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1. 如图，为了测量池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘一侧选取一点C，使$CA ⊥ AB$于点A，测得AC、BC的长度分别为16 m、34 m，则AB间的距离为 【 】
A.15 m
B.25 m
C.30 m
D.32 m
A.15 m
B.25 m
C.30 m
D.32 m
答案
C
解析
【分析】
首先观察题目条件，已知$CA ⊥ AB$，可确定$△ ABC$是直角三角形，其中$∠ A$为直角。已知直角边$AC=16\ \mathrm{m}$，斜边$BC=34\ \mathrm{m}$，要求直角边$AB$的长度，符合勾股定理的应用场景，我们可以利用勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方）变形求出$AB$的长度。
【解析】
解：$\because CA ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入$AC=16\ \mathrm{m}$，$BC=34\ \mathrm{m}$，可得：
$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{34^2 - 16^2}=\sqrt{1156 - 256}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m})$
所以$AB$间的距离为$30\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际长度测量中的基础应用，解题的关键是结合垂直条件构造出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，已知$CA ⊥ AB$，可确定$△ ABC$是直角三角形，其中$∠ A$为直角。已知直角边$AC=16\ \mathrm{m}$，斜边$BC=34\ \mathrm{m}$，要求直角边$AB$的长度，符合勾股定理的应用场景，我们可以利用勾股定理（直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方）变形求出$AB$的长度。
【解析】
解：$\because CA ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入$AC=16\ \mathrm{m}$，$BC=34\ \mathrm{m}$，可得：
$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{34^2 - 16^2}=\sqrt{1156 - 256}=\sqrt{900}=30(\mathrm{m})$
所以$AB$间的距离为$30\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，垂直的定义
【点评】
本题是勾股定理在实际长度测量中的基础应用，解题的关键是结合垂直条件构造出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
2. 如图,有一个水池,水池侧面是一个边长为10尺的正方形,在水池的正中央有根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则这根芦苇的长度是 【 】
A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
（第2题）
A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
（第2题）答案
D
解析
【分析】
这是一道勾股定理在实际生活中的应用题，解题思路如下：第一步先明确场景中的各长度量：水池是边长10尺的正方形，芦苇在正中央，因此芦苇根部到池边的水平距离为边长的一半即5尺；第二步设未知数，设水深为$ x $尺，因为芦苇高出水面1尺，所以芦苇总长度为$ (x+1) $尺；第三步把芦苇拉到池边时，芦苇长度为斜边，水深和水平距离为两条直角边，构成直角三角形，可根据勾股定理列方程求解，最终得到芦苇长度。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的长度为$ (x+1) $尺。
由题意可知，水池边长为10尺，芦苇在水池正中央，因此芦苇到池边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
将芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理列方程：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开右边得：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
消去$ x^2 $整理得：$2x=24$
解得：$ x=12 $
因此芦苇长度为$ x+1=12+1=13 $尺。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是从实际情境中抽象出直角三角形模型，准确对应各边长度，通过设未知数列方程即可快速求解，对学生的数学建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理在实际生活中的应用题，解题思路如下：第一步先明确场景中的各长度量：水池是边长10尺的正方形，芦苇在正中央，因此芦苇根部到池边的水平距离为边长的一半即5尺；第二步设未知数，设水深为$ x $尺，因为芦苇高出水面1尺，所以芦苇总长度为$ (x+1) $尺；第三步把芦苇拉到池边时，芦苇长度为斜边，水深和水平距离为两条直角边，构成直角三角形，可根据勾股定理列方程求解，最终得到芦苇长度。
【解析】
解：设水深为$ x $尺，则芦苇的长度为$ (x+1) $尺。
由题意可知，水池边长为10尺，芦苇在水池正中央，因此芦苇到池边的水平距离为$ 10÷2=5 $尺。
将芦苇拉到池边时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理列方程：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开右边得：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
消去$ x^2 $整理得：$2x=24$
解得：$ x=12 $
因此芦苇长度为$ x+1=12+1=13 $尺。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题核心是从实际情境中抽象出直角三角形模型，准确对应各边长度，通过设未知数列方程即可快速求解，对学生的数学建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
3.（孝义三模）我国古代数学著作《周髀算经》记载了商高的用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法：如图，设曲尺平行于水平线的一边DE的长为$a$，垂直于水平线的一边CD的长为$b$，当人眼$F$，曲尺两边端点$C$、$E$，物体$AB$的顶端点$A$在同一条直线上时，人眼$F$到过点$B$的水平线的高度为$h$，人眼$F$到物体$AB$的水平距离为$c$，则可求得物体$AB$的高度等于$\frac{bc}{a}+h$. 其依据的图形变化是 【 】
A.图形的平移
B.图形的轴对称
C.图形的旋转
D.图形的相似
A.图形的平移
B.图形的轴对称
C.图形的旋转
D.图形的相似
答案
D
解析
【分析】
首先我们先明确四类图形变化的核心特征：平移是图形沿直线平行移动，仅改变位置；轴对称是图形沿对称轴翻折后可完全重合；旋转是图形绕某一定点转动一定角度；相似是图形形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例。再看题中高度公式的推导逻辑：因为曲尺的垂直边CD与被测物体AB都垂直于水平线，所以CD与AB平行，结合F、C、A三点共线，可得到两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质就能推导出AB的高度表达式，因此该推导依据的是图形的相似。
【解析】
解：由题意得，CD⊥水平线，AB⊥水平线，因此CD//AB。
又
∵点F、C、A在同一直线上，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得到含边CD的小直角三角形与含边AB的大直角三角形相似，借助相似三角形对应边成比例的性质，即可推导得出$AB=\frac{bc}{a}+h$。
对选项逐一判断：
A. 图形平移仅改变图形位置，和本题推导原理无关，排除；
B. 图形轴对称是沿对称轴翻折重合，本题不存在该变换，排除；
C. 图形旋转是绕定点转动角度，本题不存在该变换，排除；
D. 推导过程用到相似三角形的相关性质，属于图形的相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用，图形的相似
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的测量方法，考查不同图形变化的区分和相似三角形的实际应用，体现了数学的实用价值，只需结合推导原理匹配对应图形变化即可解题。
【难度系数】
0.8
首先我们先明确四类图形变化的核心特征：平移是图形沿直线平行移动，仅改变位置；轴对称是图形沿对称轴翻折后可完全重合；旋转是图形绕某一定点转动一定角度；相似是图形形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例。再看题中高度公式的推导逻辑：因为曲尺的垂直边CD与被测物体AB都垂直于水平线，所以CD与AB平行，结合F、C、A三点共线，可得到两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质就能推导出AB的高度表达式，因此该推导依据的是图形的相似。
【解析】
解：由题意得，CD⊥水平线，AB⊥水平线，因此CD//AB。
又
∵点F、C、A在同一直线上，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得到含边CD的小直角三角形与含边AB的大直角三角形相似，借助相似三角形对应边成比例的性质，即可推导得出$AB=\frac{bc}{a}+h$。
对选项逐一判断：
A. 图形平移仅改变图形位置，和本题推导原理无关，排除；
B. 图形轴对称是沿对称轴翻折重合，本题不存在该变换，排除；
C. 图形旋转是绕定点转动角度，本题不存在该变换，排除；
D. 推导过程用到相似三角形的相关性质，属于图形的相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用，图形的相似
【点评】
本题结合我国古代数学著作中的测量方法，考查不同图形变化的区分和相似三角形的实际应用，体现了数学的实用价值，只需结合推导原理匹配对应图形变化即可解题。
【难度系数】
0.8
4. 小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编:如图,一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门,出北门100步有一棵大树,出西门225步刚好看看到北门外的这棵大树,则该城堡的边长为
300
步.答案
4. 300
解析
【分析】
这是一道相似三角形在实际测量中的应用题，解题思路如下：首先设正方形城堡的边长为未知数，由北门、西门是城墙正中间，可得城墙西北角到两个门的距离均为边长的一半；再根据“出西门225步刚好看到大数”可知，西门外的观测点、城墙西北角、大树三点共线，可得到两个直角三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例列方程，求解即可得到城堡边长，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设正方形城堡的边长为$ x $步，因为北门、西门分别在正北、正西城墙的正中间，所以城墙西北角到北门的距离为$ \frac{x}{2} $步，城墙西北角到西门的距离也为$ \frac{x}{2} $步。
由题意可知：观测点（西门外225步处）、城墙西北角、大树三点共线，因此形成的两个直角三角形相似（两个角分别相等的三角形相似：均为直角三角形，且视线与水平方向的夹角相等）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{100}{\frac{x}{2}} = \frac{\frac{x}{2}}{225}$
交叉相乘得：
$(\frac{x}{2})^2 = 100 × 225 = 22500$
因为边长为正数，所以$ \frac{x}{2} = 150 $，解得$ x = 300 $。
【答案】
300
【知识点】
相似三角形的应用，相似三角形的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题结合古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是找到共线的三点构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程求解，求解后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道相似三角形在实际测量中的应用题，解题思路如下：首先设正方形城堡的边长为未知数，由北门、西门是城墙正中间，可得城墙西北角到两个门的距离均为边长的一半；再根据“出西门225步刚好看到大数”可知，西门外的观测点、城墙西北角、大树三点共线，可得到两个直角三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例列方程，求解即可得到城堡边长，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设正方形城堡的边长为$ x $步，因为北门、西门分别在正北、正西城墙的正中间，所以城墙西北角到北门的距离为$ \frac{x}{2} $步，城墙西北角到西门的距离也为$ \frac{x}{2} $步。
由题意可知：观测点（西门外225步处）、城墙西北角、大树三点共线，因此形成的两个直角三角形相似（两个角分别相等的三角形相似：均为直角三角形，且视线与水平方向的夹角相等）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{100}{\frac{x}{2}} = \frac{\frac{x}{2}}{225}$
交叉相乘得：
$(\frac{x}{2})^2 = 100 × 225 = 22500$
因为边长为正数，所以$ \frac{x}{2} = 150 $，解得$ x = 300 $。
【答案】
300
【知识点】
相似三角形的应用，相似三角形的性质，一元二次方程求解
【点评】
本题结合古代数学问题考查相似三角形的实际应用，解题的关键是找到共线的三点构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程求解，求解后需注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为3m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为
9 m
.答案
5. 9 m
解析
【分析】
首先观察图形特征：竹竿和树均垂直于地面，二者顶端的影子落在地面同一点，因此竹竿、竹竿影子与光线构成的直角三角形，和树、树的影子与光线构成的直角三角形有公共锐角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算树到影子端点的总水平距离，再代入已知数据列比例式即可求出树的高度。
【解析】
解：由题意得，竹竿与地面垂直，树与地面垂直，因此两个三角形均为直角三角形，且二者有公共的锐角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得两个直角三角形相似。
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{树的高度}}=\frac{\mathrm{竹竿到影子端点的距离}}{\mathrm{树到影子端点的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{3}{h}=\frac{5}{5+10}$
化简得$ \frac{3}{h}=\frac{1}{3} $，解得$ h=9 $。
【答案】
9 m
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型基础题，解题核心是识别出共顶点的相似直角三角形，准确找到对应边的比例关系，即可快速求解未知高度。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征：竹竿和树均垂直于地面，二者顶端的影子落在地面同一点，因此竹竿、竹竿影子与光线构成的直角三角形，和树、树的影子与光线构成的直角三角形有公共锐角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算树到影子端点的总水平距离，再代入已知数据列比例式即可求出树的高度。
【解析】
解：由题意得，竹竿与地面垂直，树与地面垂直，因此两个三角形均为直角三角形，且二者有公共的锐角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得两个直角三角形相似。
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{树的高度}}=\frac{\mathrm{竹竿到影子端点的距离}}{\mathrm{树到影子端点的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{3}{h}=\frac{5}{5+10}$
化简得$ \frac{3}{h}=\frac{1}{3} $，解得$ h=9 $。
【答案】
9 m
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型基础题，解题核心是识别出共顶点的相似直角三角形，准确找到对应边的比例关系，即可快速求解未知高度。
【难度系数】
0.8
