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2.（内江中考）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图①，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图②所示，动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$，阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为 【 】
A.$80\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$
A.$80\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察图形中的两个三角形：△OAC和△OBD，两个三角形都有直角，且存在对顶角相等，可判定二者相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得∠A=∠B=90°，
∵∠AOC和∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质可得：$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，
将OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm代入比例式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC=\frac{150×20}{50}=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中杠杆撬重物的场景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是准确识别相似三角形，再利用对应边成比例的性质列式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先观察图形中的两个三角形：△OAC和△OBD，两个三角形都有直角，且存在对顶角相等，可判定二者相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得∠A=∠B=90°，
∵∠AOC和∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质可得：$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，
将OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm代入比例式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC=\frac{150×20}{50}=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中杠杆撬重物的场景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是准确识别相似三角形，再利用对应边成比例的性质列式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
3.（河北模拟）如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2m的点D处（即DE=2m），刚好从镜子中看到凉亭的顶端A。测得BD的长为12m，若小涵眼睛离地面的距离CD为1.6m，则凉亭的高AB为 【 】
A.9.6m
B.10m
C.7.2m
D.8m
A.9.6m
B.10m
C.7.2m
D.8m
答案
D
解析
【分析】
解题时首先结合镜面反射的特性，反射角等于入射角，可得∠CED=∠AEB；再由CD、AB均垂直于水平地面BD，可得∠CDE=∠ABE=90°，由此可判定△CDE与△ABE相似；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
解：由镜面反射的性质可知，∠CED=∠AEB，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CDE∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
已知$DE=2\mathrm{m}$，$BD=12\mathrm{m}$，$CD=1.6\mathrm{m}$，
∴$BE=BD-DE=12-2=10(\mathrm{m})$，
代入比例式得：$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{10}$，
解得：$AB=\frac{1.6×10}{2}=8(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是利用镜面反射的性质得到相等的角，证明三角形相似，再通过相似的性质列比例式求解，是典型的相似三角形应用类基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合镜面反射的特性，反射角等于入射角，可得∠CED=∠AEB；再由CD、AB均垂直于水平地面BD，可得∠CDE=∠ABE=90°，由此可判定△CDE与△ABE相似；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AB的长度。
【解析】
解：由镜面反射的性质可知，∠CED=∠AEB，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CDE∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，
已知$DE=2\mathrm{m}$，$BD=12\mathrm{m}$，$CD=1.6\mathrm{m}$，
∴$BE=BD-DE=12-2=10(\mathrm{m})$，
代入比例式得：$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{10}$，
解得：$AB=\frac{1.6×10}{2}=8(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查相似三角形的实际应用，解题的关键是利用镜面反射的性质得到相等的角，证明三角形相似，再通过相似的性质列比例式求解，是典型的相似三角形应用类基础题。
【难度系数】
0.8
4.（镇江中考）如图，用一个卡钳$(AD=BC,\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3})$测量某个零件的内孔直径$AB$，量得$CD$的长度为$6\ \mathrm{cm}$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
（第4题）
（第4题）答案
4. 18
解析
【分析】
解题时先观察已知的边的比例关系和图形中的角的关系：已知$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，且∠COD和∠BOA是对顶角，二者相等，满足相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件，可先证明△COD和△BOA相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，且$∠ COD=∠ BOA$（对顶角相等），
∴$△ COD ∽ △ BOA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
已知$CD=6\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{1}{3}$，
解得$AB=6×3=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是准确找到对应边和对应角证明三角形相似，再结合相似比求解未知边长，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知的边的比例关系和图形中的角的关系：已知$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，且∠COD和∠BOA是对顶角，二者相等，满足相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件，可先证明△COD和△BOA相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3}$，且$∠ COD=∠ BOA$（对顶角相等），
∴$△ COD ∽ △ BOA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{3}$，
已知$CD=6\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{1}{3}$，
解得$AB=6×3=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是准确找到对应边和对应角证明三角形相似，再结合相似比求解未知边长，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
5. 成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。“希望”小组开展了运用阳光下的影长测量校园内旗杆高度的实践活动。小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆AB的影长BC=8.1m，小明身高的影长B'C'=1.5m。已知小明的身高A'B'=1.7m，则旗杆AB的高为
9.18
m.答案
5. 9.18
解析
【分析】
同一时刻的阳光下太阳光线互相平行，旗杆与小明都垂直于地面，因此旗杆、它的影长与太阳光线围成的直角三角形，和小明身高、他的影长与太阳光线围成的直角三角形相似。利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据列比例式就能求出旗杆的高度。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，
∴∠ACB=∠A'C'B'，
又
∵AB⊥BC，A'B'⊥B'C'，
∴∠ABC=∠A'B'C'=90°，
∴△ABC∽△A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
把BC=8.1m，A'B'=1.7m，B'C'=1.5m代入比例式：
$\frac{AB}{1.7}=\frac{8.1}{1.5}$，
解得$AB=\frac{8.1×1.7}{1.5}=9.18$（m）。
【答案】
9.18
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的应用，解题关键是掌握同一时刻物高和影长成正比的规律，能将实际问题转化为相似三角形的数学模型求解，贴合生活实际，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
同一时刻的阳光下太阳光线互相平行，旗杆与小明都垂直于地面，因此旗杆、它的影长与太阳光线围成的直角三角形，和小明身高、他的影长与太阳光线围成的直角三角形相似。利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据列比例式就能求出旗杆的高度。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，
∴∠ACB=∠A'C'B'，
又
∵AB⊥BC，A'B'⊥B'C'，
∴∠ABC=∠A'B'C'=90°，
∴△ABC∽△A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
把BC=8.1m，A'B'=1.7m，B'C'=1.5m代入比例式：
$\frac{AB}{1.7}=\frac{8.1}{1.5}$，
解得$AB=\frac{8.1×1.7}{1.5}=9.18$（m）。
【答案】
9.18
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的应用，解题关键是掌握同一时刻物高和影长成正比的规律，能将实际问题转化为相似三角形的数学模型求解，贴合生活实际，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
6. 图①是装了液体的长方体容器(数据如图所示),将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好接触到容器口边缘,如图②所示,则图②中阴影部分的面积为
53
cm².答案
6. 53
解析
【分析】
解题核心是抓住容器倾斜前后液体体积不变的特点，首先计算出液体的总体积，再结合倾斜后的液面高度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出空白部分直角三角形的边长，最后用容器横截面的总面积减去空白部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 首先计算容器横截面（长方形）的总面积：长方形长为17cm，宽为4cm，总面积$ S_{总}=17×4=68\,\mathrm{cm}^2 $。
2. 倾斜后容器内空白部分为直角三角形，根据液面高度为8cm，结合相似三角形的性质可求得空白直角三角形的面积为$ S_{空}=\frac{1}{2}×4×7.5=15\,\mathrm{cm}^2 $。
3. 阴影部分面积为横截面总面积减去空白部分面积：$ S_{阴}=68-15=53\,\mathrm{cm}^2 $。
【答案】
53
【知识点】
体积不变原理，相似三角形的性质，面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景，考查了不变量分析和相似三角形的应用，需要学生灵活转换图形形态，找准图形中的等量关系和相似对应边，综合运用几何知识解题。
【难度系数】
0.6
解题核心是抓住容器倾斜前后液体体积不变的特点，首先计算出液体的总体积，再结合倾斜后的液面高度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出空白部分直角三角形的边长，最后用容器横截面的总面积减去空白部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 首先计算容器横截面（长方形）的总面积：长方形长为17cm，宽为4cm，总面积$ S_{总}=17×4=68\,\mathrm{cm}^2 $。
2. 倾斜后容器内空白部分为直角三角形，根据液面高度为8cm，结合相似三角形的性质可求得空白直角三角形的面积为$ S_{空}=\frac{1}{2}×4×7.5=15\,\mathrm{cm}^2 $。
3. 阴影部分面积为横截面总面积减去空白部分面积：$ S_{阴}=68-15=53\,\mathrm{cm}^2 $。
【答案】
53
【知识点】
体积不变原理，相似三角形的性质，面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景，考查了不变量分析和相似三角形的应用，需要学生灵活转换图形形态，找准图形中的等量关系和相似对应边，综合运用几何知识解题。
【难度系数】
0.6
7. 如图，点A是河对岸上一点，点A、B、D在同一条直线上，点A、C、E在同一条直线上，且AD⊥DE，DE//BC。若BC=24m，BD=12m，DE=40m，求河的宽度AB。
答案
7. 设河的宽度AB为x m.
∵ DE // BC,
∴△ABC ∽△ADE.
∴ AB/AD = BC/DE. 又
∵ BC = 24 m, BD = 12 m, DE = 40 m,
∴ x/(x+12) = 24/40. 解得x = 18. 即河的宽度为18 m
∵ DE // BC,
∴△ABC ∽△ADE.
∴ AB/AD = BC/DE. 又
∵ BC = 24 m, BD = 12 m, DE = 40 m,
∴ x/(x+12) = 24/40. 解得x = 18. 即河的宽度为18 m
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：已知DE//BC，且两个三角形有公共角∠A，可判定△ABC与△ADE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的BC、DE、BD的长度，设河宽AB为未知数，代入比例式列方程求解即可。
【解析】
设河的宽度AB为x m。
∵ DE // BC，
∴ ∠ABC=∠D，∠ACB=∠E（两直线平行，同位角相等），又∠A为公共角，
∴ △ABC ∽ △ADE。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$。
∵ AD=AB+BD=x+12，BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，
代入得：$\frac{x}{x+12}=\frac{24}{40}$，
交叉相乘得：$40x=24(x+12)$，
整理得：$16x=288$，
解得$x=18$。
【答案】
18 m
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是通过平行线构造相似三角形，将实际测量问题转化为三角形边长的比例计算问题，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：已知DE//BC，且两个三角形有公共角∠A，可判定△ABC与△ADE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的BC、DE、BD的长度，设河宽AB为未知数，代入比例式列方程求解即可。
【解析】
设河的宽度AB为x m。
∵ DE // BC，
∴ ∠ABC=∠D，∠ACB=∠E（两直线平行，同位角相等），又∠A为公共角，
∴ △ABC ∽ △ADE。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$。
∵ AD=AB+BD=x+12，BC=24 m，BD=12 m，DE=40 m，
代入得：$\frac{x}{x+12}=\frac{24}{40}$，
交叉相乘得：$40x=24(x+12)$，
整理得：$16x=288$，
解得$x=18$。
【答案】
18 m
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是通过平行线构造相似三角形，将实际测量问题转化为三角形边长的比例计算问题，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
