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5. 如图甲是某智能电饭煲,其简化电路如图乙,通过旋转开关,功率依次从高到低有快煮、慢煮和保温三种模式。三个电阻都是发热电阻,阻值不随温度变化而变化,且$R_1 = R_2 ＞ R_3$。已知快煮模式的额定功率为1 210 W,保温模式的额定功率为400 W。求:
(1)电饭煲在快煮模式正常工作时的电流;
(2)电饭煲在慢煮模式的额定功率;
(3)考虑到农村有电压不稳定的情况,有时电压可能升高到330 V,为了保护电路安全,小明决定利用传感器开关与定值电阻$R_x$的组合电路对“3挡”模式进行改进,传感器开关闭合时电阻$R_x$与导线相同。如图丙所示,当电源电压升至330 V时传感器开关会自动断开,让定值电阻$R_x$接入电路,从而保证$R_2$维持额定功率不发生改变,请计算电阻$R_x$的阻值。
(1)电饭煲在快煮模式正常工作时的电流;
(2)电饭煲在慢煮模式的额定功率;
(3)考虑到农村有电压不稳定的情况,有时电压可能升高到330 V,为了保护电路安全,小明决定利用传感器开关与定值电阻$R_x$的组合电路对“3挡”模式进行改进,传感器开关闭合时电阻$R_x$与导线相同。如图丙所示,当电源电压升至330 V时传感器开关会自动断开,让定值电阻$R_x$接入电路,从而保证$R_2$维持额定功率不发生改变,请计算电阻$R_x$的阻值。
答案
解：
(1) 由$P=UI$可得，电饭煲在快煮模式正常工作时的电流：
$I = \frac{P_{\mathrm{快}}}{U} = \frac{1210\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}} = 5.5\ \mathrm{A}$
(2) 电源电压不变，由$P=\frac{U^2}{R}$可知，总电阻越小功率越大。快煮模式功率最大，总电阻最小，为$R_1$与$R_2$并联；保温模式功率最小，总电阻最大，为$R_1$与$R_3$串联；慢煮模式为只有单个电阻接入电路。
已知$R_1=R_2$，并联支路电压相等，由$P=\frac{U^2}{R}$可知$R_1$、$R_2$的功率相等，因此：
$P_2 = \frac{P_{\mathrm{快}}}{2} = \frac{1210\ \mathrm{W}}{2} = 605\ \mathrm{W}$
由$P=\frac{U^2}{R}$得$R_2$的阻值：
$R_2 = \frac{U^2}{P_2} = \frac{(220\ \mathrm{V})^2}{605\ \mathrm{W}} = 80\ \Omega$
保温模式下电路总电阻：
$R_{\mathrm{串}} = \frac{U^2}{P_{\mathrm{保}}} = \frac{(220\ \mathrm{V})^2}{400\ \mathrm{W}} = 121\ \Omega$
可得$R_3 = R_{\mathrm{串}} - R_1 = R_{\mathrm{串}} - R_2 = 121\ \Omega - 80\ \Omega = 41\ \Omega$，满足$R_1=R_2＞R_3$的条件，符合题意。
因此慢煮模式的额定功率等于$R_2$单独工作的功率，即$P_{\mathrm{慢}}=605\ \mathrm{W}$。
(3) 当电源电压升至330 V时，传感器开关断开，$R_2$与$R_x$串联，要保证$R_2$的功率维持额定功率605 W不变，则$R_2$两端电压仍为220 V，此时电路中的电流：
$I' = \frac{U_2}{R_2} = \frac{220\ \mathrm{V}}{80\ \Omega} = 2.75\ \mathrm{A}$
串联电路总电压等于各部分电压之和，因此$R_x$两端的电压：
$U_x = U_{\mathrm{总}} - U_2 = 330\ \mathrm{V} - 220\ \mathrm{V} = 110\ \mathrm{V}$
由欧姆定律得$R_x$的阻值：
$R_x = \frac{U_x}{I'} = \frac{110\ \mathrm{V}}{2.75\ \mathrm{A}} = 40\ \Omega$
答：(1) 电饭煲在快煮模式正常工作时的电流为5.5 A；(2) 电饭煲在慢煮模式的额定功率为605 W；(3) 电阻$R_x$的阻值为$40\ \Omega$。
(1) 由$P=UI$可得，电饭煲在快煮模式正常工作时的电流：
$I = \frac{P_{\mathrm{快}}}{U} = \frac{1210\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}} = 5.5\ \mathrm{A}$
(2) 电源电压不变，由$P=\frac{U^2}{R}$可知，总电阻越小功率越大。快煮模式功率最大，总电阻最小，为$R_1$与$R_2$并联；保温模式功率最小，总电阻最大，为$R_1$与$R_3$串联；慢煮模式为只有单个电阻接入电路。
已知$R_1=R_2$，并联支路电压相等，由$P=\frac{U^2}{R}$可知$R_1$、$R_2$的功率相等，因此：
$P_2 = \frac{P_{\mathrm{快}}}{2} = \frac{1210\ \mathrm{W}}{2} = 605\ \mathrm{W}$
由$P=\frac{U^2}{R}$得$R_2$的阻值：
$R_2 = \frac{U^2}{P_2} = \frac{(220\ \mathrm{V})^2}{605\ \mathrm{W}} = 80\ \Omega$
保温模式下电路总电阻：
$R_{\mathrm{串}} = \frac{U^2}{P_{\mathrm{保}}} = \frac{(220\ \mathrm{V})^2}{400\ \mathrm{W}} = 121\ \Omega$
可得$R_3 = R_{\mathrm{串}} - R_1 = R_{\mathrm{串}} - R_2 = 121\ \Omega - 80\ \Omega = 41\ \Omega$，满足$R_1=R_2＞R_3$的条件，符合题意。
因此慢煮模式的额定功率等于$R_2$单独工作的功率，即$P_{\mathrm{慢}}=605\ \mathrm{W}$。
(3) 当电源电压升至330 V时，传感器开关断开，$R_2$与$R_x$串联，要保证$R_2$的功率维持额定功率605 W不变，则$R_2$两端电压仍为220 V，此时电路中的电流：
$I' = \frac{U_2}{R_2} = \frac{220\ \mathrm{V}}{80\ \Omega} = 2.75\ \mathrm{A}$
串联电路总电压等于各部分电压之和，因此$R_x$两端的电压：
$U_x = U_{\mathrm{总}} - U_2 = 330\ \mathrm{V} - 220\ \mathrm{V} = 110\ \mathrm{V}$
由欧姆定律得$R_x$的阻值：
$R_x = \frac{U_x}{I'} = \frac{110\ \mathrm{V}}{2.75\ \mathrm{A}} = 40\ \Omega$
答：(1) 电饭煲在快煮模式正常工作时的电流为5.5 A；(2) 电饭煲在慢煮模式的额定功率为605 W；(3) 电阻$R_x$的阻值为$40\ \Omega$。
6.一辆新能源电动汽车具有车速提醒功能，当车速过快时，提醒驾驶员需要减速。如图甲所示为该车提醒功能的简化电路图，电源电压为12 V，定值电阻R为20 Ω，$R_v$为阻值随车速变化的电阻，其阻值随车速变化的关系图像如图乙所示。当车速达到120 km/h时，观察到电压表示数为10 V，且报警铃声响起。该车驶入某高速服务区充电，充电后电桩显示屏的信息为：充电电压360 V，时间30 min，单价1.2元/度，费用4.32元。
（1）当车速减为零时，求电压表的示数；
（2）当车速达到120 km/h时，求$R_v$的电功率；
（3）求本次充电的电流。
（1）当车速减为零时，求电压表的示数；
（2）当车速达到120 km/h时，求$R_v$的电功率；
（3）求本次充电的电流。
答案
解：
（1）由图乙可知，车速为零时，$R_v=10\ \Omega$
$R_v$与$R$串联，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=R_v + R=10\ \Omega+20\ \Omega=30\ \Omega$
电路中的电流：
$I=\dfrac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\dfrac{12\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$
电压表测$R_v$两端电压，电压表示数：
$U_v=IR_v=0.4\ \mathrm{A} × 10\ \Omega=4\ \mathrm{V}$
（2）当车速达到120 km/h时，定值电阻R两端的电压：
$U_R=U-U_v'=12\ \mathrm{V}-10\ \mathrm{V}=2\ \mathrm{V}$
电路中的电流：
$I'=\dfrac{U_R}{R}=\dfrac{2\ \mathrm{V}}{20\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A}$
$R_v$的电功率：
$P_v=U_v'I'=10\ \mathrm{V} × 0.1\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{W}$
（3）本次充电消耗的电能：
$W=\dfrac{4.32\ \mathrm{元}}{1.2\ \mathrm{元/度}}=3.6\ \mathrm{kW·h}=1.296× 10^7\ \mathrm{J}$
充电时间$t=30\ \mathrm{min}=1800\ \mathrm{s}$
由$W=UIt$得，本次充电的电流：
$I_{\mathrm{充}}=\dfrac{W}{U_{\mathrm{充}}t}=\dfrac{1.296× 10^7\ \mathrm{J}}{360\ \mathrm{V} × 1800\ \mathrm{s}}=20\ \mathrm{A}$
答：（1）车速减为零时电压表示数为4 V；（2）车速达到120 km/h时$R_v$的电功率为1 W；（3）本次充电的电流为20 A。
（1）由图乙可知，车速为零时，$R_v=10\ \Omega$
$R_v$与$R$串联，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}}=R_v + R=10\ \Omega+20\ \Omega=30\ \Omega$
电路中的电流：
$I=\dfrac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\dfrac{12\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.4\ \mathrm{A}$
电压表测$R_v$两端电压，电压表示数：
$U_v=IR_v=0.4\ \mathrm{A} × 10\ \Omega=4\ \mathrm{V}$
（2）当车速达到120 km/h时，定值电阻R两端的电压：
$U_R=U-U_v'=12\ \mathrm{V}-10\ \mathrm{V}=2\ \mathrm{V}$
电路中的电流：
$I'=\dfrac{U_R}{R}=\dfrac{2\ \mathrm{V}}{20\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A}$
$R_v$的电功率：
$P_v=U_v'I'=10\ \mathrm{V} × 0.1\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{W}$
（3）本次充电消耗的电能：
$W=\dfrac{4.32\ \mathrm{元}}{1.2\ \mathrm{元/度}}=3.6\ \mathrm{kW·h}=1.296× 10^7\ \mathrm{J}$
充电时间$t=30\ \mathrm{min}=1800\ \mathrm{s}$
由$W=UIt$得，本次充电的电流：
$I_{\mathrm{充}}=\dfrac{W}{U_{\mathrm{充}}t}=\dfrac{1.296× 10^7\ \mathrm{J}}{360\ \mathrm{V} × 1800\ \mathrm{s}}=20\ \mathrm{A}$
答：（1）车速减为零时电压表示数为4 V；（2）车速达到120 km/h时$R_v$的电功率为1 W；（3）本次充电的电流为20 A。
