8. 如图，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，点$O$是线段$AC$的中点.
（1）求证：$OB=OD$；
（2）若$∠ ACD=30°$，$OB=6$，求$AD$的长.

(1) $\because ∠ABC=∠ADC=90°$, $O$是$AC$的中点，$\therefore OB=\dfrac{1}{2}AC$, $OD=\dfrac{1}{2}AC$. $\therefore OB=OD$
(2) $\because ∠ABC=90°$, $O$是$AC$的中点, $\therefore AC=2OB=12$.
$\because ∠ACD=30°$, $∠ADC=90°$, $\therefore AD=\dfrac{1}{2}AC=6$

【分析】
（1）要证明$OB=OD$，观察图形可知$△ ABC$和$△ ADC$都是直角三角形，二者有公共斜边$AC$，且$O$是$AC$中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出$OB$、$OD$均等于$AC$的一半，即可证明二者相等；
（2）已知$OB$的长度，先通过直角三角形斜边中线的性质求出$AC$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，利用$30°$角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出$AD$的长度。
【解析】
（1）证明：$\because ∠ABC=∠ADC=90°$，$O$是$AC$的中点，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$OB=\dfrac{1}{2}AC$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$OD=\dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore OB=OD$。
（2）解：$\because ∠ABC=90°$，$O$是$AC$的中点，
$\therefore AC=2OB$，
$\because OB=6$，$\therefore AC=2×6=12$，
又$\because ∠ADC=90°$，$∠ACD=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×12=6$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $AD=6$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握直角三角形的相关性质，找准对应直角三角形的斜边和边的关系，属于基础知识点的直接考察，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9.（西华期末）如图，$∠ AOB=60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=8$，点$M$、$N$在边$OB$上，$PM=PN$.若$MN=2$，则$OM$的长为 【 】

A.2
B.3
C.4
D.6

B

【分析】
解题时先观察条件：PM=PN说明△PMN是等腰三角形，优先考虑等腰三角形三线合一的性质，过P作OB的垂线，可得到MN的中点，算出MN一半的长度；再结合∠AOB=60°，在构造的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，算出垂足到点O的距离，最后用该距离减去MN一半的长度即可求出OM的长。
【解析】
解：过点P作PC⊥OB于点C。
∵PM=PN，PC⊥MN，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$MC=NC=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△POC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=90°-60°=30°，
∴根据含30°角的直角三角形的性质，得$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$。
∴$OM=OC-MC=4-1=3$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质完成线段长度的推导。
【难度系数】
0.7

10. (德阳中考)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,将 $△ ABC$ 沿 $CB$ 方向向右平移至 $△ EGF$ 处,使 $EF$ 恰好过边 $AB$ 的中点 $D$,连结 $CD$,若 $CD = 1$,则 $GE =$ 【 】

A.3
B.2
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$

B

【分析】
解题思路如下：第一步，先梳理已知条件，$△ ABC$是直角三角形，D是斜边AB的中点，CD是斜边AB的中线，可利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度；第二步，根据平移的性质，平移前后图形的对应边相等，找到GE的对应边为AB，即可求出GE的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得：
$AB=2CD$
已知$CD=1$，代入计算得$AB=2×1=2$。
2. 因为$△ ABC$沿CB方向向右平移得到$△ EGF$，根据平移的性质，平移前后对应边相等，GE与AB是对应边，因此：
$GE=AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；平移的性质
【点评】
本题属于基础几何题，结合了直角三角形性质和平移性质两个考点，熟练掌握相关基础性质，就能快速找到等量关系完成求解。
【难度系数】
0.7

11. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=5$，点$D$是斜边$AB$的中点，则$CD=\_\_\_\_\_\_$。

11. 5

【分析】
解题思路：首先观察到题目给出的是含30°角的直角三角形，我们先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边AB的长度；再结合点D是斜边AB的中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=5$，代入得$AB=2BC=2×5=10$。
又$\because$点$D$是斜边$AB$的中点，$CD$是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边$AB$的中线，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质；2. 直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形的两个常用性质，解题时只要找准对应边、对应线段，结合性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

12. (河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

12. (3, 10)

【分析】
本题是正方形背景下的折叠类坐标求解问题，解题思路分为两步：首先利用折叠前后对应边相等的性质，得到BF等于正方形边长，结合Rt△BOF的勾股关系求出正方形的边长，确定正方形各顶点坐标及E点的纵坐标；再利用折叠后CE=EF的等量关系，设出E点横坐标，通过两点间距离公式列方程求解即可。
【解析】
1. 求正方形边长：
设正方形ABCD的边长为$a$，由折叠性质可知$BC=BF=a$。
已知点$A(-2,0)$，则$OA=2$，$OB=AB-OA=a-2$；点$F(0,6)$，则$OF=6$。
在$Rt△ BOF$中，由勾股定理得：$OB^2+OF^2=BF^2$，代入得：
$(a-2)^2+6^2=a^2$
展开化简：$a^2-4a+4+36=a^2$，解得$a=10$。
因此正方形边长为10，点$B$坐标为$(8,0)$，点$C$坐标为$(8,10)$，CD边所在直线为$y=10$，即点$E$的纵坐标为10。
2. 求点E的横坐标：
设点$E$的坐标为$(x,10)$，由折叠性质得$CE=EF$。
$CE=8-x$，$EF=\sqrt{(x-0)^2+(10-6)^2}=\sqrt{x^2+16}$，列方程：
$8-x=\sqrt{x^2+16}$
两边平方化简：$64-16x+x^2=x^2+16$，解得$x=3$。
【答案】
$(3,10)$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题综合考查正方形性质、折叠性质与坐标计算，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的特点，结合勾股定理建立等量关系求解，体现了数形结合的思想，是中考常考的典型题型。
【难度系数】
0.65