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10. 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2m，它的影子BC=1.5m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木杆PQ的长为
2.4
m.答案
10. 2.4
解析
【分析】
本题利用平行投影的性质解题，同一时刻太阳光下，不同物体的物高与对应影长的比值相等。由于PQ的影子一部分落在墙上，我们可以通过作辅助线将问题拆分：过N作水平线垂直PQ于H，可得PH的长度等于墙上影子MN的长度，剩下的QH部分对应的影长为地面影子PM的长度，再借助已知木杆AB的物高和影长的比例关系，求出QH的长度，最后将两部分长度相加即可得到PQ的总长。
【解析】
解：过点N作$NH⊥ PQ$于点H，
则四边形HPMN为矩形，
$\therefore PH=MN=0.8\mathrm{m}$，$HN=PM=1.2\mathrm{m}$。
根据同一时刻平行投影下物高与影长成正比，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{QH}{HN}$
将$AB=2\mathrm{m}$，$BC=1.5\mathrm{m}$，$HN=1.2\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{2}{1.5}=\frac{QH}{1.2}$
解得$QH=\frac{2×1.2}{1.5}=1.6\mathrm{m}$
$\therefore PQ=QH+PH=1.6+0.8=2.4\mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
平行投影的性质，比例线段计算
【点评】
本题是投影测量类的典型题型，解题核心是通过作辅助线将落在墙面的影子转化为木杆的对应高度，避免误将两段影子长度直接相加作为总影长计算，掌握平行投影的物高影长成正比的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题利用平行投影的性质解题，同一时刻太阳光下，不同物体的物高与对应影长的比值相等。由于PQ的影子一部分落在墙上，我们可以通过作辅助线将问题拆分：过N作水平线垂直PQ于H，可得PH的长度等于墙上影子MN的长度，剩下的QH部分对应的影长为地面影子PM的长度，再借助已知木杆AB的物高和影长的比例关系，求出QH的长度，最后将两部分长度相加即可得到PQ的总长。
【解析】
解：过点N作$NH⊥ PQ$于点H，
则四边形HPMN为矩形，
$\therefore PH=MN=0.8\mathrm{m}$，$HN=PM=1.2\mathrm{m}$。
根据同一时刻平行投影下物高与影长成正比，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{QH}{HN}$
将$AB=2\mathrm{m}$，$BC=1.5\mathrm{m}$，$HN=1.2\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{2}{1.5}=\frac{QH}{1.2}$
解得$QH=\frac{2×1.2}{1.5}=1.6\mathrm{m}$
$\therefore PQ=QH+PH=1.6+0.8=2.4\mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
平行投影的性质，比例线段计算
【点评】
本题是投影测量类的典型题型，解题核心是通过作辅助线将落在墙面的影子转化为木杆的对应高度，避免误将两段影子长度直接相加作为总影长计算，掌握平行投影的物高影长成正比的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3m，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9m.
（1）求旗杆AB的高度.
（2）小明在点C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2m高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问：小明后退了几米（即CD的长）？
（1）求旗杆AB的高度.
（2）小明在点C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2m高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问：小明后退了几米（即CD的长）？
答案
(1) 旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3 m，点C处到旗杆底部B的距离为9 m，设旗杆AB的高度为$x$ m，则$AC=(x+3)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$, 由勾股定理,得$AB^2+BC^2=AC^2$,即$x^2+9^2=(x+3)^2$. 解得$x=12$. 即旗杆AB的高度为12 m
(2) 如图,过点E作$EM ⊥ AB$,垂足为M,则$∠ EMB=∠ MBD=∠ EDB=90°$.
∴四边形BDEM为矩形.
∴$MB=ED=2\,\mathrm{m}$, $BD=ME$.
∵$AB=12\,\mathrm{m}$,
∴$AM=12-2=10(\mathrm{m})$, $AE=12+3=15(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ AME$中,$∠ AME=90°$, 由勾股定理,得$ME=\sqrt{AE^2-AM^2}=\sqrt{15^2-10^2}=5\sqrt{5}(\mathrm{m})$.
∴$CD=(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$. 即小明后退了$(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$
解析
【分析】
（1）由题意可知旗杆AB与地面BD垂直，因此△ABC为直角三角形，绳子AC的长度比旗杆AB长3m，我们可设AB的高度为$x$ m，则AC长度为$(x+3)$m，已知BC=9m，利用勾股定理列方程即可求解旗杆高度。
（2）要求CD的长度，先过E作$EM⊥AB$于M，可证四边形BDEM是矩形，得到$MB=ED=2\mathrm{m}$、$BD=ME$，先计算出AM、AE的长度，再在$\mathrm{Rt}△AME$中用勾股定理求出ME的长度，最后用ME长度减去BC的长度9m，即可得到CD的长度。
【解析】
（1）设旗杆AB的高度为$x$ m，由题意得绳子AC的长度为$(x+3)$m。
∵$AB⊥BD$，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$x^2+9^2=(x+3)^2$，
展开得$x^2+81=x^2+6x+9$，
化简得$6x=72$，解得$x=12$。
（2）过点E作$EM ⊥ AB$，垂足为M，
∵$∠ EMB=∠ MBD=∠ EDB=90°$，
∴四边形BDEM为矩形，
∴$MB=ED=2\,\mathrm{m}$，$BD=ME$，
∵$AB=12\,\mathrm{m}$，
∴$AM=AB-MB=12-2=10(\mathrm{m})$，
绳子总长度不变，故$AE=AC=12+3=15(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AME$中，$∠ AME=90°$，由勾股定理得：
$ME=\sqrt{AE^2-AM^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}(\mathrm{m})$，
∴$BD=ME=5\sqrt{5}\,\mathrm{m}$，
∴$CD=BD-BC=(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 旗杆AB的高度为12 m；
(2) 小明后退了$(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是实际测量类问题，结合生活场景考查几何知识的应用，第一问通过设未知数利用勾股定理建立方程即可求解，第二问的解题关键是作辅助线构造矩形和直角三角形，将未知边长转化为直角三角形的边长进行计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）由题意可知旗杆AB与地面BD垂直，因此△ABC为直角三角形，绳子AC的长度比旗杆AB长3m，我们可设AB的高度为$x$ m，则AC长度为$(x+3)$m，已知BC=9m，利用勾股定理列方程即可求解旗杆高度。
（2）要求CD的长度，先过E作$EM⊥AB$于M，可证四边形BDEM是矩形，得到$MB=ED=2\mathrm{m}$、$BD=ME$，先计算出AM、AE的长度，再在$\mathrm{Rt}△AME$中用勾股定理求出ME的长度，最后用ME长度减去BC的长度9m，即可得到CD的长度。
【解析】
（1）设旗杆AB的高度为$x$ m，由题意得绳子AC的长度为$(x+3)$m。
∵$AB⊥BD$，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$x^2+9^2=(x+3)^2$，
展开得$x^2+81=x^2+6x+9$，
化简得$6x=72$，解得$x=12$。
（2）过点E作$EM ⊥ AB$，垂足为M，
∵$∠ EMB=∠ MBD=∠ EDB=90°$，
∴四边形BDEM为矩形，
∴$MB=ED=2\,\mathrm{m}$，$BD=ME$，
∵$AB=12\,\mathrm{m}$，
∴$AM=AB-MB=12-2=10(\mathrm{m})$，
绳子总长度不变，故$AE=AC=12+3=15(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AME$中，$∠ AME=90°$，由勾股定理得：
$ME=\sqrt{AE^2-AM^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}(\mathrm{m})$，
∴$BD=ME=5\sqrt{5}\,\mathrm{m}$，
∴$CD=BD-BC=(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 旗杆AB的高度为12 m；
(2) 小明后退了$(5\sqrt{5}-9)\mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是实际测量类问题，结合生活场景考查几何知识的应用，第一问通过设未知数利用勾股定理建立方程即可求解，第二问的解题关键是作辅助线构造矩形和直角三角形，将未知边长转化为直角三角形的边长进行计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 小明及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度 EF. 如图,第一次测量中,在阳光下,小明来回走动,走到点 D 处时,其影子末端与广告牌影子末端重合于点 H,其中 DH=1 m. 随后,组员在直线 DF 上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线 DF 上的对应位置为点 G. 镜子不动,小明从点 D 沿着直线 FD 后退 5 m 到点 B 处时,恰好在镜子中看到广告牌顶端 E 的像与标记 G 重合,此时 BG=2 m. 已知 AB ⊥ BF, CD ⊥ BF, EF ⊥ BF,小明的身高为 1.5 m(眼睛到头顶的距离忽略不计,即 AB=CD=1.5 m),平面镜的厚度忽略不计. 根据以上信息,求广告牌的高度 EF.
答案
12. 设广告牌的高度EF为$x$ m. 由题意知,$DB=5\,\mathrm{m}$, $BG=2\,\mathrm{m}$, $DH=1\,\mathrm{m}$, $AB=CD=1.5\,\mathrm{m}$.
∴$GD=DB-BG=3\,\mathrm{m}$.
∵$CD ⊥ BF$, $EF ⊥ BF$,
∴$CD // EF$.
∴$△ EFH ∽ △ CDH$.
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{FH}{DH}$,即$\frac{EF}{CD}=\frac{DH+DF}{DH}$.
∴$\frac{x}{1.5}=\frac{1+DF}{1}$.
∴$DF=(\frac{2}{3}x -1)\mathrm{m}$. 由平面镜反射规律,可得$∠ EGF=∠ AGB$.
∵$AB ⊥ BF$,
∴$∠ ABG=90°=∠ EFG$.
∴$△ EFG ∽ △ ABG$.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$,即$\frac{EF}{AB}=\frac{GD+DF}{BG}$.
∴$\frac{x}{1.5}=\frac{3+\frac{2}{3}x -1}{2}$.
∴$x=3$. 即广告牌的高度EF为3 m
∴$GD=DB-BG=3\,\mathrm{m}$.
∵$CD ⊥ BF$, $EF ⊥ BF$,
∴$CD // EF$.
∴$△ EFH ∽ △ CDH$.
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{FH}{DH}$,即$\frac{EF}{CD}=\frac{DH+DF}{DH}$.
∴$\frac{x}{1.5}=\frac{1+DF}{1}$.
∴$DF=(\frac{2}{3}x -1)\mathrm{m}$. 由平面镜反射规律,可得$∠ EGF=∠ AGB$.
∵$AB ⊥ BF$,
∴$∠ ABG=90°=∠ EFG$.
∴$△ EFG ∽ △ ABG$.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$,即$\frac{EF}{AB}=\frac{GD+DF}{BG}$.
∴$\frac{x}{1.5}=\frac{3+\frac{2}{3}x -1}{2}$.
∴$x=3$. 即广告牌的高度EF为3 m
解析
【分析】
要测量广告牌高度EF，可通过构建两组相似三角形求解：首先利用平行投影的特点，CD、EF均垂直于地面可得CD//EF，推出△CDH∽△EFH，通过该组相似关系可将线段DF用含EF的代数式表示；再根据平面镜反射规律得到角相等，结合AB、EF均垂直于地面推出△ABG∽△EFG，将DF的表达式代入该组相似的比例关系中，列方程求解即可得到EF的长度。
【解析】
设广告牌的高度EF为$x$ m。
由题意得：$DB=5\,\mathrm{m}$，$BG=2\,\mathrm{m}$，$DH=1\,\mathrm{m}$，$AB=CD=1.5\,\mathrm{m}$，
$\therefore GD=DB-BG=5-2=3\,\mathrm{m}$。
$\because CD⊥ BF$，$EF⊥ BF$，
$\therefore CD// EF$，
$\therefore △ EFH ∽ △ CDH$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{FH}{DH}$，其中$FH=DH+DF$，
代入数据得：$\frac{x}{1.5}=\frac{1+DF}{1}$，整理得$DF=(\frac{2}{3}x -1)\mathrm{m}$。
根据平面镜反射规律可得$∠ EGF=∠ AGB$，
$\because AB⊥ BF$，$EF⊥ BF$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EFG=90°$，
$\therefore △ EFG ∽ △ ABG$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$，其中$FG=GD+DF$，
代入数据得：$\frac{x}{1.5}=\frac{3+\frac{2}{3}x -1}{2}$，
解得$x=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3\,\mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的应用 2.平面镜反射规律 3.平行投影性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查学生构建几何模型解决实际问题的能力，解题核心是准确找到两组相似三角形的对应边比例关系，结合方程思想求解即可，同时体现了数学和物理知识的跨学科结合应用。
【难度系数】
0.6
要测量广告牌高度EF，可通过构建两组相似三角形求解：首先利用平行投影的特点，CD、EF均垂直于地面可得CD//EF，推出△CDH∽△EFH，通过该组相似关系可将线段DF用含EF的代数式表示；再根据平面镜反射规律得到角相等，结合AB、EF均垂直于地面推出△ABG∽△EFG，将DF的表达式代入该组相似的比例关系中，列方程求解即可得到EF的长度。
【解析】
设广告牌的高度EF为$x$ m。
由题意得：$DB=5\,\mathrm{m}$，$BG=2\,\mathrm{m}$，$DH=1\,\mathrm{m}$，$AB=CD=1.5\,\mathrm{m}$，
$\therefore GD=DB-BG=5-2=3\,\mathrm{m}$。
$\because CD⊥ BF$，$EF⊥ BF$，
$\therefore CD// EF$，
$\therefore △ EFH ∽ △ CDH$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{FH}{DH}$，其中$FH=DH+DF$，
代入数据得：$\frac{x}{1.5}=\frac{1+DF}{1}$，整理得$DF=(\frac{2}{3}x -1)\mathrm{m}$。
根据平面镜反射规律可得$∠ EGF=∠ AGB$，
$\because AB⊥ BF$，$EF⊥ BF$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EFG=90°$，
$\therefore △ EFG ∽ △ ABG$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$，其中$FG=GD+DF$，
代入数据得：$\frac{x}{1.5}=\frac{3+\frac{2}{3}x -1}{2}$，
解得$x=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3\,\mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的应用 2.平面镜反射规律 3.平行投影性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查学生构建几何模型解决实际问题的能力，解题核心是准确找到两组相似三角形的对应边比例关系，结合方程思想求解即可，同时体现了数学和物理知识的跨学科结合应用。
【难度系数】
0.6
