入利润公式列一元二次方程求解，最后结合x的取值范围舍去不符合题意的解。
(3) 分两种情况讨论利润最大值：第一种对应6≤y＜10（即12＜x≤16），代入对应段的P的解析式，将利润整理为关于x的二次函数，结合开口方向和自变量范围求最值；第二种对应10≤y≤16（即6≤x≤12），代入抛物线形式的P的解析式，整理为关于x的二次函数，结合开口方向、对称轴和自变量范围求最值，最后比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$，将点$(6,16)$、$(16,6)$代入得：
$\begin{cases}6k + b = 16 \\16k + b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=22 \end{cases}$
∴ $y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)$
(2) 将点$(10,90)$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +m$，得：
$90 = -\frac{1}{5}×10^2 + 10×10 + m$
解得$m=10$。
当$6≤ y＜10$时，设$P$与$y$的函数解析式为$P=k_1y + b_1$，将点$(6,50)$、$(10,90)$代入得：
$\begin{cases}6k_1 + b_1 = 50 \\10k_1 + b_1 = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10 \\b_1=-10 \end{cases}$
∴ $P=10y -10 \quad (6≤ y＜10)$。
由题意，利润$W=xy-P=42$，将$y=-x+22$代入得：
$x(-x+22) - [10(-x+22) -10] = 42$
整理得$x^2 -32x +252 = 0$，解得$x_1=14$，$x_2=18$。
∵ $y≤10$，即$-x+22≤10$，得$x≥12$，结合$6≤ x≤16$，$x=18$不符合题意舍去。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$6≤ y＜10$，即$12＜x≤16$时：
$W = xy - P = x(-x+22) - (10(-x+22)-10) = -x^2 +32x -210 = -(x-16)^2 +46$
∵ $-1＜0$，对称轴为$x=16$，
∴ 当$x=16$时，$W$取得最大值46万元。
② 当$10≤ y≤16$，即$6≤ x≤12$时：
将$y=-x+22$代入$P=-\frac{1}{5}y^2 +10y +10$，得：
$W = x(-x+22) - [-\frac{1}{5}(-x+22)^2 +10(-x+22)+10]$
整理得$W = -\frac{4}{5}(x-\frac{29}{2})^2 +30$，
∵ $-\frac{4}{5}＜0$，对称轴$x=14.5$在区间$6≤ x≤12$右侧，
∴ $W$在$6≤ x≤12$上随$x$增大而增大，当$x=12$时，$W$取得最大值30万元。
∵ $46＞30$，
∴ 当售价为16元/件时，利润最大，最大值是46万元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = -x + 22 \quad (6≤ x≤ 16)}$；
(2) $\boldsymbol{14}$元/件；
(3) 当售价为$\boldsymbol{16}$元/件时，利润最大，最大值为$\boldsymbol{46}$万元。
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数最值应用，利润问题计算
【点评】
本题是函数实际应用的综合题，结合图象考查了待定系数法求函数解析式、一元二次方程求解、二次函数最值的计算，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，结合函数性质分析最值，对信息提取和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
23.(9分)【问题引入】如图1,AB//CD,AB＞CD,∠ABD=90°,E是线段AC的中点.连接DE并延长,交AB于点F,连接BE.判断BE与DE之间的数量关系,并说明理由.
【问题延伸】如图2,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,点G在BC上,P是线段DF的中点,连接PC,PG.
(1)判断PC与PG之间的数量关系,并说明理由.
(2)连接CF,若AB=3,PC=√2,则CF的长为.
【问题延伸】如图2,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,点G在BC上,P是线段DF的中点,连接PC,PG.
(1)判断PC与PG之间的数量关系,并说明理由.
(2)连接CF,若AB=3,PC=√2,则CF的长为.
答案
解：
【问题引入】
$BE=DE$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$，
$\because E$是线段$AC$的中点，$\therefore AE=CE$，
在$△ AEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECD \\AE=CE \\∠ AEF=∠ CED\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=DE$，即$E$是$DF$的中点，
又$\because ∠ ABD=90°$，$△ BDF$是直角三角形，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}DF$，
$\therefore BE=DE$。
【问题延伸】
(1) $PC=PG$，理由如下：
延长$GP$交$DC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$和四边形$BEFG$都是正方形，点$A,B,E$共线，
$\therefore CD// AE// GF$，
$\therefore ∠ HDP=∠ GFP$，
$\because P$是线段$DF$的中点，$\therefore DP=FP$，
在$△ DPH$和$△ FPG$中：
$\begin{cases}∠ HDP=∠ GFP \\DP=FP \\∠ DPH=∠ FPG\end{cases}$
$\therefore △ DPH≌△ FPG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PH=PG$，$DH=FG$，
$\because$ 正方形$BEFG$中，$FG=BG$，
$\therefore DH=BG$，
又$\because$ 正方形$ABCD$中，$CD=CB$，
$\therefore CD-DH=CB-BG$，即$CH=CG$，
$\therefore △ CHG$是等腰直角三角形，
$\because P$是$HG$的中点，
$\therefore PC=\dfrac{1}{2}HG$，
$\therefore PC=PG$。
(2) 由推导可知$△ CHG$是等腰直角三角形，$P$为$HG$中点，故$PC⊥ PG$，$△ CPG$为等腰直角三角形，
$\therefore CG=\sqrt{2}· PC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，
$\because BC=AB=3$，
$\therefore BG=BC-CG=3-2=1$，即正方形$BEFG$边长为1，$GF=1$，
又$\because ∠ CGF=90°$，
$\therefore CF=\sqrt{CG^2+GF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
【问题引入】
$BE=DE$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$，
$\because E$是线段$AC$的中点，$\therefore AE=CE$，
在$△ AEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECD \\AE=CE \\∠ AEF=∠ CED\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=DE$，即$E$是$DF$的中点，
又$\because ∠ ABD=90°$，$△ BDF$是直角三角形，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}DF$，
$\therefore BE=DE$。
【问题延伸】
(1) $PC=PG$，理由如下：
延长$GP$交$DC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$和四边形$BEFG$都是正方形，点$A,B,E$共线，
$\therefore CD// AE// GF$，
$\therefore ∠ HDP=∠ GFP$，
$\because P$是线段$DF$的中点，$\therefore DP=FP$，
在$△ DPH$和$△ FPG$中：
$\begin{cases}∠ HDP=∠ GFP \\DP=FP \\∠ DPH=∠ FPG\end{cases}$
$\therefore △ DPH≌△ FPG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PH=PG$，$DH=FG$，
$\because$ 正方形$BEFG$中，$FG=BG$，
$\therefore DH=BG$，
又$\because$ 正方形$ABCD$中，$CD=CB$，
$\therefore CD-DH=CB-BG$，即$CH=CG$，
$\therefore △ CHG$是等腰直角三角形，
$\because P$是$HG$的中点，
$\therefore PC=\dfrac{1}{2}HG$，
$\therefore PC=PG$。
(2) 由推导可知$△ CHG$是等腰直角三角形，$P$为$HG$中点，故$PC⊥ PG$，$△ CPG$为等腰直角三角形，
$\therefore CG=\sqrt{2}· PC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，
$\because BC=AB=3$，
$\therefore BG=BC-CG=3-2=1$，即正方形$BEFG$边长为1，$GF=1$，
又$\because ∠ CGF=90°$，
$\therefore CF=\sqrt{CG^2+GF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
解析
【分析】
1. 问题引入：已知AB//CD，E为AC中点，可先通过ASA证明△AEF≌△CED，得到E是DF的中点，再结合∠ABD=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得出BE与DE的数量关系。
2. 问题延伸(1)：类比问题引入的解题思路，遇到中点P可构造全等三角形，延长GP交DC于点H，先证△DPH≌△FPG，得到PH=PG、DH=FG，再结合正方形的边相等的性质推出CH=CG，得到△CHG为等腰直角三角形，最后利用直角三角形斜边中线性质即可证明PC=PG。
3. 问题延伸(2)：根据等腰直角三角形的边长关系先求出CG的长度，再计算小正方形BEFG的边长，最后在Rt△CGF中利用勾股定理即可求出CF的长度。
【解析】
【问题引入】
$BE=DE$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$，
$\because E$是线段$AC$的中点，$\therefore AE=CE$，
在$△ AEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECD \\AE=CE \\∠ AEF=∠ CED\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=DE$，即$E$是$DF$的中点，
又$\because ∠ ABD=90°$，$△ BDF$是直角三角形，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}DF$，
$\therefore BE=DE$。
【问题延伸】
(1) $PC=PG$，理由如下：
延长$GP$交$DC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$和四边形$BEFG$都是正方形，点$A,B,E$共线，
$\therefore CD// AE// GF$，
$\therefore ∠ HDP=∠ GFP$，
$\because P$是线段$DF$的中点，$\therefore DP=FP$，
在$△ DPH$和$△ FPG$中：
$\begin{cases}∠ HDP=∠ GFP \\DP=FP \\∠ DPH=∠ FPG\end{cases}$
$\therefore △ DPH≌△ FPG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PH=PG$，$DH=FG$，
$\because$ 正方形$BEFG$中，$FG=BG$，
$\therefore DH=BG$，
又$\because$ 正方形$ABCD$中，$CD=CB$，
$\therefore CD-DH=CB-BG$，即$CH=CG$，
$\therefore △ CHG$是等腰直角三角形，
$\because P$是$HG$的中点，
$\therefore PC=\dfrac{1}{2}HG$，
$\therefore PC=PG$。
(2) 由推导可知$△ CHG$是等腰直角三角形，$P$为$HG$中点，故$PC⊥ PG$，$△ CPG$为等腰直角三角形，
$\therefore CG=\sqrt{2}· PC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，
$\because BC=AB=3$，
$\therefore BG=BC-CG=3-2=1$，即正方形$BEFG$边长为1，$GF=1$，
又$\because ∠ CGF=90°$，
$\therefore CF=\sqrt{CG^2+GF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
【问题引入】$BE=DE$；【问题延伸】(1)$PC=PG$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，正方形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，分层设置问题，考查了三角形全等、特殊三角形性质、正方形性质的综合运用，解题关键是掌握中点类问题构造全等三角形的辅助线技巧，体会类比迁移的数学思想。
【难度系数】
0.6
1. 问题引入：已知AB//CD，E为AC中点，可先通过ASA证明△AEF≌△CED，得到E是DF的中点，再结合∠ABD=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得出BE与DE的数量关系。
2. 问题延伸(1)：类比问题引入的解题思路，遇到中点P可构造全等三角形，延长GP交DC于点H，先证△DPH≌△FPG，得到PH=PG、DH=FG，再结合正方形的边相等的性质推出CH=CG，得到△CHG为等腰直角三角形，最后利用直角三角形斜边中线性质即可证明PC=PG。
3. 问题延伸(2)：根据等腰直角三角形的边长关系先求出CG的长度，再计算小正方形BEFG的边长，最后在Rt△CGF中利用勾股定理即可求出CF的长度。
【解析】
【问题引入】
$BE=DE$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ ECD$，
$\because E$是线段$AC$的中点，$\therefore AE=CE$，
在$△ AEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ ECD \\AE=CE \\∠ AEF=∠ CED\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=DE$，即$E$是$DF$的中点，
又$\because ∠ ABD=90°$，$△ BDF$是直角三角形，
$\therefore BE=\dfrac{1}{2}DF$，
$\therefore BE=DE$。
【问题延伸】
(1) $PC=PG$，理由如下：
延长$GP$交$DC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$和四边形$BEFG$都是正方形，点$A,B,E$共线，
$\therefore CD// AE// GF$，
$\therefore ∠ HDP=∠ GFP$，
$\because P$是线段$DF$的中点，$\therefore DP=FP$，
在$△ DPH$和$△ FPG$中：
$\begin{cases}∠ HDP=∠ GFP \\DP=FP \\∠ DPH=∠ FPG\end{cases}$
$\therefore △ DPH≌△ FPG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore PH=PG$，$DH=FG$，
$\because$ 正方形$BEFG$中，$FG=BG$，
$\therefore DH=BG$，
又$\because$ 正方形$ABCD$中，$CD=CB$，
$\therefore CD-DH=CB-BG$，即$CH=CG$，
$\therefore △ CHG$是等腰直角三角形，
$\because P$是$HG$的中点，
$\therefore PC=\dfrac{1}{2}HG$，
$\therefore PC=PG$。
(2) 由推导可知$△ CHG$是等腰直角三角形，$P$为$HG$中点，故$PC⊥ PG$，$△ CPG$为等腰直角三角形，
$\therefore CG=\sqrt{2}· PC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，
$\because BC=AB=3$，
$\therefore BG=BC-CG=3-2=1$，即正方形$BEFG$边长为1，$GF=1$，
又$\because ∠ CGF=90°$，
$\therefore CF=\sqrt{CG^2+GF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
【问题引入】$BE=DE$；【问题延伸】(1)$PC=PG$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，正方形的性质
【点评】
本题是几何综合探究题，分层设置问题，考查了三角形全等、特殊三角形性质、正方形性质的综合运用，解题关键是掌握中点类问题构造全等三角形的辅助线技巧，体会类比迁移的数学思想。
【难度系数】
0.6
24.(12分)在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$交x轴于$A(-1,0),B(3,0)$两点,交y轴于点C.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1,若在x轴上方的抛物线上存在一点D,使得$∠ ACD=45°$,求点D的坐标；
(3)如图2,过平面上一点$E(3,2)$作任意一条直线交抛物线于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交y轴于M,N两点,则OM与ON的积是否为定值？若是,求出此定值；若不是,请说明理由.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1,若在x轴上方的抛物线上存在一点D,使得$∠ ACD=45°$,求点D的坐标；
(3)如图2,过平面上一点$E(3,2)$作任意一条直线交抛物线于P,Q两点,连接AP,AQ,分别交y轴于M,N两点,则OM与ON的积是否为定值？若是,求出此定值；若不是,请说明理由.
答案
解：
(1) 将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$b=-2$，$c=-3$
∴ 二次函数的解析式为 $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$。
(2) 由抛物线解析式得点$C$坐标为$(0,-3)$。
过点$A$作$AF⊥ AC$，交直线$CD$于点$F$，过$F$作$FG⊥ x$轴于点$G$。
∵ $∠ ACD=45°$，∴ $△ ACF$为等腰直角三角形，$AC=AF$。
∵ $∠ OAC + ∠ FAG = 90°$，$∠ OAC + ∠ OCA = 90°$，∴ $∠ FAG=∠ OCA$。
又 $∠ AOC=∠ FGA=90°$，∴ $△ AOC ≌ △ FGA \ (\mathrm{AAS})$。
∴ $AG=OC=3$，$FG=OA=1$，得$F$点坐标为$(2,1)$。
设直线$CF$的解析式为$y=kx+m$，代入$C(0,-3)$，$F(2,1)$：
$\begin{cases}m=-3 \\2k + m = 1\end{cases}$
解得$k=2$，$m=-3$，即直线$CF$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CF$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=4$。
代入得$y=2×4-3=5$，∴ 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(4,5)}$。
(3) $OM$与$ON$的积是定值，定值为2。
设直线$PQ$的解析式为$y=k(x-3)+2$，设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$。
联立直线$PQ$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=k(x-3)+2 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 -(k+2)x + 3k -5 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = k+2$，$x_1x_2 = 3k -5$。
由$A(-1,0)$，得直线$AP$的解析式为：$y=\frac{y_1}{x_1+1}(x+1)$。
当$x=0$时，得点$M$的纵坐标$y_M = \frac{y_1}{x_1+1}$。
又∵ $y_1 = x_1^2 -2x_1 -3 = (x_1+1)(x_1-3)$，代入得：
$y_M = x_1 - 3$，即$M(0, x_1-3)$，故$OM = |x_1 - 3|$。
同理可得直线$AQ$与$y$轴交点$N$的纵坐标$y_N = x_2 - 3$，故$ON = |x_2 - 3|$。
计算得：
$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3(x_1+x_2) +9 = 3k-5 -3(k+2) +9 = -2$
∴ $OM · ON = |x_1 -3| · |x_2 -3| = |(x_1-3)(x_2-3)| = |-2| = 2$。
即$OM$与$ON$的积为定值$\boldsymbol{2}$。
(1) 将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$b=-2$，$c=-3$
∴ 二次函数的解析式为 $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$。
(2) 由抛物线解析式得点$C$坐标为$(0,-3)$。
过点$A$作$AF⊥ AC$，交直线$CD$于点$F$，过$F$作$FG⊥ x$轴于点$G$。
∵ $∠ ACD=45°$，∴ $△ ACF$为等腰直角三角形，$AC=AF$。
∵ $∠ OAC + ∠ FAG = 90°$，$∠ OAC + ∠ OCA = 90°$，∴ $∠ FAG=∠ OCA$。
又 $∠ AOC=∠ FGA=90°$，∴ $△ AOC ≌ △ FGA \ (\mathrm{AAS})$。
∴ $AG=OC=3$，$FG=OA=1$，得$F$点坐标为$(2,1)$。
设直线$CF$的解析式为$y=kx+m$，代入$C(0,-3)$，$F(2,1)$：
$\begin{cases}m=-3 \\2k + m = 1\end{cases}$
解得$k=2$，$m=-3$，即直线$CF$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CF$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=4$。
代入得$y=2×4-3=5$，∴ 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(4,5)}$。
(3) $OM$与$ON$的积是定值，定值为2。
设直线$PQ$的解析式为$y=k(x-3)+2$，设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$。
联立直线$PQ$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=k(x-3)+2 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 -(k+2)x + 3k -5 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = k+2$，$x_1x_2 = 3k -5$。
由$A(-1,0)$，得直线$AP$的解析式为：$y=\frac{y_1}{x_1+1}(x+1)$。
当$x=0$时，得点$M$的纵坐标$y_M = \frac{y_1}{x_1+1}$。
又∵ $y_1 = x_1^2 -2x_1 -3 = (x_1+1)(x_1-3)$，代入得：
$y_M = x_1 - 3$，即$M(0, x_1-3)$，故$OM = |x_1 - 3|$。
同理可得直线$AQ$与$y$轴交点$N$的纵坐标$y_N = x_2 - 3$，故$ON = |x_2 - 3|$。
计算得：
$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3(x_1+x_2) +9 = 3k-5 -3(k+2) +9 = -2$
∴ $OM · ON = |x_1 -3| · |x_2 -3| = |(x_1-3)(x_2-3)| = |-2| = 2$。
即$OM$与$ON$的积为定值$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，直接代入二次函数一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到解析式；
(2) 遇到45°角可构造等腰直角三角形，过A作AC的垂线交CD于F，再作x轴垂线构造全等三角形，将线段长度转化为F点的坐标，求出直线CF的解析式后与抛物线联立，即可解出D点坐标；
(3) 定值问题通常设出相关直线解析式，联立抛物线后利用韦达定理得到交点横坐标的和与积，再分别求出AP、AQ与y轴交点M、N的坐标，将OM·ON用交点横坐标表示，代入韦达定理的结论计算，即可判断是否为定值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$b=-2$，$c=-3$
∴ 二次函数的解析式为 $y=x^2-2x-3$。
(2) 由抛物线解析式，令$x=0$，得$y=-3$，即点$C$坐标为$(0,-3)$。
过点$A$作$AF⊥ AC$，交直线$CD$于点$F$，过$F$作$FG⊥ x$轴于点$G$。
∵ $∠ ACD=45°$，$∠CAF=90°$，
∴ $△ ACF$为等腰直角三角形，$AC=AF$。
∵ $∠ OAC + ∠ FAG = 90°$，$∠ OAC + ∠ OCA = 90°$，
∴ $∠ FAG=∠ OCA$。
又 $∠ AOC=∠ FGA=90°$，
∴ $△ AOC ≌ △ FGA \ (\mathrm{AAS})$。
∴ $AG=OC=3$，$FG=OA=1$，结合A点坐标$(-1,0)$，得$F$点横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为1，即$F(2,1)$。
设直线$CF$的解析式为$y=kx+m$，代入$C(0,-3)$，$F(2,1)$：
$\begin{cases}m=-3 \\2k + m = 1\end{cases}$
解得$k=2$，$m=-3$，即直线$CF$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CF$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=4$。
将$x=4$代入$y=2x-3$得$y=5$，
∴ 点$D$的坐标为$(4,5)$。
(3) $OM$与$ON$的积是定值，求解过程如下：
设过$E(3,2)$的直线$PQ$的解析式为$y=k(x-3)+2$，设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$。
联立直线$PQ$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=k(x-3)+2 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 -(k+2)x + 3k -5 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = k+2$，$x_1x_2 = 3k -5$。
由$A(-1,0)$，设直线$AP$的解析式为$y=k_1(x+1)$，代入$P(x_1,y_1)$得$k_1=\frac{y_1}{x_1+1}$，即直线$AP$解析式为$y=\frac{y_1}{x_1+1}(x+1)$。
当$x=0$时，得点$M$的纵坐标$y_M = \frac{y_1}{x_1+1}$。
又
∵ $y_1 = x_1^2 -2x_1 -3 = (x_1+1)(x_1-3)$，代入得：
$y_M = x_1 - 3$，即$M(0, x_1-3)$，故$OM = |x_1 - 3|$。
同理可得直线$AQ$与$y$轴交点$N$的纵坐标$y_N = x_2 - 3$，故$ON = |x_2 - 3|$。
计算得：
$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3(x_1+x_2) +9 = 3k-5 -3(k+2) +9 = -2$
∴ $OM · ON = |x_1 -3| · |x_2 -3| = |(x_1-3)(x_2-3)| = |-2| = 2$。
即$OM$与$ON$的积为定值2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$
(2) $\boldsymbol{(4,5)}$
(3) 是定值，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 全等三角形的判定与性质
3. 二次函数综合应用
【点评】
本题是典型的二次函数压轴题，涵盖了解析式求解、特殊角度存在性、定值探究三类核心考点。第二问通过构造全等三角形处理45°角，是几何与代数结合的常用技巧；第三问利用韦达定理简化计算，是解决二次函数交点相关定值问题的常规思路，对学生的综合分析和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，直接代入二次函数一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到解析式；
(2) 遇到45°角可构造等腰直角三角形，过A作AC的垂线交CD于F，再作x轴垂线构造全等三角形，将线段长度转化为F点的坐标，求出直线CF的解析式后与抛物线联立，即可解出D点坐标；
(3) 定值问题通常设出相关直线解析式，联立抛物线后利用韦达定理得到交点横坐标的和与积，再分别求出AP、AQ与y轴交点M、N的坐标，将OM·ON用交点横坐标表示，代入韦达定理的结论计算，即可判断是否为定值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$b=-2$，$c=-3$
∴ 二次函数的解析式为 $y=x^2-2x-3$。
(2) 由抛物线解析式，令$x=0$，得$y=-3$，即点$C$坐标为$(0,-3)$。
过点$A$作$AF⊥ AC$，交直线$CD$于点$F$，过$F$作$FG⊥ x$轴于点$G$。
∵ $∠ ACD=45°$，$∠CAF=90°$，
∴ $△ ACF$为等腰直角三角形，$AC=AF$。
∵ $∠ OAC + ∠ FAG = 90°$，$∠ OAC + ∠ OCA = 90°$，
∴ $∠ FAG=∠ OCA$。
又 $∠ AOC=∠ FGA=90°$，
∴ $△ AOC ≌ △ FGA \ (\mathrm{AAS})$。
∴ $AG=OC=3$，$FG=OA=1$，结合A点坐标$(-1,0)$，得$F$点横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为1，即$F(2,1)$。
设直线$CF$的解析式为$y=kx+m$，代入$C(0,-3)$，$F(2,1)$：
$\begin{cases}m=-3 \\2k + m = 1\end{cases}$
解得$k=2$，$m=-3$，即直线$CF$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CF$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0$（对应点$C$，舍去），$x_2=4$。
将$x=4$代入$y=2x-3$得$y=5$，
∴ 点$D$的坐标为$(4,5)$。
(3) $OM$与$ON$的积是定值，求解过程如下：
设过$E(3,2)$的直线$PQ$的解析式为$y=k(x-3)+2$，设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$。
联立直线$PQ$与抛物线方程：
$\begin{cases}y=k(x-3)+2 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 -(k+2)x + 3k -5 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = k+2$，$x_1x_2 = 3k -5$。
由$A(-1,0)$，设直线$AP$的解析式为$y=k_1(x+1)$，代入$P(x_1,y_1)$得$k_1=\frac{y_1}{x_1+1}$，即直线$AP$解析式为$y=\frac{y_1}{x_1+1}(x+1)$。
当$x=0$时，得点$M$的纵坐标$y_M = \frac{y_1}{x_1+1}$。
又
∵ $y_1 = x_1^2 -2x_1 -3 = (x_1+1)(x_1-3)$，代入得：
$y_M = x_1 - 3$，即$M(0, x_1-3)$，故$OM = |x_1 - 3|$。
同理可得直线$AQ$与$y$轴交点$N$的纵坐标$y_N = x_2 - 3$，故$ON = |x_2 - 3|$。
计算得：
$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3(x_1+x_2) +9 = 3k-5 -3(k+2) +9 = -2$
∴ $OM · ON = |x_1 -3| · |x_2 -3| = |(x_1-3)(x_2-3)| = |-2| = 2$。
即$OM$与$ON$的积为定值2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$
(2) $\boldsymbol{(4,5)}$
(3) 是定值，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 全等三角形的判定与性质
3. 二次函数综合应用
【点评】
本题是典型的二次函数压轴题，涵盖了解析式求解、特殊角度存在性、定值探究三类核心考点。第二问通过构造全等三角形处理45°角，是几何与代数结合的常用技巧；第三问利用韦达定理简化计算，是解决二次函数交点相关定值问题的常规思路，对学生的综合分析和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
