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13. 临颍县小商桥是一座比赵州桥还要早的古桥，位于河南省漯河市临颍县与郦城区交界的小商河（颍河故道）上，距今已有1400多年的历史。实践小组成员在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集小商桥AB（AB ⊥ CD）的相关数据。在河岸的一边选出点C和点D，分别在AC、AD的延长线上取点E、F，使得EF // CD，测得CD＝7 m，EF＝14 m，点E到河岸CD的距离为20 m。请根据上述数据，计算小商桥AB的长。
答案
13. 如图，过点E作EG ⊥ CD于点G.
∵EF // CD,
∴△ACD ∽△AEF.
∴ CD/EF = AC/AE = 7/14 = 1/2.
∴AC = CE.
∵AB ⊥ CD，EG ⊥ CD,
∴∠ABC = ∠EGC = 90°. 在△ACB和△ECG中，
∵∠ABC = ∠EGC，∠ACB = ∠ECG，AC = CE,
∴△ACB ≅△ECG(AAS).
∴AB = EG = 20 m. 即小商桥AB的长为20 m
解析
【分析】
要计算小商桥AB的长度，我们可以按照以下思路推导：首先观察到EF//CD，可据此构造相似三角形，利用已知的CD、EF长度求出相似比，得到AC和CE的等量关系；接下来过点E作EG⊥CD，此时AB、EG均垂直于CD，存在相等的直角和对顶角，结合刚才得到的AC=CE即可证明△ACB与△ECG全等，根据全等三角形对应边相等，可将待求的AB转化为已知长度的EG，即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作EG ⊥ CD于点G.
∵EF // CD，
∴△ACD ∽△AEF，
∴ $\frac{CD}{EF}=\frac{AC}{AE}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$，
∴ $AC = CE$。
∵AB ⊥ CD，EG ⊥ CD，
∴$∠ ABC = ∠ EGC = 90°$。
在△ACB和△ECG中：
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EGC \\∠ ACB = ∠ ECG \\AC = CE\end{cases}$
∴△ACB ≅△ECG（AAS），
∴$AB = EG = 20\ \mathrm{m}$。
【答案】
小商桥AB的长为20 m。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题以古桥测量的实际场景为载体，结合了相似三角形、全等三角形的核心知识，解题的关键是合理作辅助线，先通过平行线得到相似三角形确定线段数量关系，再借助全等三角形转化待求线段的长度，能锻炼学生将几何知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
要计算小商桥AB的长度，我们可以按照以下思路推导：首先观察到EF//CD，可据此构造相似三角形，利用已知的CD、EF长度求出相似比，得到AC和CE的等量关系；接下来过点E作EG⊥CD，此时AB、EG均垂直于CD，存在相等的直角和对顶角，结合刚才得到的AC=CE即可证明△ACB与△ECG全等，根据全等三角形对应边相等，可将待求的AB转化为已知长度的EG，即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作EG ⊥ CD于点G.
∵EF // CD，
∴△ACD ∽△AEF，
∴ $\frac{CD}{EF}=\frac{AC}{AE}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$，
∴ $AC = CE$。
∵AB ⊥ CD，EG ⊥ CD，
∴$∠ ABC = ∠ EGC = 90°$。
在△ACB和△ECG中：
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EGC \\∠ ACB = ∠ ECG \\AC = CE\end{cases}$
∴△ACB ≅△ECG（AAS），
∴$AB = EG = 20\ \mathrm{m}$。
【答案】
小商桥AB的长为20 m。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题以古桥测量的实际场景为载体，结合了相似三角形、全等三角形的核心知识，解题的关键是合理作辅助线，先通过平行线得到相似三角形确定线段数量关系，再借助全等三角形转化待求线段的长度，能锻炼学生将几何知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.7
14. 小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子.针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:
如图,小明边移动边观察,发现站在点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时测得小明落在墙上的影子高度$CD=1.2\,\mathrm{m}$,$CE=0.8\,\mathrm{m}$,$CA=30\,\mathrm{m}$(点$A$、$E$、$C$在同一条直线上).已知小明的身高$EF$是$1.7\,\mathrm{m}$,请你帮小明求出楼高$AB$.(结果精确到$0.1\,\mathrm{m}$)
如图,小明边移动边观察,发现站在点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼在墙上的影子重叠,且高度恰好相同,此时测得小明落在墙上的影子高度$CD=1.2\,\mathrm{m}$,$CE=0.8\,\mathrm{m}$,$CA=30\,\mathrm{m}$(点$A$、$E$、$C$在同一条直线上).已知小明的身高$EF$是$1.7\,\mathrm{m}$,请你帮小明求出楼高$AB$.(结果精确到$0.1\,\mathrm{m}$)
答案
14. 延长BD交AC的延长线于点O,得△OCD和△OEF.
由题意可知，△OCD ∽△OEF,∴ CD/EF = OC/OE, 即 1.2/1.7 = OC/(OC+0.8).
∴OC = 1.92 m. 由△OCD ∽△OAB可知，CD/AB = OC/OA, 即 1.2/AB = 1.92/31.92. 解得AB ≈ 20.0(m)
解析
【分析】
这是一道利用平行投影测量楼高的实际应用题，由于楼的影子有一部分落在对面墙上，无法直接用“物高与影长成正比”求解。我们可以根据光线沿直线传播的原理，作辅助线：延长BD与AC的延长线交于点O，构造出三组相似的直角三角形。解题思路分两步：① 先利用墙上影子CD、小明身高EF对应的相似三角形△OCD∽△OEF，求出点O到墙C的距离OC；② 再利用△OCD∽△OAB，结合已知的CA长度，代入比例式求解楼高AB即可。
【解析】
解：延长BD交AC的延长线于点O，得△OCD和△OEF。
由题意得$CD⊥ AC$，$EF⊥ AC$，$AB⊥ AC$，因此$CD// EF// AB$。
∴ $△ OCD ∽ △ OEF$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OE}$
已知$CD=1.2\,\mathrm{m}$，$EF=1.7\,\mathrm{m}$，$CE=0.8\,\mathrm{m}$，$OE=OC+CE=OC+0.8$，代入得：
$\frac{1.2}{1.7}=\frac{OC}{OC+0.8}$
解得：$OC=1.92\,\mathrm{m}$。
又
∵ $CD// AB$，
∴ $△ OCD ∽ △ OAB$，可得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}$
已知$CA=30\,\mathrm{m}$，$OA=OC+CA=1.92+30=31.92\,\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.2}{AB}=\frac{1.92}{31.92}$
解得：$AB=\frac{1.2×31.92}{1.92}=19.95\approx20.0\,\mathrm{m}$
【答案】
楼高$AB$约为$\boldsymbol{20.0\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题贴近生活实际，考查了相似三角形在高度测量中的应用，解题的核心是通过添加辅助线构造相似模型，将实际问题转化为数学中的比例计算问题，需要注意找准相似三角形的对应边，避免因对应关系出错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用平行投影测量楼高的实际应用题，由于楼的影子有一部分落在对面墙上，无法直接用“物高与影长成正比”求解。我们可以根据光线沿直线传播的原理，作辅助线：延长BD与AC的延长线交于点O，构造出三组相似的直角三角形。解题思路分两步：① 先利用墙上影子CD、小明身高EF对应的相似三角形△OCD∽△OEF，求出点O到墙C的距离OC；② 再利用△OCD∽△OAB，结合已知的CA长度，代入比例式求解楼高AB即可。
【解析】
解：延长BD交AC的延长线于点O，得△OCD和△OEF。
由题意得$CD⊥ AC$，$EF⊥ AC$，$AB⊥ AC$，因此$CD// EF// AB$。
∴ $△ OCD ∽ △ OEF$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OE}$
已知$CD=1.2\,\mathrm{m}$，$EF=1.7\,\mathrm{m}$，$CE=0.8\,\mathrm{m}$，$OE=OC+CE=OC+0.8$，代入得：
$\frac{1.2}{1.7}=\frac{OC}{OC+0.8}$
解得：$OC=1.92\,\mathrm{m}$。
又
∵ $CD// AB$，
∴ $△ OCD ∽ △ OAB$，可得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}$
已知$CA=30\,\mathrm{m}$，$OA=OC+CA=1.92+30=31.92\,\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{1.2}{AB}=\frac{1.92}{31.92}$
解得：$AB=\frac{1.2×31.92}{1.92}=19.95\approx20.0\,\mathrm{m}$
【答案】
楼高$AB$约为$\boldsymbol{20.0\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题贴近生活实际，考查了相似三角形在高度测量中的应用，解题的核心是通过添加辅助线构造相似模型，将实际问题转化为数学中的比例计算问题，需要注意找准相似三角形的对应边，避免因对应关系出错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
