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8. 如图，$△ ABC$是一块锐角三角形余料，边$BC=120\ \mathrm{mm}$，高$AD=80\ \mathrm{mm}$，要把它加工成矩形零件$PQMN$，使一边在$BC$上，其余两个顶点分别在边$AB$、$AC$上，$PQ$交$AD$于点$H$.
（1）当点$P$恰好为$AB$的中点时，$PQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{mm}$.
（2）若矩形$PNMQ$的周长为$220\ \mathrm{mm}$，求$PN$的长.
（1）当点$P$恰好为$AB$的中点时，$PQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{mm}$.
（2）若矩形$PNMQ$的周长为$220\ \mathrm{mm}$，求$PN$的长.
答案
8. （1）60 （2）
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ // BC.
∵AD ⊥ BC,
∴PQ ⊥ AD.
∴PN = DH.
∴AH = AD - DH = 80 - PN.
∵四边形PNMQ为矩形,
∴PQ = MN, DH = PN.
∵矩形PNMQ的周长为220 mm,
∴PQ = 110 - PN.
∵PQ // BC,
∴△APQ ∽△ABC.
∴ AH/AD = PQ/BC.
∴ (80-PN)/80 = (110-PN)/120.
∴PN = 20 mm
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ // BC.
∵AD ⊥ BC,
∴PQ ⊥ AD.
∴PN = DH.
∴AH = AD - DH = 80 - PN.
∵四边形PNMQ为矩形,
∴PQ = MN, DH = PN.
∵矩形PNMQ的周长为220 mm,
∴PQ = 110 - PN.
∵PQ // BC,
∴△APQ ∽△ABC.
∴ AH/AD = PQ/BC.
∴ (80-PN)/80 = (110-PN)/120.
∴PN = 20 mm
解析
【分析】
（1）由矩形性质可知PQ//BC，当P为AB中点时，PQ是△ABC的中位线，根据三角形中位线等于第三边的一半，即可直接求出PQ的长度。
（2）要求PN的长，先利用矩形的性质得到PQ//BC、PN=DH，可推出△APQ∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得到AH与AD的比等于PQ与BC的比；再结合矩形周长为220mm，得到PQ与PN的数量关系，将AH、PQ都用含PN的式子表示，代入比例式列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵四边形PQMN是矩形，
∴PQ//BC，
又
∵P是AB的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴$PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×120=60\ \mathrm{mm}$。
（2）
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ//BC，PN=DH，
∵AD⊥BC，
∴AH⊥PQ，
∴AH=AD-DH=80-PN，
∵矩形PNMQ的周长为220 mm，
∴2(PN+PQ)=220，整理得PQ=110-PN，
∵PQ//BC，
∴△APQ ∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{AH}{AD}=\frac{PQ}{BC}$，代入线段长度代入得：$\frac{80-PN}{80}=\frac{110-PN}{120}$，交叉相乘得：120(80-PN)=80(110-PN)，解得：$PN=20\ \mathrm{mm}$。【答案$】（1）\boldsymbol{60}$；$（2）\boldsymbol{20\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是相似三角形几何应用的典型题型，核心解题思路是利用平行线得到相似三角形，结合相似比建立等量关系，再结合矩形的性质用同一个未知数表示相关线段，通过列方程求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）由矩形性质可知PQ//BC，当P为AB中点时，PQ是△ABC的中位线，根据三角形中位线等于第三边的一半，即可直接求出PQ的长度。
（2）要求PN的长，先利用矩形的性质得到PQ//BC、PN=DH，可推出△APQ∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得到AH与AD的比等于PQ与BC的比；再结合矩形周长为220mm，得到PQ与PN的数量关系，将AH、PQ都用含PN的式子表示，代入比例式列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵四边形PQMN是矩形，
∴PQ//BC，
又
∵P是AB的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴$PQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×120=60\ \mathrm{mm}$。
（2）
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ//BC，PN=DH，
∵AD⊥BC，
∴AH⊥PQ，
∴AH=AD-DH=80-PN，
∵矩形PNMQ的周长为220 mm，
∴2(PN+PQ)=220，整理得PQ=110-PN，
∵PQ//BC，
∴△APQ ∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{AH}{AD}=\frac{PQ}{BC}$，代入线段长度代入得：$\frac{80-PN}{80}=\frac{110-PN}{120}$，交叉相乘得：120(80-PN)=80(110-PN)，解得：$PN=20\ \mathrm{mm}$。【答案$】（1）\boldsymbol{60}$；$（2）\boldsymbol{20\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是相似三角形几何应用的典型题型，核心解题思路是利用平行线得到相似三角形，结合相似比建立等量关系，再结合矩形的性质用同一个未知数表示相关线段，通过列方程求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，王强晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m.已知王强的身高是1.5 m，则路灯A的高度AB为
【 】
A.4.5 m
B.6 m
C.7.2 m
D.8 m
【 】
A.4.5 m
B.6 m
C.7.2 m
D.8 m
答案
B
解析
【分析】
这是一道中心投影背景下的相似三角形应用题，解题思路如下：1. 身高与路灯均垂直于地面，因此身高与路灯平行，可分别得到两组相似三角形：人在C处时，△DCM∽△DBA；人在E处时，△FEN∽△FBA。2. 设路灯高AB为h，BC的长度为x，根据相似三角形对应边成比例，分别列出两个比例式。3. 两个比例式都等于身高与路灯高的比值，因此联立方程先解出x，再代入求h即可。
【解析】
解：设路灯A的高度AB = h m，BC的长度为x m，记C处人头顶为M，E处人头顶为N。
∵ 人的身高MC、EN和AB都垂直于地面BF，
∴ MC//AB，EN//AB，
∴ ∠DCM=∠DBA=90°，又∠D为公共角，故△DCM ∽ △DBA；
同理∠FEN=∠FBA=90°，∠F为公共角，故△FEN ∽ △FBA。
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DC}{DB}=\frac{MC}{AB}$，即 $\frac{1}{x+1}=\frac{1.5}{h}$ --- (1)
$\frac{EF}{BF}=\frac{EN}{AB}$，即 $\frac{2}{x+3+2}=\frac{1.5}{h}$ --- (2)
联立(1)(2)得：$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+5}$
解方程：$x+5=2(x+1)$，解得$x=3$。
将x=3代入(1)式：$\frac{1}{4}=\frac{1.5}{h}$，解得$h=1.5×4=6$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是利用垂直关系得到平行线，进而构造相似三角形，通过比例式建立方程求解，较好地考察了数学建模和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是一道中心投影背景下的相似三角形应用题，解题思路如下：1. 身高与路灯均垂直于地面，因此身高与路灯平行，可分别得到两组相似三角形：人在C处时，△DCM∽△DBA；人在E处时，△FEN∽△FBA。2. 设路灯高AB为h，BC的长度为x，根据相似三角形对应边成比例，分别列出两个比例式。3. 两个比例式都等于身高与路灯高的比值，因此联立方程先解出x，再代入求h即可。
【解析】
解：设路灯A的高度AB = h m，BC的长度为x m，记C处人头顶为M，E处人头顶为N。
∵ 人的身高MC、EN和AB都垂直于地面BF，
∴ MC//AB，EN//AB，
∴ ∠DCM=∠DBA=90°，又∠D为公共角，故△DCM ∽ △DBA；
同理∠FEN=∠FBA=90°，∠F为公共角，故△FEN ∽ △FBA。
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DC}{DB}=\frac{MC}{AB}$，即 $\frac{1}{x+1}=\frac{1.5}{h}$ --- (1)
$\frac{EF}{BF}=\frac{EN}{AB}$，即 $\frac{2}{x+3+2}=\frac{1.5}{h}$ --- (2)
联立(1)(2)得：$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+5}$
解方程：$x+5=2(x+1)$，解得$x=3$。
将x=3代入(1)式：$\frac{1}{4}=\frac{1.5}{h}$，解得$h=1.5×4=6$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是利用垂直关系得到平行线，进而构造相似三角形，通过比例式建立方程求解，较好地考察了数学建模和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
10. 凸透镜成像的原理如图所示，MN 是凸透镜的主光轴，O 为凸透镜的中心，点 F 是焦点，PM ⊥ MN，BN ⊥ MN。若物距 MO 与像距 NO 之比为 5：3，测得蜡烛的高 PM 为15 cm，则像 BN 的长为 【 】
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形特征，PM、BN都垂直于主光轴MN，可得PM与BN平行，结合对顶角相等可判定△PMO与△BNO相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物距与像距的比、蜡烛高度，即可求出像的高度。
【解析】
∵ $PM⊥ MN$，$BN⊥ MN$，
∴ $∠ PMO = ∠ BNO = 90°$，
又
∵ $∠ POM = ∠ BON$（对顶角相等），
∴ $△ PMO ∽ △ BNO$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{MO}{NO}=\frac{PM}{BN}$，
已知$\frac{MO}{NO}=\frac{5}{3}$，$PM=15\ \mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{5}{3}=\frac{15}{BN}$，
解得：$BN=\frac{15×3}{5}=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合凸透镜成像的场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立关系式求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，PM、BN都垂直于主光轴MN，可得PM与BN平行，结合对顶角相等可判定△PMO与△BNO相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物距与像距的比、蜡烛高度，即可求出像的高度。
【解析】
∵ $PM⊥ MN$，$BN⊥ MN$，
∴ $∠ PMO = ∠ BNO = 90°$，
又
∵ $∠ POM = ∠ BON$（对顶角相等），
∴ $△ PMO ∽ △ BNO$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{MO}{NO}=\frac{PM}{BN}$，
已知$\frac{MO}{NO}=\frac{5}{3}$，$PM=15\ \mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{5}{3}=\frac{15}{BN}$，
解得：$BN=\frac{15×3}{5}=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合凸透镜成像的场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立关系式求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11. 如图,某综合与实践小组想要确定某池塘的长度AB,先在池塘的一侧取一个可以直接到达点A、B的点E,经测量得到$AE=4.5\ \mathrm{m}$,$BE=6\ \mathrm{m}$.若在AE、BE的延长线上分别取点C、D,使$CE=1.5\ \mathrm{m}$,$DE=2\ \mathrm{m}$,连结CD,测得$CD=1.8\ \mathrm{m}$,则该池塘的长AB为
5.4
$\mathrm{m}$.答案
11. 5.4
解析
【分析】
要计算无法直接测量的池塘长度AB，可通过证明AB所在的△AEB和已知边长的△CED相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先观察到两个三角形有一组对顶角相等，再计算两组夹边的比值，验证两边对应成比例后即可判定三角形相似，最后根据相似比和已知的CD长度求出AB。
【解析】
解：由题意得：
$\frac{AE}{CE}=\frac{4.5}{1.5}=3$，$\frac{BE}{DE}=\frac{6}{2}=3$
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$
又$\because ∠ AEB$与$∠ CED$是对顶角
$\therefore ∠ AEB=∠ CED$
$\therefore △ AEB ∽ △ CED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=3$
将$CD=1.8\ \mathrm{m}$代入得：
$AB=3× CD=3×1.8=5.4\ \mathrm{m}$
【答案】
5.4
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是找到成比例的对应边和相等的夹角证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求解未知边长，解题逻辑清晰，和生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.7
要计算无法直接测量的池塘长度AB，可通过证明AB所在的△AEB和已知边长的△CED相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先观察到两个三角形有一组对顶角相等，再计算两组夹边的比值，验证两边对应成比例后即可判定三角形相似，最后根据相似比和已知的CD长度求出AB。
【解析】
解：由题意得：
$\frac{AE}{CE}=\frac{4.5}{1.5}=3$，$\frac{BE}{DE}=\frac{6}{2}=3$
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$
又$\because ∠ AEB$与$∠ CED$是对顶角
$\therefore ∠ AEB=∠ CED$
$\therefore △ AEB ∽ △ CED$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=3$
将$CD=1.8\ \mathrm{m}$代入得：
$AB=3× CD=3×1.8=5.4\ \mathrm{m}$
【答案】
5.4
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是找到成比例的对应边和相等的夹角证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求解未知边长，解题逻辑清晰，和生活实际结合紧密。
【难度系数】
0.7
12.(九江期末)如图,一条笔直的公路边有一路灯OP,距离路灯1.5m处有一棵垂直于地面的小树DE,影长EF=3m.为了测量树高,小明在路灯的另一侧距离路灯9m远处的地面竖起一根长1.5m的竹竿AB,经测量,AB的影长BC=3m,则小树的高为
4m
.答案
12. 4m
解析
【分析】
本题是中心投影背景下的长度求解问题，解题思路分为两步：第一步，先根据左侧竹竿的相关数据，由垂直关系判定△CAB与△CPO相似，利用相似三角形对应边成比例求出路灯OP的高度；第二步，再根据右侧小树的相关数据，判定△FDE与△FPO相似，代入路灯高度及已知边的长度，即可求出小树的高度。
【解析】
设路灯OP的高度为$ h \, \mathrm{m} $，小树DE的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 求路灯高度：
∵ $ AB ⊥ CF $，$ OP ⊥ CF $
∴ $ AB // OP $
∴ $ ∠ CAB = ∠ CPO $，$ ∠ CBA = ∠ COP = 90° $
∴ $ △ CAB ∽ △ CPO $
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{AB}{OP} = \frac{CB}{CO} $
已知$ AB=1.5\,\mathrm{m} $，$ CB=3\,\mathrm{m} $，$ BO=9\,\mathrm{m} $，则$ CO=CB+BO=3+9=12\,\mathrm{m} $
代入得：$ \frac{1.5}{h} = \frac{3}{12} $
解得：$ h = 6\,\mathrm{m} $
2. 求小树高度：
∵ $ DE ⊥ CF $，$ OP ⊥ CF $
∴ $ DE // OP $
∴ $ ∠ FDE = ∠ FPO $，$ ∠ FED = ∠ FOP = 90° $
∴ $ △ FDE ∽ △ FPO $
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DE}{OP} = \frac{EF}{OF} $
已知$ EF=3\,\mathrm{m} $，$ OE=1.5\,\mathrm{m} $，则$ OF=OE+EF=1.5+3=4.5\,\mathrm{m} $，$ OP=6\,\mathrm{m} $
代入得：$ \frac{x}{6} = \frac{3}{4.5} $
解得：$ x=4\,\mathrm{m} $
【答案】
4m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；相似三角形的性质
【点评】
本题是投影类典型应用题，解题的关键是结合垂直关系找到两组相似三角形，先求出中间量路灯的高度，再通过比例计算得到所求树高，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影背景下的长度求解问题，解题思路分为两步：第一步，先根据左侧竹竿的相关数据，由垂直关系判定△CAB与△CPO相似，利用相似三角形对应边成比例求出路灯OP的高度；第二步，再根据右侧小树的相关数据，判定△FDE与△FPO相似，代入路灯高度及已知边的长度，即可求出小树的高度。
【解析】
设路灯OP的高度为$ h \, \mathrm{m} $，小树DE的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 求路灯高度：
∵ $ AB ⊥ CF $，$ OP ⊥ CF $
∴ $ AB // OP $
∴ $ ∠ CAB = ∠ CPO $，$ ∠ CBA = ∠ COP = 90° $
∴ $ △ CAB ∽ △ CPO $
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{AB}{OP} = \frac{CB}{CO} $
已知$ AB=1.5\,\mathrm{m} $，$ CB=3\,\mathrm{m} $，$ BO=9\,\mathrm{m} $，则$ CO=CB+BO=3+9=12\,\mathrm{m} $
代入得：$ \frac{1.5}{h} = \frac{3}{12} $
解得：$ h = 6\,\mathrm{m} $
2. 求小树高度：
∵ $ DE ⊥ CF $，$ OP ⊥ CF $
∴ $ DE // OP $
∴ $ ∠ FDE = ∠ FPO $，$ ∠ FED = ∠ FOP = 90° $
∴ $ △ FDE ∽ △ FPO $
由相似三角形对应边成比例可得：$ \frac{DE}{OP} = \frac{EF}{OF} $
已知$ EF=3\,\mathrm{m} $，$ OE=1.5\,\mathrm{m} $，则$ OF=OE+EF=1.5+3=4.5\,\mathrm{m} $，$ OP=6\,\mathrm{m} $
代入得：$ \frac{x}{6} = \frac{3}{4.5} $
解得：$ x=4\,\mathrm{m} $
【答案】
4m
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；相似三角形的性质
【点评】
本题是投影类典型应用题，解题的关键是结合垂直关系找到两组相似三角形，先求出中间量路灯的高度，再通过比例计算得到所求树高，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
