6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一条直线上.已知纸板的两条直角边 DE=20 cm，EF=10 cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5 m，CD=6 m，求树高 AB.

6.
∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DCB.
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$,即$\frac{0.2}{6}=\frac{0.1}{BC}$. 解得$BC=3\,\mathrm{m}$.
∵$AC=1.5\,\mathrm{m}$,
∴$AB=AC+BC=1.5+3=4.5(\mathrm{m})$. 即树高AB为4.5 m

【分析】
要求树高AB，观察图形可知AB=AC+BC，其中AC长度已知，因此只需求出BC的长度即可。观察两个直角三角形△DEF和△DCB，二者有公共角∠D，且都有直角，满足相似三角形的判定条件，可先证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC的长度，最后与AC相加即可得到树高，计算前要注意统一长度单位。
【解析】
∵∠D是△DEF和△DCB的公共角，∠DEF=∠DCB=90°，
∴△DEF∽△DCB（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
统一单位：$DE=20\,\mathrm{cm}=0.2\,\mathrm{m}$，$EF=10\,\mathrm{cm}=0.1\,\mathrm{m}$，将$DE=0.2\,\mathrm{m}$，$DC=6\,\mathrm{m}$，$EF=0.1\,\mathrm{m}$代入比例式：
$\frac{0.2}{6}=\frac{0.1}{BC}$，解得$BC=3\,\mathrm{m}$。
已知$AC=1.5\,\mathrm{m}$，因此：
$AB=AC+BC=1.5+3=4.5(\mathrm{m})$。
【答案】
树高AB为$\boxed{4.5\,\mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型基础题，解题关键是准确找到相似的三角形，计算时要先统一单位，避免因单位不统一出现错误。
【难度系数】
0.7

7. 某中学数学实践小组测量河的宽度.如图,这条河的两岸是平行的,小丽站在离南岸20 m(即 $ PE=20 \, \mathrm{m} $)的点P处看北岸,小军、小强站在南岸边,当小军、小强两人分别站在C、D两点处时,小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡(即A、C、P三点共线,B、D、P三点共线).已知电线杆A、B之间的距离为75 m,小军、小强两人之间的距离CD为30 m,求这条河的宽度.

如图,延长PE交AB于点F.
∵$PE ⊥ CD$, $AB // CD$,
∴$PF ⊥ AB$. 设这条河的宽度为$x$ m.
∵$AB // CD$,
∴$△ PBA ∽ △ PDC$.
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$.
∵$CD=30\,\mathrm{m}$, $AB=75\,\mathrm{m}$, $PE=20\,\mathrm{m}$,
∴$\frac{20+x}{20}=\frac{75}{30}$. 解得$x=30$. 即这条河的宽度为30 m

【分析】
要测量平行两岸的河宽，首先利用平行线的性质构造相似三角形：延长PE交北岸AB于点F，由AB//CD、PE⊥CD可得PF⊥AB，其中EF就是所求河宽。因为AB//CD，可证△PBA和△PDC相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，即可列出关于河宽的方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长PE交AB于点F。
∵$PE ⊥ CD$, $AB // CD$,
∴$PF ⊥ AB$，即EF的长度为河的宽度。
设这条河的宽度为$x$ m，则$PF = PE + EF = (20+x)\,\mathrm{m}$。
∵$AB // CD$,
∴$∠ PAB = ∠ PCD$，$∠ PBA = ∠ PDC$，
∴$△ PBA ∽ △ PDC$。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，可得：
$\frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$。
将$CD=30\,\mathrm{m}$, $AB=75\,\mathrm{m}$, $PE=20\,\mathrm{m}$代入得：
$\frac{20+x}{20}=\frac{75}{30}$
解得$x=30$。
【答案】
这条河的宽度为30 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的性质建立等量关系列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7

8. 一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(此时$AB// CD$)，相关数据如图所示(单位:cm).从图②闭合状态到图③打开状态，点B、D之间的距离减少了 【 】

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

B

【分析】
解题思路如下：第一步，先计算闭合状态下B、D的距离：闭合时A与C重合，由图中数据得AE=AF=EF=2cm，因此△AEF是等边三角形，可得AB与CD的夹角为60°，又AB=CD=5cm，因此△ABD是等边三角形，得到此时BD=5cm。第二步，计算打开状态下B、D的距离：打开时AB//CD，EF是两平行线的公垂线段，长度为2cm，结合AE=CF=2，可知四边形ABDC是矩形，因此BD的长度等于AB与CD的间距2cm。第三步，计算距离减少量：用闭合时BD长度减去打开时BD长度即可。
【解析】
1. 计算闭合状态（图②）下BD的长度：
闭合时A与C重合，由标注数据可知：$AE=2\mathrm{cm}$，$CF=2\mathrm{cm}$，$EF=2\mathrm{cm}$，因此$AF=CF=2\mathrm{cm}$，即$AE=AF=EF=2\mathrm{cm}$，
$\therefore△ AEF$是等边三角形，$\therefore∠ EAF=60°$，即AB与CD的夹角为$60°$。
又$AB=AE+EB=2+3=5\mathrm{cm}$，$CD=CF+FD=2+3=5\mathrm{cm}$，即$AB=AD=5\mathrm{cm}$，
且$∠ BAD=60°$，$\therefore△ ABD$是等边三角形，$\therefore$闭合时$BD=AB=5\mathrm{cm}$。
2. 计算打开状态（图③）下BD的长度：
打开时$AB// CD$，$EF⊥ AB$、$EF⊥ CD$，即EF是AB与CD的公垂线，$EF=2\mathrm{cm}$，
又$AE=CF=2\mathrm{cm}$，$\therefore AC// EF$且$AC=EF=2\mathrm{cm}$，
$\because AB// CD$，$AB=CD=5\mathrm{cm}$，$AC// BD$，
$\therefore$四边形ABDC是矩形，$\therefore BD=AC=2\mathrm{cm}$。
3. 计算距离减少量：$5\mathrm{cm}-2\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}$，即点B、D之间的距离减少了3cm。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题结合生活中常见的燕尾夹考查几何图形的性质应用，解题的关键是结合示意图分析两种状态下的几何关系，将实际问题转化为几何计算问题，较好地考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6

9. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池和建筑遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长为.

9. 13 m

【分析】
拿到题目后，先观察已知条件：AB=AD且∠A=60°，可优先考虑连接辅助线BD，构造等边三角形；通过等边三角形的性质得到BD的长度和∠ABD的度数，再结合已知的∠ABC=150°，可推出∠DBC为直角，此时△DBC为直角三角形，已知两条直角边的长度，直接用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
连接BD，
∵ AB=AD=5 m，∠A=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=5 m，∠ABD=60°，
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD=150°-60°=90°，即△DBC是直角三角形，
在Rt△DBC中，根据勾股定理：
$CD^2=BD^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，
∵ CD为边长，取正值，
∴ CD=$\sqrt{169}=13$ m。
【答案】
13 m
【知识点】
等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题是几何测量类的基础应用题，解题的核心是合理构造辅助线，将分散的已知条件整合到特殊三角形中求解，能有效考查学生的辅助线构造意识和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7