登录
1.（怀化期末）若直角三角形的一个锐角是$55°$,则另一个锐角的度数是 【 】
A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
A.$45°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$15°$
答案
B
解析
【分析】
求解本题首先要明确直角三角形的角的性质：直角三角形有一个内角为90°，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，已知其中一个锐角为$55°$
∴另一个锐角的度数为 $90° - 55° = 35°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形锐角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础考点题型，核心考查直角三角形的基本性质，只要熟记直角三角形两锐角互余的结论就能快速求解，计算量极小。
【难度系数】
0.9
求解本题首先要明确直角三角形的角的性质：直角三角形有一个内角为90°，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，已知其中一个锐角为$55°$
∴另一个锐角的度数为 $90° - 55° = 35°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形锐角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础考点题型，核心考查直角三角形的基本性质，只要熟记直角三角形两锐角互余的结论就能快速求解，计算量极小。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,D是BC的中点.若AD=2,则AB=
【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形的性质计算底角的度数，再结合等腰三角形“三线合一”的性质得到AD垂直BC，构造出含30°角的直角三角形，最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出AB的长度。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
又
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，即△ABD是直角三角形，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，其对边AD=2，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AB=2AD=2×2=4。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是结合等腰三角形的性质构造特殊直角三角形，再利用特殊直角三角形的边角关系求解，是三角形性质应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形的性质计算底角的度数，再结合等腰三角形“三线合一”的性质得到AD垂直BC，构造出含30°角的直角三角形，最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出AB的长度。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
又
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，即△ABD是直角三角形，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，其对边AD=2，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AB=2AD=2×2=4。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是结合等腰三角形的性质构造特殊直角三角形，再利用特殊直角三角形的边角关系求解，是三角形性质应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
3.（陕西中考）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=20°$，$CD$为边$AB$上的中线，$DE ⊥ AC$，则图中与$∠ A$互余的角共有 【 】
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题思路如下：第一步，先利用直角三角形两锐角互余，得到与∠A互余的∠B；第二步，由DE⊥AC得到Rt△ADE，得出∠ADE与∠A互余；第三步，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=AD=BD，结合等边对等角可得∠BCD=∠B，再由DE和BC都垂直于AC推出DE//BC，得到∠CDE=∠BCD，进而推出∠CDE、∠BCD也和∠A互余，最后统计个数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即∠B与∠A互余；
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A+∠ADE=90°，即∠ADE与∠A互余；
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠A+∠BCD=∠A+∠B=90°，即∠BCD与∠A互余；
又
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE//BC（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDE=∠BCD，
∴∠A+∠CDE=∠A+∠BCD=90°，即∠CDE与∠A互余。
综上，与∠A互余的角有∠B、∠ADE、∠BCD、∠CDE，共4个。
【答案】
C
【知识点】
互余的定义；直角三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意结合图形性质逐一排查符合条件的角，避免出现漏算的情况，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题思路如下：第一步，先利用直角三角形两锐角互余，得到与∠A互余的∠B；第二步，由DE⊥AC得到Rt△ADE，得出∠ADE与∠A互余；第三步，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=AD=BD，结合等边对等角可得∠BCD=∠B，再由DE和BC都垂直于AC推出DE//BC，得到∠CDE=∠BCD，进而推出∠CDE、∠BCD也和∠A互余，最后统计个数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即∠B与∠A互余；
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A+∠ADE=90°，即∠ADE与∠A互余；
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠A+∠BCD=∠A+∠B=90°，即∠BCD与∠A互余；
又
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE//BC（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDE=∠BCD，
∴∠A+∠CDE=∠A+∠BCD=90°，即∠CDE与∠A互余。
综上，与∠A互余的角有∠B、∠ADE、∠BCD、∠CDE，共4个。
【答案】
C
【知识点】
互余的定义；直角三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意结合图形性质逐一排查符合条件的角，避免出现漏算的情况，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4.（阜阳期末）如图，在四边形ABCD中，$∠ BAD=90°$，$BC=DC$，点O为对角线BD的中点，连结AO、CO。若$AO=\sqrt{5}$，$OC=1$，则CD的长为 【 】
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{11}$
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{11}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先看Rt△BAD，已知∠BAD=90°，O是BD中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可直接得到AO与OD的等量关系，求出OD的长度；第二步，已知BC=DC，O是BD中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出CO垂直BD，即△COD为直角三角形；第三步，在Rt△COD中，已知两条直角边OC、OD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ BAD$中，$∠ BAD=90°$，O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AO=BO=OD=\sqrt{5}$，即$OD=\sqrt{5}$。
2. 因为$BC=DC$，O是BD中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$CO⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，$△ COD$是直角三角形。
3. 在$Rt△ COD$中，$OC=1$，$OD=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{1+5}=\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练运用特殊三角形的性质，将已知条件转化为直角三角形的边长关系，属于考试中常见的基础得分题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先看Rt△BAD，已知∠BAD=90°，O是BD中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可直接得到AO与OD的等量关系，求出OD的长度；第二步，已知BC=DC，O是BD中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出CO垂直BD，即△COD为直角三角形；第三步，在Rt△COD中，已知两条直角边OC、OD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ BAD$中，$∠ BAD=90°$，O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AO=BO=OD=\sqrt{5}$，即$OD=\sqrt{5}$。
2. 因为$BC=DC$，O是BD中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$CO⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，$△ COD$是直角三角形。
3. 在$Rt△ COD$中，$OC=1$，$OD=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{1+5}=\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是熟练运用特殊三角形的性质，将已知条件转化为直角三角形的边长关系，属于考试中常见的基础得分题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°$,$AB=14$,则$AC=$
7
.答案
5. 7
解析
【分析】
解题时首先观察题干给出的是含30°角的直角三角形，可回忆直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边长度等于斜边长度的一半。接下来先明确30°角∠B对应的直角边是AC，斜边是已知长度的AB，直接代入性质公式即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$
∴AC是30°角∠B所对的直角边，AB为直角三角形的斜边
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$
将$AB=14$代入上式得：
$AC=\frac{1}{2}×14=7$
【答案】
7
【知识点】
直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中30°角的特殊性质的应用，解题的关键是准确对应30°角、其对的直角边以及斜边三者的关系，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题干给出的是含30°角的直角三角形，可回忆直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边长度等于斜边长度的一半。接下来先明确30°角∠B对应的直角边是AC，斜边是已知长度的AB，直接代入性质公式即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$
∴AC是30°角∠B所对的直角边，AB为直角三角形的斜边
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$
将$AB=14$代入上式得：
$AC=\frac{1}{2}×14=7$
【答案】
7
【知识点】
直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形中30°角的特殊性质的应用，解题的关键是准确对应30°角、其对的直角边以及斜边三者的关系，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. (常德三模)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$D$是$AC$的中点,$∠ BDC=60°$,$AC=6$,则$BC$的长是
3
.答案
6. 3
解析
【分析】
解题时先从题干给出的Rt△ABC和D是AC中点的条件入手，首先回忆直角三角形斜边中线的性质，可推出BD与CD的长度都等于AC的一半，算出二者长度为3；再结合已知∠BDC=60°，可判定△BDC为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出BC的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：$BD=CD=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $AC=6$，
∴ $BD=CD=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ $∠BDC=60°$，且$BD=CD$，
∴ △BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $BC=CD=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形与等边三角形性质的综合运用，解题的突破口是先利用斜边中线性质得到相等线段，再结合特殊角判定等边三角形，解题思路清晰，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干给出的Rt△ABC和D是AC中点的条件入手，首先回忆直角三角形斜边中线的性质，可推出BD与CD的长度都等于AC的一半，算出二者长度为3；再结合已知∠BDC=60°，可判定△BDC为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出BC的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：$BD=CD=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $AC=6$，
∴ $BD=CD=\frac{1}{2}×6=3$，
∵ $∠BDC=60°$，且$BD=CD$，
∴ △BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $BC=CD=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形与等边三角形性质的综合运用，解题的突破口是先利用斜边中线性质得到相等线段，再结合特殊角判定等边三角形，解题思路清晰，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$AC=2$，$BC=3$，$AB=\sqrt{13}$，$D$是边$AB$的中点，则$CD=$
$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
。答案
7. $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
解题时先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，若相等即可判定该三角形为直角三角形且∠C为直角。再结合已知条件D是AB中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出CD的长度。
【解析】
解：先判断△ABC的形状：
已知$AC=2$，$BC=3$，$AB=\sqrt{13}$，
则$AC^2+BC^2=2^2+3^2=4+9=13$，
$AB^2=(\sqrt{13})^2=13$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∵$D$是斜边$AB$的中点，$CD$是$Rt△ ABC$斜边$AB$上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\sqrt{13}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，若相等即可判定该三角形为直角三角形且∠C为直角。再结合已知条件D是AB中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出CD的长度。
【解析】
解：先判断△ABC的形状：
已知$AC=2$，$BC=3$，$AB=\sqrt{13}$，
则$AC^2+BC^2=2^2+3^2=4+9=13$，
$AB^2=(\sqrt{13})^2=13$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∵$D$是斜边$AB$的中点，$CD$是$Rt△ ABC$斜边$AB$上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\sqrt{13}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
